广东广州市第八十六中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 立足立体几何、解三角形与向量核心知识，通过斜二测直观图还原、塔高测量等情境设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，非选择综合题注重知识交汇与逻辑表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|斜二测直观图、球体积、向量坐标运算|第7题塔高测量情境，体现用数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|圆锥圆柱组合体、向量垂直与夹角|第9题结合表面积体积计算，考查空间观念| |填空|3/15|棱台侧面积、海域救援方位角、向量叉乘模|第14题叉乘模定义与平行四边形面积关联，强化数学语言表达| |解答|5/77|四棱锥证明与体积、向量与三角函数综合、斜坐标系创新应用|第19题斜坐标系设计，渗透创新意识；第16题体积计算与线面平行证明，突出推理能力|

广州市第八十六中学 2025-2026学年度第二学期期中考试 数学试题答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，， 因为，，所以，所以， 所以. 2．已知分别为三个内角所对的边，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由正弦定理，，可得， 因，则，故.故选：A. 3．已知向量，，，则m的值为（    ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【解析】向量，，故， 所以，解得或2．故选：D． 4．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 5．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以两边平方得到：， 在方向上的投影向量为，故选：D 7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解. 【详解】在中，，，，则夹， 由正弦定理可得： 故选：B. 8．如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】D 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 10．已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量模的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量夹角坐标表示公式、平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量垂直的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设， 由，即， A：由，因此本选项结论正确； B：由 ，得，所以是锐角，因此本选项结论正确； C：因为，， 所以，因此本选项结论不正确； D：由 . 直线的方程为， 因为点在直线上，所以，解得， 即，所以本选项结论正确. 11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为. 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得， 所以外接圆的半径为，A错误； 对于选项B：在中，，所以. 在中，，所以. 因为， 所以， B正确； 对于选项C： 根据余弦定理得， 可得， 所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确； 对于选项D：因为， 所以 因为，所以， 所以， 当时，，所以，此时取最小值. 所以的最小值为，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 【答案】80 【分析】由正四棱台的结构特征，结合已知数据求出侧棱和斜高的长，即可计算正四棱台的侧面积． 【详解】正四棱台中，连接，则平面平面， 过作，垂足为，则平面， 由，得， 在中，，， 所以， 过点作，垂足为，则，得， 所以该正四棱台的侧面积为. 13．位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 14．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则________，若，，则的最小值为________． 【答案】 4 【分析】利用平行四边形的面积公式，结合新定义求出第以空，利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解. 【详解】因为平行四边形的面积为4， 所以， 所以. 因为，， 所以，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16．（15分）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． （3）求三棱锥B-CDE的体积 【详解】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （3） 17．（15分）．已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由三角恒等变换和辅助角公式化简，求出单调区间； （2）转化为两函数图象交点个数问题，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）由题可得， ， 令，， 解得，， 故单调递增区间为，； （2）由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故，则，即. 18.（17分）设锐角的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦边角关系，将已知条件化为，即可得； （2）应用余弦定理求得，再应用三角形面积公式求面积； （3）应用正弦定理、三角形内角的性质、三角恒等变换，得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由正弦边角关系得，所以，又，所以； （2）由余弦定理得，解得， 故的面积为. （3）由，得，所以， 因为，所以， 则 因为为锐角三角形，所以，则， 所以，故， 因此的取值范围为. 19（17分）．如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据定义及向量数量积的运算律即可求解； （2）①根据定义及向量夹角的计算公式即可求解；②设，，，根据向量数量积的运算律，余弦定理，正弦定理及三角函数的值域即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以． （2）①因为，， 所以，， ， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去，因为）， 则． ②依题意设，，， 因为为中点，则， 同理， 则 ， 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得， 所以 在中，，， 由正弦定理， 设，则，， ， 因为，所以，则， 所以当时，取得最小值，即取最小值， 此时取最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第八十六中学 2025-2026学年度第二学期期中考试 数学试题 考试用时： 120 分钟 卷面总分： 150 分 本卷共 4 页 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别为三个内角所对的边，若，则（    ） A． B． C．或 D． 3．已知向量，，，则m的值为（    ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 4．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 5．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 10．已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C． D． 11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 13．位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 14．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则________，若，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值；(2)求与的夹角的余弦值． 16.（15分）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． (3)求三棱锥B-CDE的体积 17．（15分）．已知向量. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 18.（17分）设锐角的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积； (3)若，求的取值范围. 19（17分）．如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为． (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $