第2章 一元二次方程 单元培优卷 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 苏科版九上数学第2章一元二次方程单元培优卷，分层覆盖方程定义、解法及应用，适配单元复习，通过实际情境与综合问题培养运算能力、模型意识及创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、配方法、根的判别式|第4题以商品降价为情境考查方程建模，体现数学眼光| |填空题|6/18|根与系数关系、传染问题|第16题结合三角形边长考方程与几何综合，培养推理意识| |解答题|9/72|多种解法、利润问题、动态几何|25题动点问题融合方程与面积计算，发展创新应用能力|

2026-2027学年苏科版九上数学 第2章 一元二次方程单元培优卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1、下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2、用配方法解方程 时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3、已知 是方程 的根，则代数式 的值为（ ） A. B. C. D. 4、某商品原价为 100 元，连续两次降价后售价为 81 元，设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5、若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6、如图，用长为 24m 的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长），若菜园的面积为，设垂直于墙的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7、已知等腰的一边长为，另两边长恰好是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 8、已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 9、设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 10、根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法： ①化简一共有8种不同的结果； ②化简一共有8种不同的结果； ③若，（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（共 6小题，每小题 3分，共 18 分） 11、已知方程 的一个根是，则另一个根是 。 12、请写出一个根为和的一元二次方程： 。 13、某种植物每轮传染中平均一棵传染棵，经过两轮传染后共有 121 棵被感染，列方程为 。 14、已知 是方程 的两根，则 的值为 。 15、已知 ，则 的值为 。 16、已知、、是的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，则的形状为 三角形。 三、解答题（共9小题，共 72 分） 17、(12分)按要求解方程 （1）用直接开平方法解方程：（2）用因式分解法解方程： （3）用配方法解方程： （4）用公式法解方程： 18、(6分)已知 是方程 的两个实数根，求下列各式的值： （1）；（2） 19、(6分)已知关于的一元二次方程 。 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为 1，另两边长恰好是该方程的两个根，求的周长。 20、(6分)定义新运算：对于任意实数、，都有。 例如：。 （1）求的值； （2）若 ，求的值。 21、(6分)已知关于的方程 有两个实数根、。 （1）求的取值范围； （2）若 ，求的值。 22、(6分)观察下列方程及其解的特征： ① 的解为 ； ② 的解为 ； ③ 的解为 ； …… （1）猜想：方程 的解为 ； （2）利用你的猜想解关于的方程： 23、(9分)我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． （1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 24、(9分)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 25、(12分)如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿AB边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是6cm？ (2)点P从点A开始沿AB边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线AB方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版九年级上册数学 第2章一元二次方程单元培优卷答案解 析 一、选择题（每题3分，共30分） 1.答案：C 解析：一元二次方程三要素：①整式方程；②只含1个未知数；③未知数最高次数2。 A含分式 ,不是整式方程； B:缺少a≠0条件，不一定是二次方程； C:展开x+X-3=0,符合一元二次方程定义， D:含x、y两个未知数，二元方程。 2.答案：A 解析：x2-4x+1=0 移项：x2-4x=-1 配方：两边加尸=4 x2-4x+4=-1+4=(x-2)2=3 3.答案：A 解析：a是x2-3x+1=0的根，代入得：a2-3a=-1 2a2-6a+2025=2(a-3a)+2025=2×(-1)+2025=2023?修正计算：-2+2025=2023 答案B 更正：原式2(a-3a)+2025=2×(-1)+2025=2023,选B 4.答案：B 解析：原价100，每次降价率x,第一次价：100(1-x),第二次：100(1-x2=81 5.答案：C 解析：一元二次方程+两个不等实根： ①二次项系数k-1≠0一k≠1 ②判别式4=22-4(k-1)×(-1)=4+4k-4=4k>0一k>0 综上k>0且k≠1 6.答案：C 解析：垂直墙边长x,两条垂直边总长2x,平行墙边长24-2x 矩形面积=长×宽：x(24-2x)=64 7.答案：C 解析：方程x2-10x+k=0,韦达定理：两根和x1+x2=10 分两种等腰情况： ①6为腰：另一腰6，则底10-6=4，三边6、6、4，成立；两根6、4，k=6×4=24 ②6为底：两腰相等，方程两等根，x1=x2=5,三边5、5、6，成立；k=5×5=25 k=24或25 8.答案：B 解析：X1+x2=2k-1,X1X2=k2+k-2 (x1-1)(x2-1)=6 展开：X1X2-(X1+X2)+1=6 代入： k2+k-2-(2k-1)+1=6 k2-k-6=0一(k-3)(k+2)=0=k=3或k=-2 检验判别式△=(2k-12-4(k+k-2)=4k-4k+1-4k2-4k+8=-8k+9 k=3时，△=-24+9=-15<0，无实根，舍去 k=-2时，△=16+9=25>0，符合，故k=-2 9.答案：B 解析：a是x2-2025x+1=0根： a2=2025c-1,c2+1=2025a&,两边除以a:《+1=2025 x 原式：Q2-2024a+2025 a2+1 代入a2=2025a-1、a2+1=2025 =(2025a-1)-2024a+2025 2025c =a-1+1 =&+1-1=2025-1=2024 10.答案：B(仅③正确) 解析：①x+|y+z小：每个绝对值2种符号，共2=8种符号组合，但结果有重复（如全正、 两正一负等合并)，实际不同结果只有7种，①错： ②零点分段：x=-2,x=0,x=1,分四段x<-2,-2≤x≤0,0<x≤1，x>1,每段化简仅4种结 果，不是8种，②错： ③an=|2n-9l:n≤4时an=9-2n;n≥5时an=2n-9 前4项：7,5,3,1，和S4=16 n≥5时，Sn=16+(n-42 令(n-42+16=916一(n-4)2=900一n-4=30一n=34,③正确： 二、填空题（每题3分，共18分） 11.答案：4 解析：韦达定理：两根和X1+X2=6,一根2，另一根6-2=4 12.答案：x2+x-2=0(不唯一) 解析：根1、-2，（x-1)(x+2)=0,展开x2+x-2=0 13.答案：(1+x}=121 解析：第一轮：1+x棵；第二轮每棵传染x,新增(1+x)x,总数1+x+(1+x)x=(1+x2 14.答案：-3 解析：2父-3X-1=0水+号x名=司 1+1=X+x2=2 =-3 x1x2X1x2-1 2 15.答案：3 解析：X2-3x+1=0,x≠0，两边除以x:x-3+1=0一x+1=3 16.答案：直角 解析：整理方程：（a+c)x2+2bx+(a-c)=0 两相等实根△=0： (2b)2-4(a+c)(a-c)=0 4b2-4a2-c2)=0一b2+c2=a2,直角三角形。 三、解答题（共72分） 17.（12分)解方程 (1)直接开平方法：x-25=0 x2=25 X1=5,x2=-5 (2)因式分解法：x2-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 X1=2,X2=3 (3)配方法：X-2X-3=0 x2-2x=3,x2-2x+1=4,（X-12=4 X-1=±2 X1=3,X2=-1 (4)公式法：2x2-3X-1=0 a=2,b=-3,c=-1 △=9+8=17 x=3±V17 4 米3 x=3+77 4 18.（6分)X1,x2是x2-4x+1=0根，X1+x2=4,x1x2=1 (1)(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=16-4=12 (2)x+x2=(x1+x23-3X1x2(x1+x2)=43-3×1×4=64-12=52 19.(6分)方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)证明判别式恒≥0 △=(k+22-8k=k2+4k+4-8k=k2-4k+4=k-2)2≥0 无论k取何值，总有实数根。 (2)因式分解方程：（x-2)(x-k)=0,根x1=2,x2=k 等腰△一边长1，分两种： ①1为腰：则另一腰为1，三边1、1、2,1+1=2，不满足三角形三边，舍去； ②1为底：两腰相等，k=2,三边2、2、1，周长2+2+1=5 周长=5 20.(6分)新运算a△b=a2-3a+b (1)(-2)△3=(-22-3×(-2)+3=4+6+3=13 (2)x△(-2)=6 x-3x-2=6=x2-3x-8=0 X=3±V9+32_3±/41 2 2 21.(6分)x2-2(k-1)x+k2=0两根x1,x2 (1)有两实根，△≥0 △=4(k-12-4k2=4k2-8k+4-4k2=-8k+4≥0 -8k2-4一k≤号 (2)x1+x2=2(k-1),X1x2=k2 |2(k-1川=k2-1 由k≤分2k-1)<0 左边去绝对值：2(1-k) 方程：2-2k=k2-1一k2+2k-3=0 (k+3)(k-1)=0 k=-3或k=1 k≤号故=-3 22.(6分)规律题 (1)观察规律：x+L=n+1 x n 解x=n,x=马 n 5 2652+1 x=5,为甘 (2)x+1 a-1 安形x-1+-a1j计 a-1 由猜想：X-1=a-1或x-1=1 -1 解得：X1=a,X2g一 23.(9分)销售利润问题 进价240，售价400，周售200kg;每降10元，多售40kg。设降价10t元，降价x元则多售 4x kg. (1)①设每千克降价x元，单件利润400-240-x=160-x,销量200+4x 总利润：(160-x)200+4x)=41600 展开：32000+640x-200x-4x2=41600 -4x2+440x-9600=0一x2-110x+2400=0 （x-30)(x-80)=0 X1=30,X2=80 答：降价30元或80元。 ②让利顾客选降价80元，实际售价400-80=320 折扣： 积=08八折。 (2)能否获利50000？ (160-x)(200+4x)=50000 -4x2+440x+32000=50000 4x2-440x+18000=0 x2-110x+4500=0 判别式△=12100-18000=-5900<0 无实数解，不能达到。 24.(9分)等差方程定义：2b=a+c (1)解方程x4-3x2-4=0 换元 设y=x2,则x=y2,原方程变为：y2-3y-4=0 因式分解：（y-4)(y+1)=0 得y1=4,y2=-1 当y=4时：x2=4=x=±2 当y=-1时：x2=-1,无实数解 ∴.方程实数解：X1=2,x2=-2 (2)解方程(x2+2x2-(x2+2x)-6=0 设y=x2+2x,原方程变为：y2-y-6=0 解关于y的一元二次方程 因式分解：（y-3)(y+2)=0 得y1=3,y2=-2 回代分情况求解 ①y=3,即x2+2x=3 整理：x+2X-3=0 因式分解：（x+3)(x-1)=0 解得：X1=-3,X2=1 ②y=-2,即x2+2x=-2 整理：x2+2x+2=0 判别式△=2-4×1×2=4-8=-4<0，无实数解 ∴.方程实数解：X1=-3,x2=1 25.(12分) 设运动时间t秒，AP=t,PB=6-t:BQ=2t (1)PQ=6cm,Rt△PBQ中勾股： PB2+BQ2=PQ (6-t2+(2t)2=62 36-12t+t+4t=36 5t2-12t=0=t(5t-12)=0 )出发舍去)或t2 答：2.4秒后PQ=6cm。 (2△ABC面积5=号×6×8=-24平分则5am2 影6-tj小2=12=t6-t=2 t2-6t+12=0,△=36-48=-12<0 无实数解，不能平分。 (3)P沿射线AB,Q沿射线CB从C出发，Q速度2cm/s,CQ=2t,BQ=|8-2t:P: AP=t,PB=t-6 Sm-PB-Q=1-PBBQ-2 分4种位置讨论： ①t≤4：Q在BC上，BQ=8-2t;t≤6，P在AB上，PB=6-t (6-t)〔8-2t)=2 48-12t-8t+2t2=2一2t-20t+46=0一t2-10t+23=0 t=10±100-92=5±2,5+吃>4舍去，t=5-82符合： 2 ②4<t≤6：Q在CB延长线，BQ=2t-8;P在AB上PB=6-t (6-t)(2t-8)=2 12t-48-2t2+8t=2一-2t2+20t-50=0一t2-10t+25=0=t=5,符合； ③t>6:P在AB延长线，PB=t-6; 子情况1：6<t,Q仍延长线BQ=2t-8 （t-6)2t-8)=2 2t2-20t+48=2一t2-10t+23=0,解t=5+V2(>6,符合)； 综上符合时间：t=5-V2、t=5、t=5+V2