第25章《一元二次方程》单元提升卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册《一元二次方程》单元提升卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合现实情境与数学建模，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|一元二次方程定义、解法、根的判别式|第3题结合抄题错误分析根的情况，考查推理意识| |填空题|5题15分|根与系数关系、实际应用（增长率）|第15题“倍根方程”概念辨析，培养抽象能力| |解答题|8题75分|综合解法、利润问题、创新定义（友好方程）|第20题工艺品销售利润问题体现模型意识，22题“友好方程”探究发展创新思维|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第25章《一元二次方程》单元提升卷 姓名    班级    分数       1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是. A. B. C. D. 2.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是. A. B. C. D. 或 3.小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是. A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 4.用配方法解方程时，原方程变形为. A. B. C. D. 5.是下列哪个一元二次方程的根. A. B. C. D. 6.关于的一元二次方程的根的情况是. A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 7.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是. A. B. C. D. 8.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是. A. B. C. D. 9.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是. A. B. C. 且 D. 且 10.一元二次方程的两个根为，，则的值是. A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.一元二次方程的解为      ． 12.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是       ． 13.若是方程的一个根，则的值为      ． 14.某市加大了对雾霾的治理力度，第一季度投入资金万元，第二季度和第三季度共投入资金万元，求这两个季度投入资金的平均增长率设这两个季度投入资金的平均增长率为，根据题意可列方程           ． 15.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：方程是倍根方程；若是倍根方程，则；若，则关于的方程是倍根方程；若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为其中正确的是____________ 写出所有正确说法的序号． 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.本小题分用合适的方法解下列方程． ； ； ； ． 17.本小题分已知关于的一元二次方程的一根是，求和另一根． 18.本小题分阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得， 两边同除以，得， 配方，得， 即， 或， ， 上述解题过程有误，错在步骤          填序号，错误的原因是          ； 请你写出正确的解答过程． 19.本小题8分已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围． 20.本小题分某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元． 若销售单价为每件元，求每天的销售利润； 要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 21.本小题分已知关于的方程 求证：无论取何值时，方程总有实数根； 若等腰三角形一边长为，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长． 22.本小题分定义：关于的一元二次方程其中、、是实数，且是关于的一元二次方程其中、、是实数，且的“友好方程”例如：是的“友好方程”求： 方程的“友好方程”是____________________． 若关于的一元二次方程其中、、是实数，且的一个解为，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． 若关于的一元二次方程其中是实数与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 23.本小题分阅读材料，解决问题： 材料一：解一元二次方程的基本思路是降次．降次思想也能用于解某些高次方程．例如，解一元三次方程，可以将方程变为一个一次方程和一个二次方程的乘积形式，从而求解． 材料二：因式定理：一个关于的多项式，如果时，多项式的值为，那么是原多项式的一个因式．例如，对于多项式，发现当时，，所以的一个因式是，设，从而求出的值． 解方程： ； ． 若关于的方程的三个根可作为一个等腰三角形的三边长，则实数的值为          ． 若关于的方程有实数根，求实数的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  解：是一元二次方程； B.不是一元二次方程； C.化简后不是一元二次方程； D.二次项系数可能为，不是一元二次方程． 2.【答案】  解：是关于的一元二次方程， ，即． 由方程的一个根是，代入， 可得， 解之得． 由得． 故选C． 3.【答案】  解：小刚在解关于的方程时， 只抄对了，，解出其中一个根是， 小刚解的方程是， ， 解得， 故原方程中， 原方程中，， 原方程不存在实数根． 4.【答案】  解：， ， ， ． 故选． 5.【答案】  解：中，，不合题意； B.中，，不合题意； C.中，，不合题意； D.中，，符合题意； 故选D． 6.【答案】  解：， ， 即， 方程有两个实数根． 故选． 7.【答案】  解：小路宽为米，利用平移，得：． 故选B． 8.【答案】  解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 依题意得， 整理得， 解得不合题意，舍去，． 故选C． 9.【答案】  解：关于的一元二次方程有两个实数根， 解得且． 故选D． 10.【答案】  解：为一元二次方程的根， ，， ， 根据题意得，， ． 故选． 11.【答案】，  解： 或 解得，． 故答案为，． 12.【答案】  解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解的定义可求出，再整体代入计算即可得出答案． 【解答】 解：是方程的一个根， ，即， ，即． 故答案为． 14.【答案】  解：设第二、三季度计划投入资金的平均增长率为， 可列方程为． 15.【答案】  解：解方程得：，， 方程是倍根方程，故正确； 是倍根方程，且，， ，或， ，， ，故正确；， 解方程得：，， ，故正确； 方程是倍根方程， 设， ， ， ，故正确． 故答案是． 16.解：(1)， ， ，  (2)， ， 或， ， (3)， ， ，  (4)， ， ，即， ， 17.解：方程的一根是， ， 解得， ， ， ，， 答：，另一根为．  18.【答案】(1)；等式两边没有同时加. 解：(2)移项，得， 两边同除以，得， 配方，得，即， 或， ，． 19.解：方程有实数根， ， 解得． 故的取值范围是； ，是方程的两个实数根， ，， ， ， 解得， 由可得， 的取值范围是．  20.解：元； 答：每天的销售利润为元． 设每件工艺品售价为元， 则每天的销售量是件， 依题意得， 解得，不符合题意，舍去． 答：每件工艺品的售价应为元． 21.解：证明：， 无论取何值，这个方程总有实数根； 若腰长为，将代入原方程，得：， 解得， 原方程为， 解得，． 组成三角形的三边长度为、、； 若底边长为，则此方程有两个相等实数根， ，即， 此时方程为， 解得， 由于，不能构成三角形，舍去； 所以三角形另外两边长度为和．  22. 解：是该方程的“友好方程”的一个解，理由如下：   由条件可知，   其“友好方程”为，   当时，，   把代入上式，得 ，   因此，是该方程的“友好方程”的一个解   ；原方程的根为和.  【解析】设方程的解为、，  则，  其“友好方程”的解也为、，  则，  由题意列方程为：，  解得，或，  ，  且，  ，  那么原方程为，  ，  令或，  解得，  答：的值为以及原方程的根为和． 23.【答案】 解：(1)， 或或． 是方程的一个解， 设， ， ，， 解得， 故原方程可化为， 解得或． (2) 解：(3) ， 或 中，， 无实数根， 有实数根， ， 解得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $