精品解析：广东深圳市龙岗区平冈中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

平冈中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一年级 数学试题 考试时间：15:00-17:00 限时：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 3. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 故选：B. 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8，B正确，ACD错误. 故选：B 5. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 6. 已知六边形是边长为1的正六边形，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，，选D. 7. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求展开图中扇形的弧长，再由圆心角与弧长和扇形半径的关系求圆心角. 【详解】圆锥的侧面展开图为扇形， 扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：B. 8. 如图，一个三棱锥中，D，E，F分别为棱，，上的点，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设到平面的距离为，则到平面的距离为，又，应用体积公式即可求解. 【详解】设到平面的距离为， 因为，所以到平面的距离为， 因为， 所以, 所以，, 所以. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（ ） A. 相交 B. C. D. 以上都不是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和直线与平面的位置关系即可得出结果. 【详解】由题意知，直线直线，且平面， 当不在平面内时，平面内存在直线， 则，符合线面平行的判定定理，所以； 当在平面内时，也符合条件， 所以与的位置关系为或在平面内. 故选：BC. 10. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，则在复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于第三象限 C. 若，则z的虚部为 D. 虚数z为方程的一个根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的模的计算公式即可判断A；根据复数的几何意义结合共轭复数的定义即可判断B；根据复数虚部的定义即可判断C；根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，再结合复数的模的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若点Z的坐标为，则， 所以对应的点为，位于第三象限，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，设， 因为虚数z为方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点，，，在同一平面内 B. 三条直线，，有公共点 C. 直线与直线不是异面直线 D. 直线上存在点使，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据平行关系可证，即可得四点共面；对于B：根据平面的性质分析判断；对于C：根据异面直线的判定定理分析判断；对于D：可知与相交，即可判断. 【详解】作图，如图： 对于选项A：连接， 因为，可知为平行四边形，则， 又因为，分别为，的中点，则， 可得，所以四点，，，在同一平面内，故A正确； 对于选项B：延长，则相交于点，即， 又因为平面，平面， 则平面，平面， 且平面平面，所以， 即三条直线，，有公共点，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线，故C错误； 对于选项D：因为均在平面内，连接，则与相交， 所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 13. 若函数是奇函数，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再求分段函数值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把向量转化成三角形的有关性质，再求三角形面积的最大值. 【详解】如图：取、的中点、，连接、，交于点. 由，由. 又为的重心，所以. 设四边形的面积为，则. 设，则，所以当时，取得最大值1. 此时的面积也取得最大值：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该方法的关键在于根据向量运算的几何意义，把向量问题转化成三角形的边角关系. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出； （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值； （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 由，则， 因为，所以，解得. 【小问3详解】 由题可得，设与垂直的向量， 则，取，得，则， 所以，与向量共线的单位向量为， 因此，与垂直的单位向量的坐标或. 16. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． （1）当为的中点时，求证：平面； （2）若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值． 【答案】（1）取中点，连接，为的中点，为的中点， ，，又因为，所以， 所以是平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面； （2）， 证明如下： 连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此. 【解析】 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ，证明略；. 17. 已知的内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的余弦公式及诱导公式求得的值； （2）利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得， 所以， 所以，因为，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，因为，所以， 因为，由余弦定理得， 所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为. 18. 如图，某居民小区有一矩形绿化广场，其中米，米，现将在其内部设计一个三角形花坛种植花卉，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出的面积关于的表达式，并求的最小值. 【答案】（1）符合要求，理由如下： 由题意，（以下单位为米），，， 由勾股定理得，，，， ，且，所以符合要求. （2），；最小值为平方米 【解析】 【分析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可． （2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，，则，当点Q在D点时，此时角取得最小值为0，当点Q在C点时，此时角取得最大值为，故 在中，， 在中， ， 令 当，即时，最大，S最小， 最小值为平方米 19. 已知函数 ，且 的图象关于原点对称. （1）求 的解析式； （2）将 的图象向右移 个单位，再将所得到图象的纵坐标变为原来的 倍，得到 的图象.已知关于 的方程 在 内有 2 个不同的解 (i) 求 的取值范围； (ii)求 .(用 表示) 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数对称性得到，再结合其范围即可得到解析式； （2）（i）利用辅助角公式得，再结合正弦型函数性质即可得到其范围； （ii）根据对称性得到，从而有，最后利用二倍角余弦公式即可. 【小问1详解】 ， 关于原点对称，， ，. 【小问2详解】 （i）， ， 其中， . 且. 由正弦型函数性质可知，. （ii）由对称性有：，， ，， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平冈中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一年级 数学试题 考试时间：15:00-17:00 限时：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 5. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知六边形是边长为1的正六边形，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个三棱锥中，D，E，F分别为棱，，上的点，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是（ ） A. 相交 B. C. D. 以上都不是 10. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，则在复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于第三象限 C. 若，则z的虚部为 D. 虚数z为方程的一个根，则 11. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点，，，在同一平面内 B. 三条直线，，有公共点 C. 直线与直线不是异面直线 D. 直线上存在点使，，三点共线 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________. 13. 若函数是奇函数，则__________． 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 16. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上． （1）当为的中点时，求证：平面； （2）若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值． 17. 已知的内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 18. 如图，某居民小区有一矩形绿化广场，其中米，米，现将在其内部设计一个三角形花坛种植花卉，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出的面积关于的表达式，并求的最小值. 19. 已知函数 ，且 的图象关于原点对称. （1）求 的解析式； （2）将 的图象向右移 个单位，再将所得到图象的纵坐标变为原来的 倍，得到 的图象.已知关于 的方程 在 内有 2 个不同的解 (i) 求 的取值范围； (ii)求 .(用 表示) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $