精品解析：江苏省南京市六校联合体2026届高三上学期8月学情调研考试数学试题

2026届六校联合体高三8月学情调研 高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，且，则可以为（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 4 2. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z虚部为（ ） A. 1 B. i C. －1 D. －i 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递减 C. 区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 7. 在等比数列中，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 8. 已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在R上单调递增 B. 当时，有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 D. 恒成立 11. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族(不包括直线)．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该直线族的包络曲线方程为 B. 若，则该直线族的包络曲线为椭圆 C. 当时，点可能在直线族上 D. 当时，曲线是直线族的包络曲线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 展开式中的常数项为__________． 13. 若抛物线焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______． 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 16. 已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． （1）求； （2）若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和 ，求的值． 17. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． （1）求证：； （2）棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆C: 过点，且C的右焦点为． （1）求C的方程； （2）设过点的一条直线与C交于P、Q两点，且与线段AF交于点S． （i）求面积的最大值； （ii）证明：S到直线FP和FQ的距离相等． 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届六校联合体高三8月学情调研 高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，且，则可以为（ ） A. －2 B. －1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可. 【详解】因为， 所以，即， 可知，，，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B 2. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. －1 D. －i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】由题知， 所以z的虚部为为1. 故选：A. 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式进行化简，即可得解. 【详解】由题意，则， 即，所以，所以. 故选：C. 5. 已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积. 【详解】如图所示，正四棱锥，，为底面正方形的中心，为的中点. 由已知可得，所以，又， 所以， 所以正四棱锥的体积. 故选：D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的周期性可直接判断AC，求出平移后相应函数的解析式并化简，结合余弦函数性质判断BD． 【详解】函数的最小正周期是，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错； 函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为， 选项B，时，，在此区间上是减函数，B正确； 选项D，时，，在此区间上不是单调函数，D错误． 故选：B． 7. 在等比数列中，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】， 则， 又，解得， 因为， 所以 故选：D. 8. 已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心，求出与圆相切且时的取值，即可得解. 【详解】由题意作图，由于圆心在直线上，设， 又圆与轴相切，所以圆的半径. 当点在圆上或圆内时，显然存在满足条件，此时， 当点在圆外时， 经分析，当与圆相切时，取最大值， 由已知时，，此时， 所以 所以， 整理得，所以， 即圆圆心的横坐标的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式及和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生， ，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在R上单调递增 B. 当时，有两个极值 C. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 D. 恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导，利用导数确定单调性即可；对于B，时，易知有2个零点，再根据单调性可确定极值点个数；对于C，设切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再代入点，得到方程，再确定方程解的个数即可判断；对于D，代入计算即可判断. 【详解】对于A，，， ，所以在R上单调递增，故A正确； 对于B，，，， 则有两个零点，不妨设为，， 所以当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以有两个极值，故B正确； 对于C，不妨设切点为，则 ， 切线方程为， 整理得，又过， 所以，即， 又，所以无根， 即只有一个解， 所以过点且与曲线相切的直线只有一条，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 11. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族(不包括直线)．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该直线族的包络曲线方程为 B. 若，则该直线族的包络曲线为椭圆 C. 当时，点可能在直线族上 D. 当时，曲线是直线族的包络曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据辅助角公式可判断AB的正误，若点可能在直线族上，则存在使得，即函数有零点，因而对函数零点个数进行分析从而判断选项C；当时，直线族为，将其与曲线联立可得，即可得直线和曲线相切, 故可判断选项D. 【详解】对于A，由题设由，故， 所以即，故直线与圆至多一个公共点， 而原点到直线的距离为1，故均为圆切线， 故该直线族的包络曲线为圆，故A错误； 对于B，由题设有，同A有， 故直线与椭圆至多一个公共点， 因为满足 且，且与椭圆相切， 故该直线族的包络曲线为椭圆，故B正确. 对于C，将代入得，构造， ， 当时，；当，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因而当时，取到最小值， 所以在无零点，无解，故C错误； 对于D，若在曲线上，则，， 因为函数的导函数为， 所以曲线在处的切线方程为， 化简可得，因为， 所以曲线在处的切线是直线族中的一条直线， 将代入直线可得， 联立直线与抛物线可得， ， 方程的判别式，且， 所以当时，直线族中每条直线都是曲线的切线， 所以是直线族的包络曲线，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 展开式中的常数项为__________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】通项公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r， 令12﹣3r＝0，解得r＝4． ∴展开式中的常数项15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，由题意得出的长，再根据几何关系列出等式即可求解． 【详解】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，则抛物线准线为， 将代入得，， 所以， 在中，， 解得或（舍）， 所以的离心率为， 故答案为：． 14. 已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出球心到平面的距离，从而可求出，进而可求出的最小值. 【详解】 在正方体中，，且平面， 平面，所以平面，平面. 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以球心到平面的距离. 如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径. 因为，所以，即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角； （2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值． 【小问1详解】 依题意，，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 法一：即， 因为，所以， 所以，所以：， 所以，即． 法二：即， 所以，即， 因为，所以， 所以，即． 【小问2详解】 因为，又因为， 所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去），故． 16. 已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． （1）求； （2）若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和 ，求的值． 【答案】（1）， （2）55 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求得的通项公式，然后再利用等比数列通项公式基本量运算求得的通项公式； （2）依次求出中相邻项之间插入1的个数，即可求出的值. 【小问1详解】 由题意，得， 又时，，符合题意，所以. 设数列的公比为，又，， 即，解得，所以. 【小问2详解】 根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1； 在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1； 在4和5之间插入个1， 此时刚好有45项，则. 所以的值为55. 17. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． （1）求证：； （2）棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，在图2中，根据正方形的性质结合线面垂直的判定定理得到平面，进而得到； （2）以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，平面的一个法向量为，根据求得，求得平面的法向量为，求得进而可得. 【小问1详解】 如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以． 【小问2详解】 因为是直二面角，且是二面角的平面角， 所以， 又， 故分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图 由题意，、、、． 则，，， 设，则， 则， 平面的一个法向量为， 由题意，得. 所以，解得. 此时，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则. ∴， 则， ∴， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆C: 过点，且C的右焦点为． （1）求C的方程； （2）设过点的一条直线与C交于P、Q两点，且与线段AF交于点S． （i）求面积的最大值； （ii）证明：S到直线FP和FQ的距离相等． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出方程即可得到方程； （2）（i）法一、设的方程为，联立得到，再由，根据换元及基本不等式求最值即可；法二、设的方程为，联立得到，求出弦长及点到直线的距离为，可得，再通过换元，求导得到最值； （ii）由题易知轴，所以证明直线平分，即证明直线与的斜率之和为0即可. 【小问1详解】 根据题意有，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）法一：由题意，的斜率显然不为0，设的方程为，代入的方程有： ，其中，解得， 设，则， ， 令，当时，， 当时，（当且仅当时，等号成立）， 所以面积的最大值为. 法二：由题意，直线的斜率一定存在，设的方程为， 则设， 则， ，到直线的距离为， ， 令，令， 在上递增，在上递减，所以时，等号成立， ， 所以面积的最大值为. （ii）若到直线和的距离相等，则直线平分， 易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0． 设的斜率分别为，则： ， 有，故命题得证． 19. 已知． （1）讨论单调性； （2）若在有两个零点，求取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $