精品解析：广东省广州市培英中学2025-2026学年高一下学期（港澳）期中考试数学试题

广州市培英中学2025学年第二学期港澳高一期中考试（数学） 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡一并交回． 一、单选题（共40分） 1. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 2. 已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，然后求，再判断对应的点的位置. 【详解】因为，所以，, 所以对应的点为位于复平面的第一象限. 故选：A. 3. 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得, 由于,，所以或, 故选：D 4. 在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可. 【详解】设点到平面的距离为， 正方体中，， 由等体积法可知，即， 解得. 5. 已知非零向量与的夹角为，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积以及求模公式计算即可. 【详解】因为非零向量与的夹角为， 所以， 所以. 6. 设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 7. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，证明得是异面直线与所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接，， 因为直三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以，， 因为分别是棱，的中点， 所以，，， 所以四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 所以， 所以是异面直线与所成的角或其补角， 因为直三棱柱中，平面， 所以平面， 又平面，所以 设，则根据几何关系得，， 在中， 所以异面直线与所成角的余弦值是 故选：C 8. 在中，在射线上，且满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据平面向量的线性运算，表示出，结合题设可得关于参数的方程，即可求得答案. 【详解】由于在射线上,设， 则 , 因为，故，解得， 故选：D 二、多选题（共18分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则复数对应的点位于第四象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的运算可判断A选项；利用任何两个虚数不能比较大小可判断B选项；利用的运算以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数减法的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，任何两个虚数不能比较大小，B错； 对于C选项，，所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，C错； 对于D选项，因为满足，由复数的几何意义可知， 在复平面内对应的点到点的距离等于， 所以，复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，D对. 故选：AD. 10. （多选题）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则或 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】A：由线面平行的性质可得若，，则或，正确； B：若，，，，且与相交，则，故原条件缺少与相交，错误； C：若平面相交，均平行于交线，满足，，，此时不平行，错误； D：由面面平行的判定定理可得若，，，，，则，正确； 故选：AD 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则为钝角三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，，，则符合条件的三角形不存在 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用大角对大边得到，由正弦定理即可证明； 对于B：利用余弦定理求得，得到最大角C为锐角，即可判断； 对于C：利用正弦定理和三角变换证明出是等腰或直角三角形，即可判断； 对于D：利用正弦定理求得，判断出B不存在. 【详解】对于A：若，由大角对大边得到.由正弦定理得：得到sinA>sinB.故A正确. 对于B：根据，可得，所以最大角C为锐角，故为锐角三角形.故B错误； 对于C：若，则sinA cosA= sinBcosB，可得sin 2A= sin 2B所以2A=2B或，所以是等腰或直角三角形.故C不正确； 对于D:若，，，则，所以这样符合条件的三角形内角B不存在.故D正确. 故选：AD 三、填空题（共15分） 12. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题及正弦定理可得，然后由在点测得塔顶A的仰角为可得AB. 【详解】在中，由正弦定理，， 则，又因在点测得塔顶A的仰角为， 则. 故答案为： 13. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直观图得到原图的形状和边长即得解. 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且， 所以的面积是. 14. 一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 因为圆锥母线长为，侧面积，所以，解得， 所以，圆锥的高， 设球半径为R，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示， 由题意可得，，即，解得， 所以，． 故答案为：． 四、解答题（共77分） 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 16. 如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. （1）求处到观测塔的距离； （2）处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】（1）海里 （2）北偏东的方向， 2小时 【解析】 【分析】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【小问1详解】 由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，分别是和的中点， （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）由于，，又可得，进而命题得证; （2）由已知得是平行四边形，从而，由三角形中位线定理得，由此能证明平面平面． 【详解】（1）证明：平面，平面 又 平面 平面 （2），为的中点 又 ∴四边形为平行四边形 分别是和的中点 平面平面 【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直，以及面面平行的判断的证明，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 18. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据线性运算的坐标表示，向量共线列方程求解； （2）利用垂直向量的数量积为0求解； （3）根据向量数量积的概念和投影向量的概念求解. 【小问1详解】 ，， 又与共线，，解得. 【小问2详解】 ， 又与的夹角为， ，解得. 【小问3详解】 ，， ，又因为, 故向量和向量的夹角为， 向量在向量上投影向量为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据题意可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可； （3）利用等体积法求解点到平面的距离，直线与平面所成角为，，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. 【小问3详解】 解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市培英中学2025学年第二学期港澳高一期中考试（数学） 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡一并交回． 一、单选题（共40分） 1. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量与的夹角为，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 6. 设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，在射线上，且满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则复数对应的点位于第四象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 10. （多选题）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则或 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，，，则 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则为钝角三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，，，则符合条件的三角形不存在 三、填空题（共15分） 12. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则______． 13. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是__________． 14. 一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________． 四、解答题（共77分） 15. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 16. 如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. （1）求处到观测塔的距离； （2）处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 17. 如图，在四棱锥中，，，，，分别是和的中点， （1）证明：； （2）证明：平面． 18. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $