第一章 直角三角形的边角关系 回顾与思考(课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了直角三角形边角关系的核心内容，以“两个概念、一个运算、两个应用和两个技巧”为框架，串联锐角三角函数定义、解直角三角形、特殊角运算及化斜为直等方法，构建完整知识网络。 其亮点在于结合生活实例（如孔子雕像测量）培养数学眼光，通过化斜为直等技巧发展推理能力，分层设计基础题与中考真题，助力学生巩固知识，教师精准教学。

第一章 直角三角形的边角关系 回顾与思考 鲁教版（五四制）九年级上册 本章主要学习锐角三角函数的定义,锐角三角函数值，解 直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用 解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用 问题，这些是中考的必考内容.本章热门考点可概括为两个概 念、一个运算、两个应用和两个技巧. 2 考点1 两个概念 概念1 锐角三角函数 1. 在中， ，已知， ，那么 下列各式中，正确的是( ) C A. B. C. D. 3 【点拨】 在中， ，， ， ， ， ， .故选C. 4 2. 如图，，， 是小正方形的顶点， 且每个小正方形的边长均为1，则 的值为( ) B A. B. 1 C. D. 5 【点拨】如图，连接，易知， ， , 为等腰直角三角形. ， .故选B. 6 概念2 解直角三角形 3. 在中， ，，， 的对边分别是 ，， ，根据下列条件解直角三角形. （1）, ; 【解】,, . 是等腰直角三角形， . 7 （2）, . ， . 又 ， ， . , . 又,,解得 . . 8 4. [浙江省中考] 如图，在 中， ，是 边上的中线， ,, . （1）求 的长; 【解】在中，, ， . 在中， ， . 9 （2）求 的值. 是 边上的中线， 在 中， . . . 10 考点2 一个运算——特殊角的三角函数值与实数的运算 5. 已知 为锐角，且，则____ . 60 11 6. 计算： （1） ； 【解】原式 . 12 （2） . 原式 . 13 考点3 两个应用 应用1 锐角三角函数在学科内的应用 7. 如图，在菱形 中， ， ，折叠该菱形，使 点落在边上的点 处，折痕分别与 边，交于点，.当点 的位置 变化时， 长的最小值为_____. 14 【点拨】根据折叠的性质，得 . 如图，过点作于点，过点 作于点， . 四边形是菱形， ， ， ,， 易知 . 长的最小值 为 . 15 8. 在平面直角坐标系 中，已知一次函数 的图象过点，与轴交于点，与 轴交于点，且，求点 的坐标. 【解】 一次函数的图象经过点 ， ，即， 一次函数的表达式为 一次函数的图象与轴、 轴的交点,的坐标分别为, ， 16 ， , 且，解得或，当 时， 点的坐标为；当时，点的坐标为 .综上， 点的坐标是或 . 应用2 解直角三角形在实际生活中的应用 9. [山东省泰安市模拟] 如图，某中学凤栖堂 前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在 雕像前，自处测得雕像顶的仰角为 ， 小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶 的仰角 为 ，此时，两人的水平距离为 ，已知凤栖堂门 前台阶斜坡的坡比为.参考数据： ， ， 18 （1）计算台阶 的高度； 【解】 凤栖堂门前台阶斜坡 的坡比 为 , . , ,即台阶 的高度 为 . 19 （2）求孔子雕像 的高度. 如图,过点作于点 , 由题意得,四边形 是矩形, , . 20 设,则 . 在中, , 易知 . . . ,,解得 . 经检验, 是原分式方程的解, 孔子雕像的高度约为 . 21 考点4 两个技巧 技巧1 化斜为直法 10. 如图，在中，，，，且 为锐角，则 __. 22 【点拨】过点作于点 . ，， ， . . 23 11. 四边形中，与交于点，是 的中 点，，已知，， ，求 的长. 24 【解】如图，过作于，过 作 于， ， ， ， ，设 ，则 ，，， ， ， 在和 中，由勾股定理易得 25 ，即 ， 是 的中点， ， ， ，，在 中， 由勾股定理得，即 ，解得 （负值已舍 去）， . 化斜为直法，通过作高把斜三角 形转化为两个直角三角形. . . 技巧2 割补法 12. 如图，在四边形 中， ， ， ，，，求 的长.（结果取整数，参考数据： ， ， ） 28 【解】如图，过点作于点 ，过点 作于点 ， . 又 ， 四边形 是矩形. ， . ， 29 . 在 中， ， . ， ， . 在中， . . $