第25章 一元二次方程 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

九年级数学RJ版上册 学业质量自我评价 第二十五章学业质量自我评价 （考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.(2025一2026赣州崇义检测)下列方程是一元二次方程的是 1 A.2x-2=0 B.2x2-x=0 C.x2+y=2 D.=2 2.已知一元二次方程x2+k.x一3=0有一个根为1，则k的值为 A.-2 B.2 C.-4 D.4 3.(2025一2026高安检测)关于x的一元二次方程x2一4x+3=0根的情况( A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 4.某景区在2022年共接待游客100万人.当地政府对该景区进一步开发建设，该 景区2024年游客量达到121万人，则该景区这两年游客量的年平均增长率为 A.5% B.10% C.15% D.20% 5.已知a,b,c满足a-b十c=0,4a-2b十c=0,则关于x的一元二次方程a.x2+ bx十c=0(a≠0)的解的情况为 () A.x1=1x2=2 B.x1=-1,x2=-2 C.方程的解与a,b的取值有关 D.方程的解与a,b,c的取值有关 6.已知a,b是方程x2-3.x-5=0的两个根，则代数式2a3-6a2+b2+7b+1的 值是 () A.-25 B.-24 C.35 D.36 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若关于x的方程(m一1)x2十mx一1=0是一元二次方程，则m的取值范围是 8.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是 9.若a为方程x2+2x-5=0的解，则3a+6a-8的值为 10.对任意实数a,b,定义一种运算：a⑧b=a2十b2-ab.若x⑧(x十1)=7，则x 的值为 11.若关于x的一元二次方程x2-2x一a=0没有实数根，则直线y=(a十1)x十 a一1一定不经过的象限是 12.已知等腰三角形ABC的一条边BC的长是5，另两条边AB,AC的长是关于一 元二次方程x2一(k+3)x一2k=0的两个实数根，则k的值为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)解方程：x2十2x一3=0. 440444 161 (2)已知关于x的一元二次方程x2一(k十3)x十2k+1=0,求证：方程有两个 不相等的实数根 14.定义一种新运算：对于任意实数m,n都有m☆n=m2n+n. 例如：（一3）☆2=（一3）2×2十2=20. 根据上述信息，解决下列问题： 若2☆a的值小于0，请判断方程2x2一bx十a=0的根的情况，并说明理由. 15.(2025一2026新余分宜检测)先化简，品÷（口+3十。马），再从一元=次方 程a2一7a十12=0的两个根中选择一个代入求值. 16.下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程.请仔细阅读，并解答相应的 问题」 解一元二次方程：6x2一2x=1一3.x. 解：原方程可以化为2x(3.x一1)=-(3x一1).第一步 两边同时除以(3.x一1)，得2x=一1.第二步 1 系数化为1，得x=一2·第三步 (1)小明的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误。 (2)请你用因式分解法写出这个方程的正确解题过程. 17.已知关于x的方程x2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数α的取值范围。 (2)当该方程的一个根为1时，求α的值及方程的另一个根. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某品牌汽车第一季度的销售量为62.5万辆，第二季度的销售量下降了20%. 经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第四季度的销 售量达到了72万辆. (1)求第二季度的销售量. (2)求第三、第四季度的销售量的平均增长率. 2441114 162 19.(2025一2026南昌期末)活动主题：三角形点阵中前n行的点数计算. 活动过程：下图是一个三角形点阵，从上往下数有无数多行. (1)探究点数与行数的规律. 第一行有 个点，第二行有 个点，…， ● 第n行有 个点， (2)探究点数和与行数的规律 前4行的点数和为 ,前n行的点数和为 (3)根据规律解决问题. 这个三角形点阵中前n行的点数之和能是300吗？如果能，求出；如果不能， 试用一元二次方程说明道理. 20.如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”.例如：x2十x=0 是“差1方程”. (1)下列方程是“差1方程”的是 (填序号) ①x2-5.x-6=0;②x2+7x+12=0. (2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方程”，求m的值. 444444日 163 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.小明是一名动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正 方体. (1)如图①所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通 孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm. (2)如果在(1)打孔后，再在正面中心位置从前到后打一个边长为1cm的正方 形通孔（如图②），那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm. (3)如果把(1)(2)中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm(a≠1)的通孔， 能否使打完两个孔后的橡皮泥块的表面积为118cm？如果能，求出a的值； 如果不能，请说明理由 图① 图② 22.（2025一2026赣州章贡区期中)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,将形如ax2十√2cx十b=0的一元二次方程称为“直系 一元二次方程”. (1)请直接写出一个“直系一元二次方程”(a,b,c三边满足a2+b2=c2): (2)求证：关于x的“直系一元二次方程”必有实数根 (3)若x=一1是“直系一元二次方程”a.x2+√2cx十b=0的一个根，且S△Ac= 3,求a的值. 六、解答题（本大题共12分）】 23.【课本再现】要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛1场.赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛. (1)①共有 场比赛； ②设比赛组织者应邀请x个队参赛，每个队要与其他 个队各赛 1场.因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以一共比赛 场.列方程： 【小试牛刀】(2)一次聚会中，参加的每两人都要握手1次，所有人共握手10次 有多少人参加这次聚会？ 【综合运用】(3)将A1,A2,A3,·,Am共n个点每两个点连一条线段共得到y 条线段：将B,,B2,B,…,B共2n个点每两个点连一条线段共得到y2条线 段.当”为何值时，义为整数？ 1441419 164()+(2Dr)=Dp 朝得-8 4.证明：(1)四边形ACBE是圆内接四边形， .∠EAM=∠EBC. AE平分∠BAM,∴.∠BAE=∠EAM. 又：∠BAE=∠BCE, .∠BCE=∠EBC,∴.BE=CE. (2)如图，连接EO并延长，交BC于 点H,连接OB,OC. .OB=OC,EB=EC, ∴直线EO垂直平分BC, .EH⊥BC. .EF∥BC,.EH⊥EF. 又OE是⊙O的半径， EF为⊙O的切线. 5.解：)证明：如图，连接AE,可得∠E=2∠AOB, :∠BCD=号∠AOB.∠BD =∠E. ,OA=OE,∠OAE=∠E, ∴.∠OAE=∠BCD. BE是⊙O的直径， ∠BAE=90°， 即∠BAO+∠OAE=90°. ∠BAO=∠BCO, .∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC. 又：OC为⊙O的半径，.CD是⊙O的切线. (2):四边形ABC0是平行四边形OF=2OB. 又，OF+OE=EF=3,OB=OE, 20B+0B=30B=2. OA=OC, ∴.☐ABCO是菱形， ∴.BC=OC=OB=2, ∴△BOC为等边三角形， .∠BOC=60°， ∴.在Rt△ODC中，∠D=90°-∠BOC=90°-60° =30°， .OD=2OC=2×2=4, ∴.CD=OD-OC=4-2=2√3. 6.解：(1)证明：如图，连接OM,过点O作ON⊥CD于 点N. ,⊙O与BC相切于点M, ,.OM⊥BC. ,四边形ABCD是正方形， ∴.CA平分∠BCD, ∴.OM=ON, .ON为⊙O的半径， .CD与⊙O相切. (2)四边形ABCD为正方形， .AB=BC=1,∠B=90°， ∴.AC=√AB2+BC=√2 由(1)，得∠OMC=90°，∠MOC=∠MCO=45°， .∴.MC=OM=OA, .∴.OC=OM+MC2=√2OA. 又.AC=OA+OC, .OA+√2OA=√2， .OA=2-√2， ∴.OC=AC-OA=22-2. 