热点预测二 积分动量在带电粒子在磁场中运动的应用（专项训练）（浙江专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦带电粒子在磁场中运动的专项训练，以洛伦兹力为核心，构建从基础圆周运动到复合场、含阻力螺旋运动的递进式知识逻辑，强化科学思维中的模型建构与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-2题|磁场方向判断、向心加速度计算|洛伦兹力提供向心力的基本应用| |复合场综合|3-8题|多区域电场磁场组合、轨迹控制|运动合成与分解在复合场中的迁移| |阻力与螺旋运动|9-12题|含阻力的变加速曲线运动|动量定理与微元法解决非匀变速问题|

热点预测二 积分动量在带电粒子在磁场中运动的应用（专项训练） 1．（2026·浙江绍兴·三模）如图所示的威尔逊云室处于磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中。电子以初速度垂直于磁场进入云室，运动轨迹如图所示。电子运动中受到的阻力大小，其中为常数，为速率。已知电子的电量为，质量为。关于电子的运动，下列说法正确的是（　　） A．电子的运动方向为b→a B．进入磁场时电子的向心加速度为 C．电子从刚进入磁场到第一次速度方向与初速度方向垂直的时间为 D．电子运动轨迹的总长度为 2．（2024·浙江台州·一模）如图甲为自由电子激光器，它能将相对论性自由电子束的动能转变成相干的电磁辐射能的装置，共核心部件“扭摆器”由2n对极性交替水平排列的永磁体构成，每对永磁体长度宽度分别为2L和L，产生竖直方向空间交替的静磁场。其基本原理可简化为：电子束加速器可在水平方向自由移动，初速度为零的自由电子经电压为U的加速器加速后，垂直进入水平面半径为R的圆形磁场并被引入扭摆器，电子在垂直于磁场的方向上“扭动”前进，每次“扭动”都转化为激光辐射，通过光学系统输出。如图乙所示，两个完全相同的圆形磁场与扭摆器两端相切，圆心均在x轴，若电子束对准圆心O1入射时，能沿x轴方向进入扭摆器。已知电子质量为m，带电荷−e，忽略电子加速后速度损失、相对论效应及辐射过程中的动能损耗。求： (1)圆形磁场的磁感应强度B1； (2)若上下一对永磁体间的磁感应强度恒为B0，当电子束从O点进入的速度与x轴的夹角为30°时，能经过扭摆器后被完整收集，则 ①电子束加速器需要向右平移多少距离； ②电子束在磁场中运动的总时间。 (3)实际上，扭摆器的上下一对永磁体间磁感应强度大小有变化，假设在0 < x < L范围内沿x轴的磁感应强度与位置x近似满足。若电子束从O点以速度，与x轴正方向夹角α = 60°斜向右上方射入磁场，则电子束从O点运动到离y轴最远（不超过L且仍在磁场中）的过程中运动轨迹与y轴围成的面积S。 3．（2024·浙江·一模）现代高能粒子实验中需要获取轨迹可控的高能粒子，发现用磁场约束粒子运动轨迹的方法十分有效。空间中存在三个有电场或磁场的区域，区域Ⅰ是半径为的圆形区域，区域Ⅰ中存在磁感应强度大小为的垂直于纸面向外的匀强磁场；区域Ⅱ在区间内存在平行轴的匀强电场，，场强大小，场强方向沿着轴负向，区域Ⅲ为的区间，存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，坐标为的点是边界上一点。一群质量为，电荷量为的带电粒子沿着方向射入区域Ⅰ，其坐标范围为，要求这批粒子从同一点离开区域Ⅰ。（不计粒子重力，）求： (1)求粒子初速度； (2)这批粒子离开区域与轴的夹角范围； (3)某粒子能到达点，该粒子最初入射的坐标； (4)若满足（3）的那个粒子从点进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与区域Ⅲ磁场左边界相切于点（未画出）。求粒子由点运动到点的时间以及坐标的值。 4．如图所示，在真空的xOy坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向沿y轴负方向的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场。在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以大小为v、方向与y轴负方向夹角的速度从坐标原点进入区域。不计粒子重力，已知。求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)在的区域运动过程中，粒子到x轴的最大距离； (3)在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 5．为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在xOy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及左边界的值； (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间以及坐标的值。 6．如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 7．电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域。如图所示，在x、y轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为m、电荷量为+q的同种带电粒子以相同的速度v0平行于x轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小未知，方向沿y轴负方向，边界分别与x轴、y轴交于P（-2L，0）、Q（0，-L）两点。其边界均有粒子射入，且所有粒子都从Q点射出电场，进入第四象限的匀强磁场，其中速度平行x轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到x轴的正半轴上。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。求： (1)第三象限内匀强电场的场强大小E0； (2)所有粒子打到x轴正半轴上的区域长度d； (3)第一象限交替分布着沿y轴正方向的匀强电场和垂直xOy平面向外的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度、磁感应强度分别为B、2B、3B……，其中。求射入第一象限的粒子离x轴的最远距离y。 8．如图甲所示，在光滑的水平面内存在两个小球P、Q（可视为质点），质量均为m，电荷量分别为+q和-q，它们之间的距离为R0。已知静电力常量为k，两个小球间的电势能为（r为两球之间的距离），不计小球运动产生的磁场及相对论效应。 (1)若固定小球Q，当小球P具有垂直于连线的初速度v0时，恰做匀速圆周运动，求初速度大小v0； (2)在（1）的条件下，将小球P的初速度大小改为v1（v1<v0），其运动过程中，两球连线在单位时间内扫过的面积相等。已知它们之间的最近距离为R（R<R0），求小球P初速度的大小v1； (3)若加竖直向下的匀强磁场，如图乙所示，同时由静止释放两个小球，为了使它们不发生碰撞，求磁感应强度的最小值Bmin。 9．如图所示，在空间建立直角坐标系，区域存在匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。碰撞瞬间，电场力可忽略。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小； (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 10．磁控溅射是一种物理气相沉积技术，利用惰性气体等离子体轰击靶材，将靶材原子溅出并在基片上沉积成薄膜。部分过程原理简图如图所示，间存在匀强电场，间存在垂直纸面向里的匀强磁场，氩（）原子在间沿方向运动。电子源沿电场发射电子，电子经MN进入叠加场区域，在叠加场中运动时撞击氩原子，形成带正电的氩离子，氩离子在复合场中运动，最终撞击靶材，将靶材原子溅出。已知电子和氩离子带电荷量的绝对值均为e，电子质量为，氩离子质量为。间的距离为，间的距离为。电子离开电子源时的速度可忽略。 (1)能使氩原子变成氩离子所需的最小能量为，间的氩原子均能被电离（假设电子的动能可以全部被氩原子吸收），求电场强度的最小值。 (2)在（1）所求电场强度下，要使没有与氩原子碰撞的电子恰能返回到间，求磁感应强度的大小。 (3)电子撞击氩原子过程，可忽略对氩原子速度的影响，在（1）（2）所求结果情况下，要使在MN处形成的氩离子垂直打到靶材上，求氩原子的速度大小。 11．如图所示的xOy平面内，在第三、四象限有半径为的圆形区域Ⅰ以及在的区域Ⅱ内都充满磁感应强度大小相同、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，圆心位置坐标为，在的区域内存在匀强电场，方向沿y轴负方向，电场强度的大小E未知；在xOy平面内有一粒子源，可向xOy平面内沿x轴正方向射出速度大小均为的粒子，粒子质量为m，带正电且电荷量为q；粒子源在坐标为的位置发射粒子时，该粒子恰好从坐标原点O处进入电场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求匀强磁场区域磁感应强度B的大小； (2)在第三象限磁场区域Ⅰ外平行y轴方向上下移动粒子源，当粒子源移到离x轴时，带电粒子从匀强电场的上边界处射出电场，并且首次在磁场区域Ⅱ运动过程中刚好不从上边界射出磁场。已知，，求的大小（用L表示）； (3)带电粒子在绝缘介质中运动时都会受到阻力，阻力大小可近似表达为，其中k为粘滞系数，v为粒子运动的速度，不同的介质粘滞系数不同，为了测试某介质的粘滞系数k，可以将磁场区域Ⅰ充满这种介质，在第三象限磁场区域Ⅰ外平行y轴方向上下移动粒子源，让发射的粒子沿x轴正方向射入磁场区域Ⅰ，当粒子源距离x轴时，这个粒子恰好能沿y轴正方向通过坐标原点O点，求这种介质的粘滞系数k。 12．如图所示，在水平地面上方、PQ右侧的区域内，有竖直向上、场强E=5 N/C的匀强电场，水平面ab下方有垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，水平面ab上方有垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场。地面的小车上固定一竖直绝缘管，绝缘管内壁粗糙，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小球，小球质量m=20 g，电荷量，绝缘管管口与水平面ab齐平，现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小球在绝缘管内匀速运动，最后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小球在绝缘管外受到空气阻力的作用，已知空气阻力大小与其速度大小关系为，小球第一次与第二次经过水平面ab的距离为x=2.10 m。取，不计其它阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)小球刚进入磁场时的加速度大小； (2)小球与管壁间的动摩擦因数； (3)小球第二次经过水平面ab时的速度与竖直方向夹角的正切值。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点预测二 积分动量在带电粒子在磁场中运动的应用（专项训练） 1．（2026·浙江绍兴·三模）如图所示的威尔逊云室处于磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里的匀强磁场中。电子以初速度垂直于磁场进入云室，运动轨迹如图所示。电子运动中受到的阻力大小，其中为常数，为速率。已知电子的电量为，质量为。关于电子的运动，下列说法正确的是（　　） A．电子的运动方向为b→a B．进入磁场时电子的向心加速度为 C．电子从刚进入磁场到第一次速度方向与初速度方向垂直的时间为 D．电子运动轨迹的总长度为 【答案】BC 【详解】A．因为阻力的作用，电子的速度减小，电子做圆周运动的半径满足 解得 电子运动中受到的阻力的作用，速度不断减小，故粒子运动的半径不断减小，故电子的运动方向为，故A错误； B．电子受沿切向的阻力和法向的洛伦兹力，向心力由洛伦兹力提供，进入磁场时电子的向心加速度满足 解得，故B正确； C．电子在磁场中运动时，向心力由洛伦兹力提供，满足 解得 可知角速度与速率无关，保持恒定。速度方向偏转，即 故电子从刚进入云室到第一次速度方向与初速度方向垂直的时间为，故C正确； D．将粒子的运动分为切线方向和法线方向，根据动量定理，从粒子进入云室到停止运动，在沿切线方向有 整理得 电子运动轨迹的总长度为，故D错误。 故选BC。 2．（2024·浙江台州·一模）如图甲为自由电子激光器，它能将相对论性自由电子束的动能转变成相干的电磁辐射能的装置，共核心部件“扭摆器”由2n对极性交替水平排列的永磁体构成，每对永磁体长度宽度分别为2L和L，产生竖直方向空间交替的静磁场。其基本原理可简化为：电子束加速器可在水平方向自由移动，初速度为零的自由电子经电压为U的加速器加速后，垂直进入水平面半径为R的圆形磁场并被引入扭摆器，电子在垂直于磁场的方向上“扭动”前进，每次“扭动”都转化为激光辐射，通过光学系统输出。如图乙所示，两个完全相同的圆形磁场与扭摆器两端相切，圆心均在x轴，若电子束对准圆心O1入射时，能沿x轴方向进入扭摆器。已知电子质量为m，带电荷−e，忽略电子加速后速度损失、相对论效应及辐射过程中的动能损耗。求： (1)圆形磁场的磁感应强度B1； (2)若上下一对永磁体间的磁感应强度恒为B0，当电子束从O点进入的速度与x轴的夹角为30°时，能经过扭摆器后被完整收集，则 ①电子束加速器需要向右平移多少距离； ②电子束在磁场中运动的总时间。 (3)实际上，扭摆器的上下一对永磁体间磁感应强度大小有变化，假设在0 < x < L范围内沿x轴的磁感应强度与位置x近似满足。若电子束从O点以速度，与x轴正方向夹角α = 60°斜向右上方射入磁场，则电子束从O点运动到离y轴最远（不超过L且仍在磁场中）的过程中运动轨迹与y轴围成的面积S。 【答案】(1) (2)①；② (3) 【详解】（1）由动能定理 得 由题意知 又 得 （2）①如图所示，由几何关系可知电子加速器水平移动距离 ②在圆形磁场中周期 经过两个圆形磁场的时间 在扭摆器磁场中的周期 经扭摆器时间 总时间 （3）由图可知，离y轴最远时，v与y轴平行，任Δt内，由水平方向动量定理 由 且 则 又 即电子束与y轴围成的面积 3．（2024·浙江·一模）现代高能粒子实验中需要获取轨迹可控的高能粒子，发现用磁场约束粒子运动轨迹的方法十分有效。空间中存在三个有电场或磁场的区域，区域Ⅰ是半径为的圆形区域，区域Ⅰ中存在磁感应强度大小为的垂直于纸面向外的匀强磁场；区域Ⅱ在区间内存在平行轴的匀强电场，，场强大小，场强方向沿着轴负向，区域Ⅲ为的区间，存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，坐标为的点是边界上一点。一群质量为，电荷量为的带电粒子沿着方向射入区域Ⅰ，其坐标范围为，要求这批粒子从同一点离开区域Ⅰ。（不计粒子重力，）求： (1)求粒子初速度； (2)这批粒子离开区域与轴的夹角范围； (3)某粒子能到达点，该粒子最初入射的坐标； (4)若满足（3）的那个粒子从点进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与区域Ⅲ磁场左边界相切于点（未画出）。求粒子由点运动到点的时间以及坐标的值。 【答案】(1) (2)粒子的角度范围在与x轴夹角53°范围内 (3) (4)， 【详解】（1）由磁聚焦原理，沿着轴正向入射的粒子将汇聚于区域I与轴的交点，且磁场圆与轨迹圆半径相同，则 由牛顿第二定律可得 解得 （2）时，由几何关系可得 所以 时，由几何关系可得 所以 则粒子的角度范围在与x轴夹角53°范围内； （3）区域Ⅱ中带电粒子在匀强电场中做匀变速曲线运动，类斜抛运动，假设入射粒子与轴正向夹角为α，由运动的分解可得，方向有 方向有 解得 由几何关系x坐标为 （4）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场的运动轨迹如图所示 根据 可得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 取一小段时间Δt，对粒子在x方向上列动量定理 两边同时对过程求和 可得 即 其中 则有 可得 故有 4．如图所示，在真空的xOy坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向沿y轴负方向的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场。在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以大小为v、方向与y轴负方向夹角的速度从坐标原点进入区域。不计粒子重力，已知。求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)在的区域运动过程中，粒子到x轴的最大距离； (3)在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子从P运动到O的过程中，只有电场力做功，根据动能定理 有 得 粒子从P运动到O的过程，在磁场中时，任意时刻有，取很短时间内，以水平向右为正，研究水平方向，由动量定理 有 两边求和， 有 得 （2）粒子在垂直平面内做匀速圆周运动，由 有，其中 得，则粒子到x轴的最大距离 （3）粒子在垂直平面内做匀速圆周运动时，由 有 得，粒子在的区域内沿轴做匀速直线运动，在一个周期内，沿轴方向运动的距离，其中 得，则粒子每次经过x轴时的横坐标 5．为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在xOy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及左边界的值； (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间以及坐标的值。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 又 联立解得粒子的比荷为 （2）粒子的轨迹如图所示 粒子在电场中可逆向看成做类平抛运动，则有 联立解得匀强电场电场强度大小为 由图片中的几何关系可得 解得 （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由，可得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 粒子在方向上 所以 取一小段时间， 因为，所以阻力的x方向冲量为0 同理可得洛伦兹力的x方向冲量为 则有 结合 可得 故有 6．如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在圆形区域做圆周运动，带电粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得 带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，满足 两式联立，解得带电粒子的比荷 （2）设带电粒子进入区域2的速度为，因粒子在区域1运动时竖直方向速度大小不变，故 根据动能定理有 解得每个区域的宽度 （3）设在区域14右边界，速度沿竖直方向且速度大小为，带电粒子由区域1到区域14，根据动能定理有 平行边界方向，根据动量定理有 整理得 解得 7．电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域。如图所示，在x、y轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为m、电荷量为+q的同种带电粒子以相同的速度v0平行于x轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小未知，方向沿y轴负方向，边界分别与x轴、y轴交于P（-2L，0）、Q（0，-L）两点。其边界均有粒子射入，且所有粒子都从Q点射出电场，进入第四象限的匀强磁场，其中速度平行x轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到x轴的正半轴上。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。求： (1)第三象限内匀强电场的场强大小E0； (2)所有粒子打到x轴正半轴上的区域长度d； (3)第一象限交替分布着沿y轴正方向的匀强电场和垂直xOy平面向外的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度、磁感应强度分别为B、2B、3B……，其中。求射入第一象限的粒子离x轴的最远距离y。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从P点入射的粒子在电场中做类平抛运动至Q点，则有 联立解得 （2）经分析，所有入射粒子从Q点进入磁场，经磁场偏转后均垂直打在x轴的正半轴上：速度平行x轴入射磁场的粒子，轨迹圆半径且满足 从P点入射电场的粒子，在Q点处速度方向与y轴负向成且大小为，根据 联立解得 由几何关系可得，该粒子打在x轴的正半轴上距O点处，则所有粒子打在x轴正半轴上的区域长度 （3）经分析：以v的速度进入第一象限的粒子在第一象限可运动至离x轴最远： 设该粒子在第n个磁场中达到离x轴最远，此时速度与x轴正方向平行，在电场中加速，根据动能定理有 联立解得 在磁场中，根据水平方向动量定理有 若恰好经n个磁场偏转有 代入数据变形可得 应满足，联立可得 n=6时，满足要求，即在第6个磁场中达到离x轴最远，设在第6个磁场中沿y轴方向位移为，则有 解得 则离x轴最远距离 8．如图甲所示，在光滑的水平面内存在两个小球P、Q（可视为质点），质量均为m，电荷量分别为+q和-q，它们之间的距离为R0。已知静电力常量为k，两个小球间的电势能为（r为两球之间的距离），不计小球运动产生的磁场及相对论效应。 (1)若固定小球Q，当小球P具有垂直于连线的初速度v0时，恰做匀速圆周运动，求初速度大小v0； (2)在（1）的条件下，将小球P的初速度大小改为v1（v1<v0），其运动过程中，两球连线在单位时间内扫过的面积相等。已知它们之间的最近距离为R（R<R0），求小球P初速度的大小v1； (3)若加竖直向下的匀强磁场，如图乙所示，同时由静止释放两个小球，为了使它们不发生碰撞，求磁感应强度的最小值Bmin。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据库仑力提供向心力可得 解得 （2）若小球P的初速度大小为v1（v1<v0），则小球P将做近心运动，轨迹为椭圆，根据开普勒第二定律可得 小球P从初始位置运动到与Q距离最近的过程，根据能量守恒定律可得 联立解得 （3）系统水平方向合外力为零，则系统水平方向总动量始终为0，两球始终关于初始中点对称运动，两球恰好不碰撞，则水平速度为零，设二者间距离为r，根据能量守恒定律可得 在垂直于二者连线方向，根据动量定理可得， 根据几何关系可得 联立解得 根据数学知识可得，当时，磁感应强度最小，最小值为 9．如图所示，在空间建立直角坐标系，区域存在匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。碰撞瞬间，电场力可忽略。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小； (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 【答案】(1) (2) (3)，为非负整数；最大面积 【详解】（1）初速度为的电子在场中运动受到电场力和洛伦兹力的作用，受到电场力为 受到的洛伦兹力为 二者垂直，则合力 （2）沿轴方向做匀加速直线运动，垂直于轴方向做圆周运动，两个方向的速度垂直，洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理得 解得 时间内，个电子撞击荧光屏，速度变为0，由动量定理 解得 （3）沿轴从前往后看，初速度为的电子在垂直于轴的平面做匀速圆周运动，有 解得 圆周运动周期 周期相同，所有不同初速度大小但同方向的电子从原点到平面的时间相同，圆周运动角度相同，在荧光屏上形成直线；不同方向，不同速度大小电子在荧光屏上形成一个角度为的扇形区域，扇形区域的最大半径为电子位置离荧光屏与轴交点的最大距离 屏上接收到电子的区域的最大面积 沿轴方向，由动量定理 解得从原点到的时间 时间满足，为非负整数 解得，为非负整数。 10．磁控溅射是一种物理气相沉积技术，利用惰性气体等离子体轰击靶材，将靶材原子溅出并在基片上沉积成薄膜。部分过程原理简图如图所示，间存在匀强电场，间存在垂直纸面向里的匀强磁场，氩（）原子在间沿方向运动。电子源沿电场发射电子，电子经MN进入叠加场区域，在叠加场中运动时撞击氩原子，形成带正电的氩离子，氩离子在复合场中运动，最终撞击靶材，将靶材原子溅出。已知电子和氩离子带电荷量的绝对值均为e，电子质量为，氩离子质量为。间的距离为，间的距离为。电子离开电子源时的速度可忽略。 (1)能使氩原子变成氩离子所需的最小能量为，间的氩原子均能被电离（假设电子的动能可以全部被氩原子吸收），求电场强度的最小值。 (2)在（1）所求电场强度下，要使没有与氩原子碰撞的电子恰能返回到间，求磁感应强度的大小。 (3)电子撞击氩原子过程，可忽略对氩原子速度的影响，在（1）（2）所求结果情况下，要使在MN处形成的氩离子垂直打到靶材上，求氩原子的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要使电子能电离氩原子，电子的动能 对电子，由动能定理有 则 电场强度的最小值为 （2）要使没有与氩原子碰撞的电子能返回到间，则电子在间向下运动的最大距离为，建立如图所示的坐标系，电子的运动轨迹如图中所示，恰与PQ相切。 设电子向PQ运动过程，经过某位置时沿轴的分速度分别为，结合洛伦兹力知识，有 结合动量定理，累加有 到相切位置的过程由动能定理有 联立解得 （3）氩离子能垂直打到靶材上，类比（2）中分析，有 则氩原子的速度 11．如图所示的xOy平面内，在第三、四象限有半径为的圆形区域Ⅰ以及在的区域Ⅱ内都充满磁感应强度大小相同、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，圆心位置坐标为，在的区域内存在匀强电场，方向沿y轴负方向，电场强度的大小E未知；在xOy平面内有一粒子源，可向xOy平面内沿x轴正方向射出速度大小均为的粒子，粒子质量为m，带正电且电荷量为q；粒子源在坐标为的位置发射粒子时，该粒子恰好从坐标原点O处进入电场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求匀强磁场区域磁感应强度B的大小； (2)在第三象限磁场区域Ⅰ外平行y轴方向上下移动粒子源，当粒子源移到离x轴时，带电粒子从匀强电场的上边界处射出电场，并且首次在磁场区域Ⅱ运动过程中刚好不从上边界射出磁场。已知，，求的大小（用L表示）； (3)带电粒子在绝缘介质中运动时都会受到阻力，阻力大小可近似表达为，其中k为粘滞系数，v为粒子运动的速度，不同的介质粘滞系数不同，为了测试某介质的粘滞系数k，可以将磁场区域Ⅰ充满这种介质，在第三象限磁场区域Ⅰ外平行y轴方向上下移动粒子源，让发射的粒子沿x轴正方向射入磁场区域Ⅰ，当粒子源距离x轴时，这个粒子恰好能沿y轴正方向通过坐标原点O点，求这种介质的粘滞系数k。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，可知 在的位置发射粒子时，该粒子恰好从坐标原点O处进入电场，可知粒子做圆周运动的轨迹圆半径与磁场半径相同，满足 联立解得 （2）粒子做圆周运动的轨迹圆半径与磁场半径相同，当粒子源移到离x轴时，粒子在圆形磁场的运动轨迹如图所示 可知粒子仍然会从坐标原点O进入电场，设进入电场时速度方向与x轴正方向的夹角为，则 故 设粒子射出电场时的速度为，与x轴正方向夹角为，在电场中运动时间为t，粒子在电场中沿x轴方向为匀速直线运动，满足， 粒子在电场中沿y轴方向为匀变速直线运动，满足， 粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动，有 区域Ⅱ的磁场上、下边界的距离为 几何知识有 联立以上式子解得 （3）设粒子进入区域Ⅰ对应的入射点坐标点为 当粒子源距离x轴时，这个粒子恰好能沿y轴正方向通过坐标原点O点，结合圆的轨迹方程 可知， 故粒子从坐标原点O点射出时，水平、竖直方向的位移， 粒子在磁场中的运动，在x方向用动量定理有 等式两边对时间累计求和，解得 代入数据，解得 12．如图所示，在水平地面上方、PQ右侧的区域内，有竖直向上、场强E=5 N/C的匀强电场，水平面ab下方有垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，水平面ab上方有垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场。地面的小车上固定一竖直绝缘管，绝缘管内壁粗糙，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小球，小球质量m=20 g，电荷量，绝缘管管口与水平面ab齐平，现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小球在绝缘管内匀速运动，最后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小球在绝缘管外受到空气阻力的作用，已知空气阻力大小与其速度大小关系为，小球第一次与第二次经过水平面ab的距离为x=2.10 m。取，不计其它阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)小球刚进入磁场时的加速度大小； (2)小球与管壁间的动摩擦因数； (3)小球第二次经过水平面ab时的速度与竖直方向夹角的正切值。 【答案】(1)6m/s2 (2) (3) 【详解】（1）小球刚进入水平面ab下方的磁场时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小球的合力，根据牛顿第二定律得 解得 （2）一段时间后小球在绝缘管内匀速，则有 又因为小球最后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管 解得 （3）设某时刻竖直方向速度为，水平方向速度为，竖直方向根据动量定理有 其中 即 解得 水平方向根据动量定理有 其中 即 解得 所以 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $