第2章一元二次方程 单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册第2章一元二次方程单元检测卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖概念、运算、应用等核心知识，适配单元复习，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|一元二次方程定义、根与系数关系、近似解|结合《哪吒》票房等现实情境，基础概念与推理结合| |填空题|6题|根的定义、古代数学问题、动态几何、新定义“差1方程”|融入《九章算术》文化素材，考查创新意识| |解答题|6题|根的判别式、实际应用（利润、面积）、动态几何、新定义“全整根方程”|综合考查数学建模（如头盔销售）、运算能力与逻辑推理|

第2章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ） A．； B．； C．； D．. 3．若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（   ） A．0 B． C． D．不能确定 4．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 5．若是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（  ） A． B．1 C． D．2025 6．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 8．自国产动画电影《哪吒之魔童闹海》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房的4.8亿元，前三天累计票房达12亿元．若每天票房按相同的增长率增长，将增长率记作，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 9．定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为．设道路宽为，则以下方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若关于的方程是一元二次方程，则_______． 12．若是方程的一个实数根，则的值为______． 13．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 14．如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后________s时，的面积为菱形面积的？    15．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 16．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 18．如图，用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为x米． (1)当矩形菜地的面积为225平方米时，求x的值； (2)求矩形菜地面积的最大值． 19．一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． (1)当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ (2)当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20．对联是中华传统文化的瑰宝．对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的． (1)若对联装裱后的左边为，则天头长为______，地头长为______． (2)某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的面积为，求装裱后对联的左边是多少． 21．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 22．定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B A C B D B B 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查的是根的判别式的应用，根与系数的关系，对于一元二次方程 ，两实数根之和为 ，且需判别式 ；分别验证各选项即可. 【详解】解：选项A：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项B：∵ ， ∴，无实数根；不符合题意； 选项C：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项D：∵ ， ∴，有两实数根； ∴ 两根之和为 ，符合题意； 故选：D 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两实数根互为相反数， 设两个根为a，b， 则， ∴， 故选：A. 4．B 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知相关知识是解题的关键； 将代入方程，利用方程根的定义直接计算代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入得：， 移项得：． 故代数式的值为， 故选A． 6．C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 7．B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，由题意，得： ； 故选：D． 9．B 【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 10．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路宽为，则中间正方形的边长为，根据道路占地总面积为，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理得． 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 故答案为：8． 14．1或4 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法． 根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论． 【详解】解：设出发后秒时，． 四边形是菱形，，， ，，，， ， 当时，点在线段上，点在线段上． 此时，， 则； 解得，（舍去） 当时，点在线段上，点在线段上， 此时， 则；化简为， 此时方程，原方程无实数解； 当时，点在线段上，点在线段上， 此时，， 则； 解得（舍去）， 综上所述，出发后或时，． 故答案为：1或4． 15．或0/0或 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 16． 【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2， ∴（x+2）*3＝ ∴ 即 ∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 17．(1) (2)a的值是2，方程的另一个根是3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，求出不等式的解集即可； （2）将方程的解代入原方程求出a的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根． 【详解】（1）解：∵，即， ∴． ∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的两个根分别为， 将代入，得， 解得； ∵方程的两个根分别为，且， ∴， ∴， 即a的值是2，方程的另一个根是3． 18．(1)15 (2)300平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练表示出矩形菜地面积是解题的关键． （1）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （2）列出矩形菜地面积的解析式，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：矩形这块菜地的面积为225平方米时的值为15． （2）解：设矩形菜地面积为， 则， ， 当时，，的最大值为300平方米， ∴矩形菜地的面积最大值是300平方米． 19．(1)当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元 (2)当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； （2）解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 20．(1)12，8 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握因式分解求一元二次方程的根的方法是解题的关键． （1）先求出天头长和地头长的和，再分别求出天头长和地头长即可； （2）设天头为，可用含的式子表示地头的长，左、右边的宽，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对联装裱后的左边为，为天头长与地头长的和的， ∴天头长与地头长的和为， ∵天头长与地头长的比是， ∴天头长为，地头长为． 故答案为：12，8； （2）解：根据题意，设天头为，则地头为， ∴左右边的宽为：， ∴装裱后的长为：，宽为：， ∴， 整理得，， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴装裱后对联的左边是． 21．(1)； (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据与相似，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3）解：与相似，， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）解：当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 解方程，得或3， 解方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 22．(1)①0；②． (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $