3.6 三元一次方程组及其解法-课件-2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦沪科版七年级上册“三元一次方程组及其解法”，涵盖定义、消元思想（三元→二元→一元）、解题步骤及技巧，通过二元一次方程组复习导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于分层设计练习题（基础、常规、拔高），结合营养餐配餐、数之和等实际案例，培养学生运算能力与模型意识。教师可依托规范步骤和技巧指导提升教学效率，学生能在梯度训练中深化推理思维，提升问题解决能力。

沪科版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月9日 沪科版七年级上册3.6 三元一次方程组及其解法练习题 知识点核心 一、三元一次方程组定义 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。 二、核心思想：消元思想 三元 → 二元 → 一元，逐步消元，化繁为简。 三、标准解题步骤 1. 观察选元：选择系数最简单、最好消去的未知数（优先±1、成倍数的未知数）； 2. 两次消元：利用任意两组方程，消去同一个未知数，得到二元一次方程组； 3. 解二元组：用代入/加减法解出两个未知数； 4. 回代求第三元：代入原最简方程，求出最后一个未知数； 5. 写解检验：联立三个未知数的值，代入原方程组检验。 四、解题技巧 ① 有直接表达式（$$x=…$$），优先代入消元； ② 未知数系数相同/相反，优先加减消元； ③ 缺元方程优先使用，快速构造二元方程组。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 三元一次方程组必须含有________个未知数，含未知数的项次数为________。 2. 解三元一次方程组的核心思想是________，逐步将三元转化为一元一次方程。 3. 解方程组时，两次消元必须消去________（填“同一个/不同”）未知数。 4. 若$$\begin{cases}x+y=5\\y+z=6\\x+z=7\end{cases}$$，三式相加可得$$x+y+z=$$________。 5. 已知$$x+y+z=10$$，$$x+y=6$$，则$$z=$$________。 6. 消元时优先选择系数为________的未知数，简化计算。 7. 求出两个未知数后，需要通过________求出第三个未知数。 8. 三元一次方程组的解是一组________的值，需同时满足三个方程。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列属于三元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y+z=5\\2x+3y=1\\x-z=2\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x^2+y=1\\y+z=2\\x+z=3\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=3\\2x+4y=5\end{cases}$$ 2. 解三元一次方程组的基本思路是（） A. 直接求解 B. 三次消元化一元 C. 两次消元化二元再化一元 D. 全部代入 3. 解方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y=1\\z=2\end{cases}$$最简便的消元方式是（） A. 先消x B. 先消y C. 先消z D. 无简便方法 4. 解三元方程组两次消元的目的是得到（） A. 一元一次方程 B. 二元一次方程组 C. 分式方程 D. 不等式 5. 关于三元方程组解的说法正确的是（） A. 一定无解 B. 一定有唯一解 C. 解需同时满足三个方程 D. 只需满足一个方程 三、解答题（共65分） 1.（20分）基础入门型（含直接代入、缺元简单题型） （1）$$\begin{cases}x=1\\x+y+z=6\\x-y+z=2\end{cases}$$　　　　　（2）$$\begin{cases}x+y=3\\y+z=5\\x+z=4\end{cases}$$ 2.（20分）标准常规型（完整三元方程组，两次消元） （1）$$\begin{cases}x+y+z=12\\x+2y+z=15\\2x+y-z=3\end{cases}$$　　　　　（2）$$\begin{cases}2x+y+z=7\\x+2y+z=8\\x+y+2z=9\end{cases}$$ 3.（25分）拔高综合题型（复杂消元+整体求值） （1）$$\begin{cases}3x-y+z=4\\2x+3y-z=12\\x+y+z=6\end{cases}$$ （2）$$\begin{cases}2x+3y-z=11\\3x-2y+z=12\\x+y+2z=13\end{cases}$$ （3）已知三元一次方程组$$\begin{cases}x+y+z=10\\2x+y+z=13\\x+2y+z=15\end{cases}$$，求$$x、y、z$$的值，并求$$x+y-z$$的值。 参考答案及详细解析 一、填空题 1. 三、1 2. 消元 3. 同一个 4. 9 5. 4 6. ±1 7. 回代 8. x、y、z 二、选择题 1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 三、解答题 1.（1）解：把$$x=1$$代入剩余两式： $$\begin{cases}1+y+z=6\\1-y+z=2\end{cases}$$，化简得$$\begin{cases}y+z=5\\-y+z=1\end{cases}$$ 两式相加得$$2z=6$$，$$z=3$$，回代得$$y=2$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$ （2）解：三式相加得$$2x+2y+2z=12$$，即$$x+y+z=6$$。 分别相减得：$$z=3，x=1，y=2$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$ 2.（1）解：$$\begin{cases}x+y+z=12①\\x+2y+z=15②\\2x+y-z=3③\end{cases}$$ ②−①得：$$y=3$$。 ①+③得：$$3x+2y=15$$，代入$$y=3$$，得$$3x=9，x=3$$。 回代①得：$$z=6$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=3\\y=3\\z=6\end{cases}$$ （2）解：$$\begin{cases}2x+y+z=7①\\x+2y+z=8②\\x+y+2z=9③\end{cases}$$ 三式相加得：$$4x+4y+4z=24$$，化简$$x+y+z=6④$$。 ①−④得：$$x=1$$，②−④得：$$y=2$$，③−④得：$$z=3$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$ 3.（1）解：$$\begin{cases}3x-y+z=4①\\2x+3y-z=12②\\x+y+z=6③\end{cases}$$ ①+②得：$$5x+2y=16④$$，②+③得：$$3x+4y=18⑤$$。 联立④⑤解得：$$x=2，y=3$$，回代③得$$z=1$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=2\\y=3\\z=1\end{cases}$$ （2）解：$$\begin{cases}2x+3y-z=11①\\3x-2y+z=12②\\x+y+2z=13③\end{cases}$$ ①+②得：$$5x+y=23④$$，①×2+③得：$$5x+7y=35⑤$$。 联立④⑤解得：$$y=2，x=4.2$$，回代得$$z=3.4$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=\dfrac{21}{5}\\[4pt]y=2\\[4pt]z=\dfrac{17}{5}\end{cases}$$ （3）解：$$\begin{cases}x+y+z=10①\\2x+y+z=13②\\x+2y+z=15③\end{cases}$$ ②−①得：$$x=3$$，③−①得：$$y=5$$。 回代①得：$$z=2$$。 方程组的解：$$\begin{cases}x=3\\y=5\\z=2\end{cases}$$ $$x+y-z=3+5-2=6$$。 答：$$x+y-z$$的值为6。 满分易错总结 1. 两次消元必须消同一个未知数，否则无法得到二元一次方程组，是最核心易错点； 2. 整体相加法适用于轮换对称方程组，快速求$$x+y+z$$，简化计算； 3. 消元过程中所有项必须同乘、同加减，禁止漏乘常数项； 4. 求出两个未知数后，必须回代求第三个，不能遗漏； 5. 最终解必须联立三个未知数，缺一不可，且要代入原方程检验。 3.6 三元一次方程组及其解法 第3章 一次方程与方程组 5x + 4y = 18， 15x + 10y = 50. 3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26. 二元一次方程组 ？ 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 三元一次方程组满足的条件： （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）每个方程必须是一次方程； （3）含有三个方程； （4）必须是整式方程. 解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？ 思 考 x + y + 2z = 3, ① -2x - y + z = -3, ② x + 2y - 4z = -5. ③ 解方程组： 例 1 解: 先用加减消元法消去 x. ② + ①×2，得 y + 5z = 3. ④ ③ - ①，得 y - 6z = -8. ⑤ ④ - ⑤，得 11z = 11. 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. z = 1. ⑥ 将⑥代入④，得 y = -2. 将 y，z 的值代入①，得 x = 3. 所以 x = 3， y = -2， z = 1. y + 5z = 3. ④ y - 6z = -8. ⑤ 巩固练习 解下列三元一次方程组： （1） x + 3y + 2z = 2， ① 3x + 2y - 4z = 3，② 2x–y = 7. ③ 解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④ ③×8 + ④，得 21x = 63， 两边都除以 21，得 x = 3. 把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1. 把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①， 得 z = 1. 因此， 是原三元一次方程组 的解. x = 3. y = -1， z = 1 （2） x + y - z = 2， ① 2x - y + 3z = 2， ② x–4y - 2z = -6. ③ ① + ②，得 3x + 2z = 4. ④ ①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤ ④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1. 把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5. 把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①， 得 y = 1.5. 因此， 是原三元一次方程组 的解. x = 1， y = 1.5， z = 0.5 解三元一次方程组的思路： 三元一次 方程组 二元一次 方程组 二元一次 方程组 消元 消元 某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 例 2 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 （1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份， 请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得 5x + 5y + 10z = 35， ① 20x + 10y + 10z = 70， ② 5x + 15y + 5z = 35. ③ 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 （2）由①得 x = 7-y-2z. ④ 将④代入②③，得 y + 3z = 7， ⑤ 2y – z = 0. ⑥ 解这个方程组，得 y = 1， z = 2. 将 代入④，得 x = 2. y = 1， z = 2 所以 x = 2， y = 1， z = 2. 答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为 7，求这三个数. 例 3 解 设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得 x + y = 3， ① y + z = 6， ② x + z = 7. ③ ①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④ ④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1. 答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5. 名师点金 解三元一次方程组的消元技巧 1.先消去某个方程缺少的未知数； 2.先消去系数最简单的未 知数； 3.先消去系数成整倍数关系的未知数. 另外,在“消元”的过程中必须保证每个方程至少用一次. . . 中考考法 15 知识点1 三元一次方程（组）的有关概念 1. 下列方程组是三元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 16 2. 若 是一个三元一次方程， 则( ) A A. , B. , C. , D. , 中考考法 17 知识点2 三元一次方程组的解法 3. 解方程组 时，若要使运算简便,消元的 方法应选( ) B A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 以上说法都不对 中考考法 18 4. 已知三元一次方程组 经过步骤①-③ 和③②消去未知数 后,得到的二元一次方程组是( ) A A. B. C. D. 中考考法 19 知识点3 三元一次方程组的应用 5. 已知单项式与 是同类项， 则___,____, ___. 4 6 6. 某电器公司计划装运甲、乙、丙三种 家电到农村销售（规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只 能装同一种家电）,下表所示为甲、乙、丙三种家电装满每辆 汽车时的台数及利润. 中考考法 20 （1）若用8辆汽车装运乙、丙两种家电共190台到 地销售 （每辆汽车均满载）,问装运乙、丙两种家电的汽车各有多少辆? 【解】设装运乙家电的汽车有辆，装运丙家电的汽车有 辆. 依题意，得 解得 答：装运乙家电的汽车有5辆，装运丙家电的汽车有3辆. 中考考法 21 （2）计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种家电720台到 地 销售（每辆汽车均满载）,如何安排装运，可使公司获得36.6 万元的利润? 甲 乙 丙 每辆汽车满载时装运的台数 40 20 30 利润/（万元/台） 0.05 0.07 0.04 中考考法 22 设安排辆汽车装运甲家电，辆汽车装运乙家电， 辆汽车 装运丙家电.依题意，得 解得 答：安排15辆汽车装运甲家电，3辆汽车装运乙家电，2辆汽 车装运丙家电. 中考考法 23 7. 已知方程组:则 ___. 6 【点拨】①+②+③,得 , 所以 .④ ④-①，得.④-②，得 . ④-③，得.所以 . 中考考法 24 本题没有采用常规的消元方法求解，而是利用整体 加减的方法求出未知数的值，给解题过程带来了方便. . . . . 中考考法 25 8. 有,,三种货物，甲购种货物3件， 种 货物5件，种货物1件，共200元.乙购种货物4件， 种货物 7件，种货物1件，共250元，则丙购,, 三种货物各1件， 应付_____元. 100 中考考法 26 【点拨】设，，三种货物的单价分别为，， 元.由题 意，得，① ,② ②-① 得③，①②得 ④，④-③ 得，所以丙购，， 三种货物各1件，应付 100元. 中考考法 27 9. 解方程组： 【解】设,则, ,代入②,得 解得 . 所以原方程组的解为 像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设 参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程更简便. . . . . 中考考法 28 $