江苏省苏州市2027届高三上学期期初数学测试模拟卷

**基本信息** 试卷覆盖集合、函数、立体几何等高三核心知识，通过古代窗户设计（文化传承）、球冠球缺（空间几何）等情境，考查数学思维（推理、运算）与数学语言（模型应用），适配开学阶段能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、复数模长、函数单调性|基础题梯度分布，如第5题含参函数单调性考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、三角恒等变换、球冠表面积|结合古代建筑情境（第13题），体现数学文化| |解答题|5/77|立体几何翻折、概率统计、椭圆与双曲线综合、拉格朗日乘数法|综合性强，如第16题翻折问题考查空间观念，第19题结合新定义考查创新应用|

苏州市2027届高三期初测试模拟卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 2.设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知复数，的模长为1，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 4.设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.已知，均为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7.已知双曲线的左､右焦点分别为B，C，以BC为直径的圆与渐近线交与点A，连接AB与另一条渐近线交与点E，为原点，，且.若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 8.设数列满足，其中c为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（    ） A．c∈[0,1]是的充分必要条件 B．当c>1时，一定是递减数列 C．当c<0时，不存在c使是周期数列 D．当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张和方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（   ） A．第二次抽到黑桃的概率为 B．在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为 C．若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为 D．设抽到黑桃的次数为 10．已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．过点作曲线的切线，切线长为 B．当三点不共线时， C．在上存在点，使得 D．的最小值为 11．已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（   ） A．只有最大值，没有最小值 B．只有最小值，没有最大值 C．有两个零点 D．只有一个极值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 13.窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .    四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 16.如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17.将4个面上分别写有数字的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率． (1)当时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差； (2)若正四面体有瑕疵，即． ①设是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：； ②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率． 18.已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是． (1)求的方程： (2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值． 19.根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导． (1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值． (2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值． (3)①若为实数，且，证明：． ②设，求的最小值． 参考答案与解析 1.已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【答案】C 【解析】根据条件分别令，解得， 又，所以，， 所以集合B中所有元素之和是， 故选：C． 2.设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 3.已知复数，的模长为1，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 则，， 所以， ， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 即，所以， 所以，， 所以. 故选：. 4.设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得： ， 当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 5.已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减， 因此，而，则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D 6.已知，均为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，均为锐角，即，所以，， 又，， 所以，， 所以 ， 故选：B. 7.已知双曲线的左､右焦点分别为B，C，以BC为直径的圆与渐近线交与点A，连接AB与另一条渐近线交与点E，为原点，，且.若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以BC为直径的圆与渐近线交与点A，AB与另一条渐近线交与点E， 则，由，所以，， 又，则，即是等边三角形， ，则， 由在上的投影向量，即， 所以， 由图得，. 故选：A. 8.设数列满足，其中c为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（    ） A．c∈[0,1]是的充分必要条件 B．当c>1时，一定是递减数列 C．当c<0时，不存在c使是周期数列 D．当时， 【答案】C 【解析】若，则，即必要性成立； 若c∈[0,1]，则 假设时， 则时， 因此c∈[0,1] 时，，即充分性成立；故A成立； 单调递增， 同理，依次类推可得，即一定是递减数列，故B成立； 当c<0时， 由，令存在零点，即存在c使是周期数列，即C错误； 当时， 由A得，所以 因为时，，所以，即D成立； 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张和方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（   ） A．第二次抽到黑桃的概率为 B．在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为 C．若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为 D．设抽到黑桃的次数为 【答案】ACD 【分析】利用古典概型的概率计算，分类计数、正难则反、条件概率以及离散型分布列计算数学期望，可得答案. 【详解】第二次抽到黑桃的概率为，故A正确； 因为两次都抽到黑桃的概率为， 所以至少有一次抽到方块的概率为，故B错误； 第二次抽到方块的概率为，两次都抽到方块的概率为， 所以已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为，故C正确； X可能取值为0，1，2，，，， 故，故D正确． 故选：ACD． 10．已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．过点作曲线的切线，切线长为 B．当三点不共线时， C．在上存在点，使得 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】设动点坐标，根据可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B选项可知是内角的角平分线， 即可得出结论；C选项，可以求得动点的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解. 【详解】设P点坐标为，由，则，化简得 ，所以动点轨迹是以为圆心，为半径的圆. A选项，过点作曲线的切线，切线长为，A选项正确. B选项，当三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，是内角的角平分线，所以.故B选项正确. C选项，因为，设，则，化简得轨迹为，所以动点的轨迹为圆心，半径为的圆，圆心距 ，所以两圆位置关系为内含，所以在上不存在点，使得，故C错误. D选项，因为，所以，故D错误. 故选：AB. 11．已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（   ） A．只有最大值，没有最小值 B．只有最小值，没有最大值 C．有两个零点 D．只有一个极值点 【答案】AD 【分析】整理等式并构造函数，根据导数为零设出函数，结合函数值可得函数的解析式，利用导数与函数的最值与极值，可得答案. 【详解】可化为． 设，则，所以(k为常数)， 则，解得， 所以，则，． 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，没有最小值，故A，D正确，B错误； 令，得，方程有唯一的实数根，故C错误． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】由，只需求展开式中的的系数即可. 【详解】由，所以， 只需求展开式中的的系数， 即 . 故答案为：. 13.窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 【答案】 【解析】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设与轴正方向的夹角为， 则，即， 所以， 因为三点共线，所以，即， 解得， 所以，所以， 所以，又为锐角，所以 ，所以 ； 故答案为： 14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .    【答案】 【解析】因为，所以，设圆的半径为， 又，解得（负值舍去）， 过点作交于点，过点作交于点， 则，， 所以，同理可得，， 将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥， 其中球缺的高，圆锥的高，底面半径， 则其中一个球冠的表面积，球的表面积， 圆锥的侧面积， 所以几何体的表面积， 又其中一个球缺的体积， 圆锥的体积，球的体积， 所以几何体的体积. 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象， 则， ，， 当，即时，最大值，所以，； （2）， ，则，所以，，所以，， ， 是锐角三角形，由，解得， 所以，，，则. 16.如图1，是边长为3的等边三角形，点分别在线段上，且，沿将翻折到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中，过点E作，交于， 在平面中，过点作，交于，连接，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，所以平面平面， 平面，所以平面，即为所求的点， 在中，，即，如图所示， 所以， 在中，，所以，即此时. 17.将4个面上分别写有数字的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（为正整数），设为与桌面接触的数字为偶数的次数，为抛正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率． (1)当时，若正四面体的质地是均匀的，求的数学期望和方差； (2)若正四面体有瑕疵，即． ①设是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：； ②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率． 【解析】（1）因为正四面体的质地是均匀的，为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率， 所以，进一步得，， 所以， ， 所以的数学期望和方差分别为和． （2）①因为是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 所以是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 当时， 当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时， 第次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次， 所以， 当在前次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时， 第次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次， 所以， 由互斥事件概率的加法法则得， 即； ②设，结合①所得关系，则， 即且，又， 所以， 所以， 所以抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为． 18.已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是． (1)求的方程： (2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值． 【解析】（1）由椭圆得：左右焦点分别是， 因为双曲线的顶点恰好是、，设双曲线的方程为：， 所以， 又由一条渐近线是，可得，所以， 即双曲线的方程为：， （2） 设直线的方程为：，与椭圆联立得： ， 可设，则 则， 同理可设直线的方程为：，与椭圆联立得： ， 可设，则 则， 再由直线的方程为：与直线的方程为：联立解得： ， 由于这两直线交点就是点，则把点的坐标代入双曲线的方程得： ，化简得：， 点（异于顶点），所以，即， 则 ， 当且仅当，即时，有最小值. 19.根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下： ，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值． 补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导． (1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值． (2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值． (3)①若为实数，且，证明：． ②设，求的最小值． 【解析】（1）函数，对变量求导得：， 当时，. （2）令， 则，解得或， 于是函数在约束条件的可能极值点是，， 当时，函数的一个极值为函数， 当时，函数的一个极值为函数， 方程视为关于x的方程：，则，解得， 视为关于y的方程：，则，解得， 因此函数对应的图形是封闭的，而， 所以的最大值为. （3）①由，，设， 则， 当且仅当时取等号， 所以. ②当时， ，当且仅当时取等号， 所以时，取得最小值4. 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $