3.6 三元一次方程组及其解法 课件 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的概念、解法及应用，通过复习二元一次方程组导入，以“含更多未知数的问题”搭建学习支架，引导学生从已知知识自然过渡到新知，形成完整知识脉络。 其亮点在于任务驱动式探究，概念学习通过类比二元一次方程组让学生自主定义，培养抽象能力（数学眼光）。解法展示代入、加减消元及不同未知数消元策略，引导推理最优方法（数学思维）。应用例题结合营养餐、人民币问题，用方程组建模解决实际问题（数学语言）。小结清晰归纳消元步骤，助力学生掌握转化思想，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第三章 一次方程与方程组 （沪科版）七年级上 3.6 三元一次方程组及其解法 1.掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法. 2.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路,感受消元转化的数学思想. 教学目标 前面学习了二元一次方程组及其解法——消元法，有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数. 导入新课 3 探究三元一次方程组的概念 仔细观察上面的方程组以及每一个方程，思考以下问题： (1)方程②是什么方程，方程①和方程③与方程②有何区别和联系？ (2)类比二元一次方程组的特征，描述上面方程组的特征. (3)类比二元一次方程组的概念，请你给上面的方程组取个名字并下定义. 合作交流： 1.分组讨论并相互分享自己的结论 2.每小组挑选一名代表展示成果 3.讨论时间5分钟 方程②是二元一次方程 联系：方程①，方程②，方程③都是一次整式方程 区别：方程②含两个未知数，方程①和方程③含三个未知数 探究三元一次方程组的概念 (1)方程②是什么方程，方程①和方程③与方程②有何区别？ (2)类比二元一次方程组的特征，描述上面方程组的特征. 含有三个未知数；方程组中的每个方程都是一次整式方程 活动一：探究三元一次方程组的概念 我国古代数学著作《九章算术》中记载着这样一道题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.” 按照今天的解法，即设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)分别可出谷子(实)x，y，z(斗)， 于是得含三个未知数的方程组 高效课堂 6 观察上面的方程组，它是二元一次方程组吗？ 它与二元一次方程组有什么异同点？ 相同点：未知数的次数都是一次，都是整式方程. 不同点：含未知数的个数不同，方程组中方程的个数不同. 类比二元一次方程组的概念，能说出这个方程组是什么方程组吗？ 类比二元一次方程组的概念，这个方程组叫三元一次方程组. 高效课堂 7 探究三元一次方程组的概念 定义：由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 满足三元一次方程组的条件： (1)方程组中一共含有三个未知数； (2)每个方程中含未知数的项的次数都是1； (3)方程组中共有三个整式方程． 下列方程组不是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. D 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数． 三元一次方程组的概念：由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 理解三元一次方程组的定义要注意以下几点： (1)方程组中的每一个方程都是一次方程； (2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组，不需要每一个方程都含有三个未知数. 高效课堂 10 活动二：探究三元一次方程组的解法 在解二元一次方程组时，其基本思想是什么？ 会用几种方法解二元一次方程组？ 解二元一次方程组的思路是消元，方法有代入消元法和加减消元法两种. 对于三元一次方程组，能不能先消掉一个或两个未知数，转化为二元一次方程组或一元一次方程来求解？ 也可通过消元法来解. 高效课堂 11 探究三元一次方程组的解法 观察方程组，回想加减消元法和代入消元法，思考以下问题： (1)你会选择哪一个未知数进行消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组？用什么方法消掉这个未知数？ (2)解三元一次方程组 合作交流： 1.分组讨论并相互分享自己的结论 2.每小组挑选一名代表展示成果 3.讨论时间5分钟 探究三元一次方程组的解法 解法一 (1)能否将方程组中某个未知数消去呢？ 如利用方程①与②消去y 之后变成二元一次方程，同理，利用方程①③或②③消去y再得到一个二元一次方程，能否将得到的两个二元一次方程组成方程组？ (2)如果消去x，怎么做？ (3)如果消去z怎么做？ (4)消去哪个未知数最简单？ 高效课堂 14 解 先用加减消元法消去x. ②＋①×2，得y＋5z＝3. ④ ③－①，得y－6z＝－8. ⑤ 解由④⑤联立成的二元一次方程组. ④－⑤，得11z＝11，z＝1. ⑥ 将⑥代入④，得y＝－2.将y，z的值代入①，得x＝3.所以 高效课堂 15 探究三元一次方程组的解法 解法二 探究三元一次方程组的解法 解法三 活动三：探究三元一次方程组的应用 例2 某营养餐应包含35 单位的铁、70 单位的钙和35 单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C三种食物.下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 高效课堂 18 (1)设配餐中 A，B，C三种食物分别为x，y，z 份，请根据题意列出方程组； (2)解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C的份数. 思考： (1)题目中有几个未知量？ (2)题目中有哪些等量关系？ (3)如何用方程表示这些等量关系？ 高效课堂 19 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，把 三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程。 解三元一次方程组的基本思路 用简图表示为 三元一次方程组 二元一次方程组 消元 消元 一元一次方程 逐层消元，转化为熟悉的一元一次方程 探究三元一次方程组的应用 有1元、5元、10元的人民币共50张，合计260元，其中1元的张数与5元的张数相同，则三种人民币各有多少张？ 请同学们找出等量关系，列方程组解应用题。 解 (1)设配餐中 A，B，C三种食物分别为x，y，z 份， 由题意得 (2)由①得，x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 高效课堂 22 (2)由①得，x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 将 代入④，得x＝2.所以 答：A种食物2 份，B种食物1 份，C种食物2 份. 高效课堂 23 教材 原题 解方程组： 小结： 通过以上两个例题的学习，可得解三元一次方程组的步骤. (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 高效课堂 25 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 课堂总结 26 三元一次方程组及其解法 概念 解法 基本思路 由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 方法 应用 代入消元法 加减消元法 通过消元，将方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程. 谢谢大家聆听 $