7.解：(1)：△ABC为直角三角形，∠ABC=30°， .∠ACB=60°，.∠ACE=120°.：边AC与轮胎 ⊙O相切于点D,轮胎⊙O与地面相切于点E, ∴.∠ODC=∠OEC=90°， .∠D0E=360°-90°-90°-120°=60°. (2)如图，连接OC.:边AC与 轮胎⊙O相切于点D,轮胎⊙O 与地面相切于点E,.CD= CE.CD⊥OD,CE⊥OE, ∴.OC是∠DOE的平分线∠COE=2∠DOE= 30°，.OC=2CE.在Rt△COE中，OC2=CE2+OE2, .(2CE)2=CE2+OE2,解得OE=√3CE=20√3cm, ∴.轮胎的直径为40√3cm 学业质量自我评价 第二十五章学业质量自我评价 1.B2.B3.C4.B 5.B【解析】把x=-1代人方程，得a一b十c=0.把x= 一2代入方程，得4a-2b十c=0,∴.关于x的一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况为x1=一1，x2= -2. 6.D【解析】a,b是方程x2-3x一5=0的两个根， .a2-3a-5=0,b2-3b-5=0,a+b=3, ,∴.a2-3a=5,b2=3b+5, ∴.原式=2a(a2-3a)+3b+5+7b+1 =10a+10b+6 =10(a+b)+6 =10×3+6 =36. 7.m≠18.x1=2,x2=-79.710.2或-3 11.第一象限【解析】：关于x的一元二次方程x2一2x 一a=0没有实数根，∴.△=4十4a<0,解得a<-1, ∴.a+1<0,a-1<0,∴.直线y=(a+1)x+a-1一 定不经过第一象限. 上册详解详析 57 129或-7+2V而【解标1当BC为腰时，则方程x 一(k十3)x一2k=0必有一根为5.将x=5代入方 程，得5-5(k+3)-2k=0,解得k-9.当BC为底 边时，方程x2一(k十3)x一2k=0必有两个相等的实 数根，且-二(+32>0，.[-（k+3]-4×1× 2×1 (-2k)=0,解得k,=-7+2√10，k2=-7-2√10 10 (舍去).综上所述，k的值为7或-7+2√0. 13.解：(1)x2+2x-3=0, ∴.(x+3)(x-1)=0, x十3=0或x-1=0, 解得x1=一3，x2=1. (2)证明：△=[一(k+3)]2一4(2k+1) =k2+6k+9-8k-4 =k2-2k+1+4 =(k-1)2+4. :(k-1)2≥0， .△=(k-1)+4>0, 方程有两个不相等的实数根。 14.解：有两个不相等的实数根.理由如下： ,2☆a的值小于0，∴.2a十a=5a<0,解得a<0. 在方程2x2-bx十a=0中， △=(-b)2-4×2a=b2-8a>0. .方程2x2一bx十a=0有两个不相等的实数根. 15.解：原式=a-2÷(a+3)(a-3)+5 a(a-3) a-3 a-2 a-3 a(a-3)(a+3)(a-3)+5 .a-2 a-3 a(a-3)(a十2)(a-2) 1 a(a+2) ,a2-7a十12=0， .(a-3)·(a-4)=0, .a-3=0或a-4=0,解得a1=3,a2=4. 又a≠0，a≠3，a≠±2，∴.a=4. 1 当a=4时，原式=4×(4+2)24 1 16.解：(1)二 (2)原方程可化为2x(3x一1)=一(3x一1). 移项，得2x(3x一1)十(3x一1)=0. 因式分解，得(2x十1)(3x一1)=0， .3.x-1=0或2x+1=0, 1 1 解得x1=3x,=一2 17.解：(1)，该方程有两个不相等的实数根， .△=22-4×1·(a-2)=12-4a>0,解得a<3, .a的取值范围为a<3. (2)设方程的另一个根为x1· 58 九年级数学RJ版 1十x1=-2, 由根与系数的关系，得 解得=一1， x1=a-2, x1=-3, .a的值为-1，方程的另一个根为一3. 18.解：(1)62.5×(1-20%)=50（万辆）. 故第二季度的销售量为50万辆. (2)设第三、第四季度的销售量的平均增长率为x. 依题意，得50×(1十x)2=72, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 故第三、第四季度的销售量的平均增长率为20%. 19.解：(1)12n (1十n)·n (2)10 2 (3)能： ,(1十n)·”=300, 由题意，得2 整理，得n2十n一600=0， 解得n1=-25,n2=24. ,n为正整数， .n=24. 故300是前24行的点数之和. 20.解：(1)② (2)x2-(m-1)x-m=0, 因式分解，得(x一m)(x+1)=0, 解得x1=m,x2=一1. x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方程”， ∴.m-(-1)=1或一1一m=1, ∴.m1=0,m2=-2. 【解析】1)①.x2-5.x-6=0, 因式分解，得(x-6)(x十1)=0， 解得x1=6,x2=一1 .6一（一1）≠士1， .x25.x一6=0不是“差1方程” ②x2+7x+12=0, 因式分解，得(x十3)(x+4)=0, 解得x1=一3，x2=一4. -3-(-4)=1, .x2+7x十12=0是“差1方程”. 21.解：(1)110(2)118 (3)能使橡皮泥块的表面积为118cm. 设图①的表面积为S,图②的表面积为S· ,S1=96-2a2+4×4a,S2=S1-4a2+4X4a -4a2, ∴.96-2a2+16a-8a3+16a=118, 11 解得a,=5,a,=1. 11 ∴当α的值为5时，能使打完两个孔后的橡皮泥块的 表面积为118cm. 22.解：(1)3.x2十5√2x+4=0(答案不唯一) (2)证明：由题意可知，“直系一元二次方程”的△= (J2c)2-4ab=2c2-4ab. c2=a2+b2,∴.△=2(a2+b)-4ab=2(a-b) ≥0， .关于x的“直系一元二次方程”必有实数根. (3).'x=一1是“直系一元二次方程”a.x2+十√2cx十b =0的一个根， .a·(-1)2+2c·(-1)+b=0,即a-√2c+b =0, .a+b=√2c, .∴.(a+b)2=(J2c)2,即a2+2ab+b2=2c2. a2+b2=c2,.c2+2ab=2c2, .∴.2ab=c2,.a2+b2=2ab, ∴.a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0, ∴.a-b=0,即a=b. 7Sm=32b=8a=6 解得a=√6（负值已舍去）. 23.解：(1)①28 ②(x-1）2x(x-1)2x(x-1)=28 (2)设有a人参加这次聚会. 由题意，得7a(a-1)=10, 解得a1=5,a2=-4(舍去). 故有5人参加这次聚会 1 1 (3)依题意，得y1=2n(n-1),y2=2×2n·(2n 1)=n(2n-1), y=n(2n-1)=4n-2 2 11 2n(n-1) n-1=4 n-1 :n为正整数，兰为整数， 六当号=1时m=3当，号-2时=2 2 综上所述，当n=2或1=3时，为整数. y 第二十六章学业质量自我评价 1.C2.C3.B 4.D【解析】，抛物线y=x2十m.x的对称轴为直线x= 2-贺=2解得m=-4y=十mr=-4 当x2-4x=5时，x2-4x-5=0,解得x1=5,x2= -1. 5.D【解析】，二次函数y=x2十m.x十m2一m经过点 (0,6),.m2一m=6,解得m1=3,m2=一2.，该抛物 线的对称轴在y轴的左侧一罗<0，m>0,∴m =3.故该二次函数的解析式为y=x2+3x十6=（x十 2)+5a=1>0该二次函数有最小值号 .15 6.C【解析】，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， .a<0,c>0. 抛物线与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0), 六抛物线的对称轴为直线工=一3，+1=一1，故@ 2 正确. -=一1， .∴.b=2a<0. ∴.abc>0,故①错误. 由函数图象可知，当一3<x<0时，抛物线的函数图象 在x轴上方， ,.当一3<x<0时，ax2十bx十c>0,故③正确. ,抛物线的对称轴为直线x=一1且开口向下， .当x>一1时，y随x的增大而减小，则当x>1时， y随x的增大而减小，故④错误. 抛物线的对称轴为直线x=一1且开口向下， ∴.当x=一1时，抛物线有最大值y=a一b十c, ∴.am2+bm+c≤a-b+c, ∴.am2十bm≤a一b,故⑤正确. 综上所述，正确的有②③⑤. 7.y=3x28.y=一x2十1（答案不唯一） 9.(5,0)10.2030 11.0.2或1.8【解析】把v=10m/s,g≈10m/s2代入h 1 =M-281,得h=-512+10.当h=1.8m时，1.8 =一5t2+10t,即5t2一10t+1.8=0,解得t1=0.2s, t2=1.8s. 12.-5或-4或-3【解析】：二次函数y=a.x2+bx+ 2(a≠0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)， 开口向下， b a<0,2a <0,a十b+2=0 .b<0,且b=-a-2,a-b=a-(-a-2)=2a+2. 由b=-a-2<0,得-2<a<0, ∴.-2<2a+2<2. 又a一b为整数， .2a+2的值为-1或0或1， .2a的值为-3或-2或-1. b=-a-2,即a+b=-2, ∴.当2a=-3时，3a+b=a+b+2a=-2+(-3)= -5; 当2a=-2时，3a+b=a+b+2a=-2十(-2)= -4; 当2a=-1时，3a+b=a+b+2a=-2+(-1)= -3. m2+3m-2=2, 13.解：(1)根据题意，得 m十3≠0， 解得m1=一4，m2=1. 上册详解详析 59个