广东省广州市培英中学2025-2026学年高一下学期（港澳）期中考试数学试题

广州市培英中学2025学年第二学期港澳高一期中考试（数学） 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡一并交回． 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）如图所示，已知在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（本题5分）中，三个内角，，的对边分别为，，．已知，，，则的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 4．（本题5分）在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是（ ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知非零向量与的夹角为，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设，．若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（本题5分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在中，，，在射线上，且满足，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A． B． C．若，则复数对应的点位于第四象限 D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 10．（本题6分）已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A．，，则或 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 11．（本题6分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，，，则符合条件的三角形不存在 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶的仰角为，则_______m． 13．（本题5分）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是_______． 14．（本题5分）一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为_______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 16．（本题15分）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向．观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号．此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时． （1）求处到观测塔的距离； （2）处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别是和的中点， （1）证明：； （2）证明：平面平面． 18．（本题17分）已知，． （1）若与共线，求的值； （2）若与的夹角为，求的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $