黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026~2027学年度高二年级第一学期开学考试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 检 2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 长 1.1+2 i A.2+i B.-2+i C.-2-i D.2-i 2.已知a,b为两个不共线的向量，若2a十xb=a一b,则x十y= A.-1 B.1 C.2 D.3 3.数据2,2,3,5,5,7,8,10,12的第三四分位数为 A.7 B.7.5 C.8 D.9 4.已知平面a的一个法向量m=(1,1,2),平面β的一个法向量n=(一2，y,z),若a∥B,则y一z= A.5 B.2 C.-2 D.-6 5.从5,6,7,8,9这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为 A号 B合 c n青 6.如图，在正方体ABCD-A1BCD中，E为棱BB1的中点，若点P满 足：平面A1EP∩平面ABCD=L,且I⊥平面ABB1A1,则点P可以 A 位于 A点D处 B.点C处 C.点D处 D点C处 【高二年级开学考试·数学第1页（共4页）】 27-X-003B 7.已知两个不共线向量a,b满足a=bl=xa十bl,x∈「5，]，则b-a与b的夹角的取 3’2 值范围为 A[,] [,] c[] D[] &.在△ABC中，内角A,BC的对边分别为a66,若边BC上的高为号，则产的最大值为 A.2√2 B.2√3 C.3√2 D.35 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数=2一i,22=3十i,在复平面内，之1，x2的对应点分别为Z1,Z2,O为坐标原点，则 A.·2的虚部为5i B.a1x2|=5√2 C.向量OZ,0i的夹角为军 D.向量0乙在O元，上的投影向量为（受，2） 10.已知随机事件A,B满足P(A)=0.3,P(B)=0.6,则 AP(A+B)=0.9 B.P(AB)≠0.18 C.若A二B,则P(A十B)=0.6 D.若A,B相互独立，则P(AB)=0.28 11.如图，在正三棱柱ABC-A1B,C中，AB=AA1,空间一点P满足B驴=λBC+μBB1,入∈ [0,1],u∈[0,1]，则 A.若入=4，则点P在线段BC1上 B.若λ十u=1,则点P在线段B1C上 B C.若入=2，则不存在点P,使得APLBP D.若u=,则存在点P,使得BP⊥A1B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a-3i=2+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，则a十b= 13.某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物AB的高度，选择了与小 矮山底部在同一水平线上的两点C,D(在矮山的同侧)，如图所示， 测得在C处看A,B的仰角分别为30°，60°，在D处看B的仰角为 45°，CD=6m,由此可以计算求得AB= m. 【高二年级开学考试·数学第2页（共4页）】 27-X-003B 14.已知正三棱台ABC-A1B1C的上、下底边长分别为2√3,6√3，该正三棱台内部有一个球与 上、下底面和三个侧面均相切（内切球），则这个正三棱台的高为 D E --333 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7. (1)若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； (2)若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的 概率 16.(本小题满分15分) 为调查高中学生的身高分布情况，某区从高中学生中随机抽取200名学生，测得他们的身高 (单位：cm),按照区间[150,155)，[155,160)，[160,165)，[165,170)，[170,175)， [175,180),[180,185]分组，得到样本的频率分布直方图（如图所示）. 频率 组距 Q 0.040-- 0.030 0.020 0.010--- 0.005- 0 150155160165170175180185身高/cm (1)求图中实数a的值； (2)估计该区高中生的身高的众数，中位数和平均数（精确到0.1cm); (3)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间的学生依次记为A,B,C三个组，按比 例分配的分层随机抽样的方法从这三组中抽取7名学生，求这三个组分别抽取的人数. 【高二年级开学考试·数学第3页（共4页）】 27-X-003B 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3b=√3 acos C-+csin A. (1)求A的大小； (2)若a=2√3，c=22,求b和△ABC的面积. 18.(本小题满分17分) 如图1，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E,F分别为AB,CD的中点，将四边形AEFD沿 EF折起至四边形A1EFD1处，使得二面角A1-EF-B的大小为于，连接A1B,DC,DE, EC,如图2. 如 图1 图2 (1)证明：平面FCD1⊥平面BCFE; (2)求异面直线DE与FC所成角的余弦值； (3)求F到平面ECD1的距离. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB=AD=DP=CD=2,ADL平面PCD,二面 角P-AD-C的大小为，点E,F满足：C疤=C市，B丽=-XBA, (1)若EF∥平面PAD,求λ的值； (2)求DF与平面PBC所成角的正弦的取值范围； (3③)若平面PCF与平面PBC的夹角的余弦值为票，求入的值， 【高二年级开学考试·数学第4页（共4页）】 27-X-003B2026~2027学年度高二年级第一学期开学考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1,D1+2=+2D=2-i.故选D. i(一i) 2.B因为a,b不共线，且2a十xb=3a-b,所以x=-1,y=2,所以x十y=1.故选B. 3.C共9个数据，又9×0.75=6.75，故该组数据的第三四分位数为该组数据从小到大排列后的第7个数，即 为8.故选C. -2=λ， 4.B因为a∥B,所以存在入，使得n=m,所以y=入，所以y=一2，之=一4，所以y一之=一2-（一4）=2.故 (2=2λ， 选B. 5.D从5,6,7,8,9中任取两个数，含有的基本事件有(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)， (7,8),(7,9),(8,9)共10个：其中互质的有(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(7,8)，(7,9)， (89)共8个，故所求概率P=高-青故选D 6.A因为平面AEP∩平面ABCD=l,AD∥平面ABCD,若点P在D1处，则APC平面AEP,所以AP ∥1，又AP⊥平面ABB1A1,所以l⊥平面ABBA,故A正确，易验证BCD不合题意.故选A. 7.C设|a=t(t>0),b-a与b的夹角为0，由|a=|bl=x|a+b=t,得x2(a2+b+2a·b)=t2,所以 ab克-，所以b-al=V后+b-2a=√4r-5=1√-(ba)…b=-ab=2r (4主 点-0-倍诗 =2W 4,因为x[停，号]，所以∈ /4-1 2 [2,3,所以as0的取值范围为[号号]，又0[0，，所以0E[子·音]放选C 8A因为BC边上的高为号，所以△ABC的面积Sac=a·号=子d,又Sa=子csnA,所以子d2= 2 besin A.即a2=26nA,又a=8+e2-2 esA,所以份+2-2 es A=2 hesin A,所以+= 2次（血A+sA.所以安-2(smA十A)=2区如(A+子），又AC0),所以当A=子时， 公土C取得最大值，其最大值为2瓦.故选A b 9.BCD·2=(2+i)(3+i)=6十5i+=5+5i,虚部为5，故A错误：≈2=(2-i)(3十i)=7-i,所以 |12|=√7+(-1)=5√2，故B正确：OZ=(2,-1),OZ=(3,1),记0Z,OZ的夹角为，所以cos0 oZ.oZ. 5 1oZ1·10ZT5×/o 号又0e[01,所以9=吾，故C正确：成在0配上的投影向呈为 ,亮O成-品(31)=（受专），故D正确放选CD 1OZ2|2 10.CD当A,B互斥时，P(A+B)=P(A)十P(B)=0.9,当A,B不互斥时，P(AB)≠0，此时P(A+B)= P(A)十P(B)-P(AB)=0.9-P(AB)≠0.9，故A错误；当A,B相互独立时，P(AB)=0.18,故B错 误；若A二B,则P(A十B)=P(B)=0.6,故C正确：若A,B相互独立，则A,B也相互独立，所以P(AB) =P(A)P(B)=(1-0.3)(1-0.6)=0.28,故D正确.故选CD. 【高二年级开学考试·数学参考答案第1页（共4页）】 27-X-003B 1L.ABD若A=4,则B2=A(BC+BB)=入BC,所以B∥BC,又A∈[0,1门，所以点A P在线段BC,上，故A正确：若入十4=1，所以B萨-入B武+(1-A)BB,所以B驴 BB=入(BC-BB),所以B1P=xBC,所以BP∥BC,又A∈[0,1门，所以点P在 线段BC上，放B正确：若入=之，取棱BC的中点D,则币=BD+:BB,所以D =uBB,则DP∥BB,取棱BC的中点E,连接DE,则点P在线段DE上，连接 AD,AE,易证AD,AE均垂直于平面BCC1B,当点P在点D,或点P在点E处 时，AP⊥BP,故C错误；若A=号，分别取棱BB,CC的中点M,N,连接MN,BN,BE,则点P在线段 MN上，因为四边形BCCB1为正方形，易证BN⊥BE,A1E⊥BN,从而可以证得B1N⊥平面ABE,从而 可得B,N⊥AB,所以当点P在点N处时，BP⊥AB,故D正确.故选ABD. 12.一1由复数相等的条件，得a=2,b=-3,所以a十b=一1. 13.6+2,√3设AB=xm,由题意得AC=AB=x,所以BC=√3x,由题意得∠CBD=15°，在△BCD中，由正弦 定现，得CD即备5解得一6+26 14.23 由题意知上、下底面正三角形的高分别为25×气-3,65×气=9， 2 内切球与上、下底面的切点分别为对应正三角形的重心，设为点M,N,截面 BBDE如图所示，M,N,P为切点，设内切球的半径为r,连接OD,OE,则 ODLOE,DM=3BD=1,NE=3BE=3,所以V/+7√3+7 (1+3)r,解得r=√，所以该正三棱台的高为2， 15.解：(1)小郭和小张每下一盘棋，记“小郭胜”为事件A,“和棋”为事件B, 则P(A)=0.3,P(A十B)=0.7,…1分 因为事件A,B互斥，所以P(A十B)=P(A)十P(B)=0.7,…4分 所以P(B)=0.7-P(A)=0.7一0.3=0.4.…6分 (2)记“小郭第i盘胜”为事件A:(i=1,2),则P(A:)=0.3,所以P(A)=1一0.3=0.7，…8分 又A1,A2相互独立，所以P(AA2)=P(A)P(A2)=0.7×0.7=0.49,…11分 所以小郭至少有一盘棋胜的概率P=1一0.49=0.51.…13分 16.解：(1)由题意得5(0.005十0.030+0.040十a十0.040十0.020+0.010)=1，…1分 解得Q=0.055.…3分 (2)各组的频率依次为：0.025,0.15,0.2,0.275,0.2,0.1,0.05，…5分 所以该区高中生身高的众数为167.5(cm),…6分 因为0.025十0.15+0.2=0.375,0.025+0.15+0.2+0.275=0.65，…7分 所以该区高中生身高的中位数在[165,170)内，设中位数为x, 则(x-165)×0.055=0.5-0.375,解得x≈167.3， 故该区高中生身高的中位数约为167.3(cm). …9分 0.025×152.5+0.15×157.5+0.2×162.5+0.275×167.5+0.2×172.5+0.1×177.5+0.05×182.5= 167.375≈167.4， 故该区高中生身高的平均数约为167.4(cm).…10分 (3)身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]的人数依次为0.2×200=40， 0.1X200=20,0.05X200=10,…12分 7 7 按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组抽取的人数分别为40×40+20十10=4,20×40+20+10一2， 【高二年级开学考试·数学参考答案第2页（共4页）】 27-X-003B 7 10X40+20+10-1, 故按比例分配的分层随机抽样的方法从A,B,C组抽取的人数分别为4人，2人，1人.…15分 17.解：(1)因为5b=√3 acos C+simA, 所以W5sinB=5 sin Acos C+sin Csin A,.… 2分 又B=π-(A十C),所以sinB=sin(A十C)=sin Acos C+cos Asin C,…3分 所以W3 sin Acos C+√3 cos Asin C=√3 sin Acos C.+sin Csin A, 即/5 cos Asin C=sin Csin A,…5分 因为C∈(0，x),所以sinC≠0，所以sinA=√3cosA,即tanA=√3， 又A∈(0，x),所以A=牙 …7分 (2)由1)知A=3,又a=25,c=2E, 由a2=b+2-2 bccos A,得12=b2+8-2√2b, 10分 即一2√2b一4=0，解得b=2十√6（负根舍），… 12分 所以△AC的面积S6=2 inA-=号X(2+5)X22×号-3+5. 15分 18.(1)证明：由题意知EF⊥FC,EF⊥FD,FC,FDC平面FCD,且FC∩FD=F, 所以E℉⊥平面FCD,…2分 又EFC平面BCFE,所以平面FCD1⊥平面BCFE.…3分 (2)解：由题意得FC∥EB,所以异面直线DE与FC所成角为∠DEB(或其补角)， 易证∠DFC是二面角A-EF-B的平面角，故∠D,FC=号，又DF=FC=1,所以D,C=1, 由(I)知EF⊥平面FCD,,D,CC平面FCD1,所以EF⊥DC,又BC∥EF,所以BC⊥D,C,从而四边形 BCDA为正方形. 连接DB,则DE=DB=√2， …5分 D 所以cos∠D,EB=DE+EB-DB_2+1-2=2 A 2D1E·EB 22 41 M 所以异面直线D,E与C所成角的余弦值为票。 ……8分 万 (3)解：由(1)知平面FCD⊥平面BCFE,作DM⊥FC,垂足为M,因为平面 BCFE∩平面FCD1=FC,DMC平面FCD1,所以DM⊥平面BCFE,… …9分 由(2)知DF=FC=D,C-1,D,M=D,Fsin∠D,FC- 2 … 11分 所以三楼锥D,-EFPC的休积V-子SaC·DM-号×号×FC·FE,DM-停， …12分 在△D,EC中，易求得DE=EC=2,DC=1, 所以△D,EC的面积Sn=2D,C·√DP-(PT=×IX√2-千-互， .…14分 设点F到平面D,EC的距离为h,因为三棱锥F-D,EC的体积等于三棱锥D,-EFC的体积， 所以了Sh=得，即子×A=所以h=何 7 即点F到平面D,EC的距离为√四 17分 【高二年级开学考试·数学参考答案第3页（共4页）】 27-X-003B 19.解：因为AD⊥平面PCD,CD,PDC平面PCD,所以AD⊥CD,AD⊥PD,所以∠PDC为二面角P-AD-C 的平面角，所以∠PDC=年. 3 …1分 以D为坐标原点，直线DA,DC分别为x轴，y轴，以过点D且与平面 ABCD垂直的直线为之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,-1,3),所以D E =(0,-1,W5),DA=(2,0,0),C币=(0，-5,3)，BA=(0,-2,0), D Bd=(-2,2,0),…3分 m·DP=0, 设平面PAD的一个法向量m=(xy,刘)，则 m DA=0, 即 一y+5为=0令1=1，解得西=0=5，所以m=(0W5,1. 分 2x=0, 1C立=C市，得E(0,,）,由萨-AB=0,-2以，0，得F2,2-2以，0， 所以成-(2，--2x,-) 5分 因为EF/平面PAD,所以Lm,所以(--2A)-=0, 解得入=一之 6分 (2)因为B亦-ABA=(0,-2x,0),所以D市-D丽+B市-(2,2-2λ，0)， n.CP=0, 设平面PC的一个法向量n=(2,边，2)，则 n…成-0.即 -5十3x2=0,令2=5，解得m=3, -22+2y=0, 为=3，所以n=(3,√5,5)， ……………7分 设DF与平面PBC所成的角为O,则 sin 0=I cos(DF,n)= DF.n I25+3(2-2A)L 3A-21 D·nl …9分 √/4+(2-2)7·√3T√/3I·√2-2λ+2 当=2时，sin0=0:…10分 当入≠2时，sin0= √5 3I· 2-2λ+2 √a+1 2 (λ-2)2 √2(2+2)+2 /3 √186 31 当且仅当入=0时等号成立.… 12分 3 所以sin0∈ [0,],即DF与平面PBC所皮角的正弦值的取值范围为 0,186 31 …13分 (3)由(1)知F(2,2-2x,0),所以C市=(2，-2-2入，0)， fu·CF=0, 2.g+(-2-2λ)y3=0, 设平面PCF的一个法向量u=(%,为，之)，则 即 4=0, 令3=5，解得x3= -5y%+√/3x3=0, 3(1+),为=3，所以u=(3(1+λ)w3,5), 14分 由(2)知平面PBC的一个法向量n=(5,W5,5), 15分 设平面PCF与平面PBC的夹角为a,则 cos a=1 cos(u,1=n3(+28X3T u·n |3x+31 /93 31 解得=一 6 17分 【高二年级开学考试·数学参考答案第4页（共4页）】 27-X-003B