精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第六中学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

齐市六中2024级高二第学一期开学 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择（每小题5分，共40分） 1. 复数满足，则（    ） A. B. C. D. 1 2. ，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 边长为的正方形，为中点，点在边上且，则（    ） A. B. C. D. 4. 是两条不同直线，是三个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. ，则的值为（    ） A. B. C. D. 6. 中，角所对的边为.若，边长是复数的方程（是虚数单位）的解，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为，则圆柱外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 8. 函数与函数的交点为，则函数的一个减区间是（其中）（    ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 平行六面体的体积为，点在线段上运动，则下列三棱锥中，体积为的是（    ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 10. 关于复数，下列说法正确的是（    ） A. 若是方程（）的解，则 B. 若，则 C. 若，则复数的模长范围为 D. ，均为复数且，则 11. 中，角所对的边分别为且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且存在且唯一，则或 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 向量，，则在上的投影向量的坐标为_________ 13. ，则_________ 14. 正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为_________(用表示) 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 复数() （1）若，求表示点在复平面内图形的面积. （2）将化成，且.求证: . 16. ，， （1）若，求值； （2）若，且三点一线.，求的值； （3）若，求的值. 17. 四棱锥的底面是矩形， ，，为中点且 （1）证明:平面平面 （2）求四棱锥的体积 （3）求面与面所成的夹角的余弦值 18. 函数 （1）求的值域及对称轴方程 （2）锐角中，角所对的边分别为且，，设面积为，周长为，求和的取值范围. 19. 图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点. （1）求异面直线所成的角的余弦值 （2）求面积的最小值及对应的值 （3）求点M到EF的距离的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐市六中2024级高二第学一期开学 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择（每小题5分，共40分） 1. 复数满足，则（    ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法化简得出，再应用复数的模长公式计算求解. 【详解】因为复数满足，所以， 则. 故选：A. 2. ，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，先利用向量垂直的坐标表示列式求出，然后利用向量线性运算的坐标表示求解即得. 【详解】因，且， 则，解得， 所以，则. 故选：C 3. 边长为的正方形，为中点，点在边上且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， ， 则， 则. 故选：B. 4. 是两条不同直线，是三个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，得到；D选项，作辅助线，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理可得D正确. 【详解】A选项，如图，满足，但不平行，A错误； B选项，若，则可能平行，可能相交，B错误； C选项，若，则，C错误； D选项，如图，设，点是平面内一点（不在上）， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 因为且，且，， 所以，， 又，即，故，， 又，所以，D正确 故选：D 5. ，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角的三角函数关系式化简求得，再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得， 因为，代入可得， 即，故， 则. 故选：D. 6. 中，角所对的边为.若，边长是复数的方程（是虚数单位）的解，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数方程解出a的值，再利用正弦定理求得外接圆的半径即可得到答案． 【详解】边长是方程的解，故且，由题意可得， 因为复数相等，虚部和实部分别相等，所以，解得， 又， 由正弦定理可得，所以外接圆． 故选：B． 7. 一个圆柱轴截面为正方形且它的表面积为，则圆柱外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为.由圆柱的轴截面是正方形，结合表面积为列出关于的方程组.求出求出圆柱外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为. 因为圆柱的轴截面是正方形，表面积为, 所以, 解得：. 如图所示，由圆柱和球的对称性可知，轴截面的对角线为圆柱外接球的直径.设外接球半径为,则，所以. 所以,圆柱外接球的表面积为：. 故选：A. 8. 函数与函数的交点为，则函数的一个减区间是（其中）（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交点求出，利用正弦型函数减区间的求法即可得减区间. 【详解】因为在上，所以； 把代入可得或，； 因为，所以，即， 令，，解得，； 当时，一个减区间为. 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 平行六面体的体积为，点在线段上运动，则下列三棱锥中，体积为的是（    ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定各三棱锥的底面，与六面体的高和底面进行比较，必要时使用等体积法. 【详解】 对于三棱锥.因平面平面，且平面， 所以平面.故在上运动的点距离平面的距离为定值， 等于两平面间的距离.因此三棱锥以为底，六面体以平行四边形为底， 则三棱锥的底面积为六面体的，高与六面体的高相等， 故体积为.选项A正确. 对于三棱锥.由平行六面体的性质得，且平面， 故平面.故在上运动的点距离平面的距离为定值. 不妨让与点重合，三棱锥以为底， 其体积与三棱锥的体积相等.对于三棱锥， 以为底，六面体以平行四边形为底， 则三棱锥的底面积为六面体的底面积的一半，高相等，故体积为.选项B正确. 对于三棱锥.直线与平面相交于， 故与平面不平行.三棱锥以为底， 动点距离底面的距离随点运动而变化，故该三棱锥的体积并非定值.选项C错误. 对于三棱锥.因在平面内，故平面， 所以无论运动到何处，其到平面的距离为定值.不妨设与点重合， 三棱锥的体积即与三棱锥的体积相等.该三棱锥以为底， 六面体以平行四边形为底， 则该三棱锥的底面积为六面体的一半，高与六面体的高相等， 故体积为.选项D正确. 故选：ABD 10. 关于复数，下列说法正确的是（    ） A. 若是方程（）的解，则 B. 若，则 C. 若，则复数的模长范围为 D. ，均为复数且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对出现的性质判断选项A；举反例判断选项B；利用复数的几何意义求解选项C；利用复数的乘法和共轭复数的定义求解选项D. 【详解】已知是方程（）的解，因为实系数一元二次方程的虚根成对出现，所以也是方程的解. 根据韦达定理，在方程中，两根之和， 则；两根之积，所以选项正确. 设，则，， 即，但，所以选项错误. 设，由，可得， 即， 根据复数的模的计算公式，则， 这表示复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上. 而，其模长为，表示圆上的点到点的距离 圆心到点的距离为， 因为圆的半径为，所以圆上的点到点的距离最小值为，最大值为， 即复数的模长范围为，所以选项正确. 设，， 则， 根据共轭复数的定义，，， 则， 所以，所以选项正确. 故选： 11. 中，角所对的边分别为且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且存在且唯一，则或 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，再根据各个选项的条件逐一求解即可. 【详解】由，， ， 由于，所以，，，故A错误； 由正弦定理得，即，又存在且唯一， 所以或，，故B正确； 由，则，， ，即，而为三角形内角， 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 向量，，则在上的投影向量的坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 13. ，则_________ 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和和角的余弦公式得到方程组，联立求出，，再由差角的余弦公式得到答案. 【详解】因，则（*）， 由，可得（**）， 将（*）代入上式，，即， 代入（**），可得， 故. 故答案为： 14. 正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为_________(用表示) 【答案】 【解析】 【分析】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球的半径，最后利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设在正四面体内与球和均相切的球为，半径为， 设球的半径为，取的中点为，连接，设为正四面体的高， 球，球与侧面分别相切于点，显然点在上，是底面的中心， 又正四面体边长为，所以， 所以，如图，在中，， 连接，由，解得， 连接，又由， 所以球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 复数() （1）若，求表示点在复平面内图形的面积. （2）将化成，且.求证: . 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据复数模的概念，判断复数在复平面对应的图形，再求面积. （2）法1：利用复数的乘法运算化简证明；法2：利用复数三角形式的乘法运算公式证明. 【小问1详解】 由，可得复数在复平面内对应的轨迹图形是圆环，如下图： 其中，圆环的内圆半径为1，外圆半径为3，则圆环的面积为：， 即为复数表示的点在复平面内图形的面积. 【小问2详解】 由题意：， 法1： . 法2： . 16. ，， （1）若，求值； （2）若，且三点一线.，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可； （2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可； （3）根据向量的线性坐标运算求出，然后利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可． 【小问1详解】 因为，，所以， 又，且，所以，解得； 【小问2详解】 因为，，所以，， 又三点共线，所以，所以，解得； 【小问3详解】 因为，，所以， 又，且，所以，解得. 17. 四棱锥的底面是矩形， ，，为中点且 （1）证明:平面平面 （2）求四棱锥的体积 （3）求面与面所成的夹角的余弦值 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明一个线线垂直，则可证明线面垂直，即得线线垂直，再证明线面垂直，最后可证明面面垂直； （2）利用线面垂直可得一个线线垂直，再利用相似，从而可计算边长，即可求体积； （3）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由平面，且平面，则， 所以，又因为矩形，可得， 所以有，又因为，所以 即，则， 又因为，，所以， 则矩形面积为，又因为四棱锥高， 所以四棱锥的体积为. 【小问3详解】 如图以为坐标原点建立空间直角坐标系，由， 可得，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 又因为面的法向量为， 所以有， 即面与面所成的夹角的余弦值为. 18. 函数 （1）求的值域及对称轴方程 （2）锐角中，角所对的边分别为且，，设面积为，周长为，求和的取值范围. 【答案】（1）值域为，对称轴方程为， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简，即可利用整体法求解， （2）利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，由三角函数的性质求解值域即可得解. 【小问1详解】 ， 故值域为， 令,则，故对称轴方程为， 【小问2详解】 由得，故， 进而可得,由于为锐角，所以， 又，则, 由正弦定理可得 故， 由于为锐角三角形，故，则， 故,故，所以， 故, 周长 ， 由于，故，则， 故周长的取值范围为 19. 图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点. （1）求异面直线所成的角的余弦值 （2）求面积的最小值及对应的值 （3）求点M到EF的距离的取值范围. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，进而可根据勾股定理得到，，再利用线面垂直的判定定理即可证明得到平面，从而利用空间向量的坐标运算求解线与线夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离即可求解； （3）利用空间向量的坐标运算表示出点到直线的距离以及二次函数的性质求解. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理，得， 所以，从而, 所以,即. 连接，因为 所以为正三角形，所以. 又因为,, 所以,即， 又因为平面，， 所以平面， 又因为，所以，即， 所以以点为坐标原点，建系如图， 则, , 设异面直线所成的角为， 则. 【小问2详解】 设, 所以, 所以， 因为为中点，所以,所以, 设点到直线的距离为， 则. 二次函数，， 当时，二次函数有最小值， 最小值为. 此时到直线的距离最小，最小值为， 又因为， 所以此时面积最小，最小值为， 此时，即. 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 所以 ， 所以点M到EF的距离的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $