2.1 认识一元二次方程 同步练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心概念，通过基础辨析-概念应用-综合拓展三层设计，实现从定义理解到参数推理的渐进巩固，适配新授课概念内化需求，培养符号意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义识别、一般形式转化|以选择填空直接考查概念（如判断一元二次方程、化为一般形式），强化符号意识| |概念应用|根的意义、系数确定|结合根的代入（如已知根求参数）及系数辨析（如不含一次项的条件），培养运算能力| |综合拓展|分类讨论、代数推理|通过证明方程类型（解答2）及参数分类（解答4），发展逻辑推理与数学表达能力|

2.1 认识一元二次方程 一．选择题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．3x+2y＝5 B．x2＝x+2 C． D．2x+5＝3x﹣1 2．将关于x的一元二次方程x（x﹣1）＝0化为一般形式为（　　） A．x2+x＝0 B．x2﹣x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0 3．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 4．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．﹣3 5．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 6．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x25＝0；④x2﹣2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0是一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　） A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x 8．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 二．填空题 1．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 2．方程2x2﹣1的二次项系数是　 　 ，一次项系数是　 　 ，常数项是　 　 ． 3．把方程（3x+2）（2x﹣3）＝0化为一般形式是 　 　 ． 4．已知x＝a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则代数式的值为　 　 ． 5．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为　 　 ． 三．解答题 1．把方程（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 2．试证明：不论m为何值，关于x的方程（m2+2m+2）x2﹣（4m﹣1）x﹣7＝0总为一元二次方程． 3．关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 4．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1＝0，求： （1）当m为何值时原方程为一元二次方程． （2）当m为何值时原方程为一元一次方程． 5．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，试求的值． 答案 一．选择题 1．【解答】解：∵3x+2y＝5是二元一次方程， ∴选项A不符合题意； ∵x2＝x+2是一元二次方程， ∴选项B符合题意； ∵x2+15是分式方程， ∴选项C不符合题意； ∵2x+5＝3x﹣1是一元一次方程， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 2．【解答】解：∵原方程为x（x﹣1）＝0， 得x2﹣x＝0， ∴该方程的一般形式为x2﹣x＝0． 故选：B． 3．【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根， ∴22﹣3×2+k＝0， 解得，k＝2． 故选：B． 4．【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5， （m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0， 由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 5．【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根， 代入得：n2+mn+2n＝0， ∵n≠0， ∴方程两边都除以n得：n+m+2＝0， ∴m+n＝﹣2． 故选：D． 6．【解答】解：①ax2+bx+c＝0当a＝0是一元一次方程，故本小题不符合题意； ②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程，故本小题符合题意； ③x25＝0是分式方程，故本小题不符合题意； ④x2﹣2+5x3﹣6＝0是一元三次方程，故本小题不符合题意； ⑤3x2＝3（x﹣2）2不是一元二次方程，故本小题不符合题意； ⑥12x﹣10＝0是一元一次方程，故本小题不符合题意． 故选：A． 7．【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4， 去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4， 移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0， 其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x． 故选：C． 8．【解答】解：根据题意可得： ， 解得k＝﹣2． 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程， ∴， 解得m＝0． 故答案为：0． 2．【解答】解：方程2x2﹣1化成一般形式是2x21＝0， 二次项系数是2，一次项系数是，常数项是﹣1． 3．【解答】解：（3x+2）（2x﹣3）＝0， 6x2﹣9x+4x﹣6＝0， 6x2﹣5x﹣6＝0， 故答案为：6x2﹣5x﹣6＝0． 4．【解答】解：由条件可知：a2+3a﹣1＝0，即a2+3a＝1， ∴． 故答案为：1． 5．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根， ∴1+a+b＝0， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1． 故答案为1． 三．解答题 1．【解答】解：（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6， 3x2﹣9x＝0， 所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是0． 2．【解答】证明：∵m2+2m+2＝（m+1）2+1， ∴m2+2m+2≥1， 故关于x的方程（m2+2m+2）x2﹣（4m﹣1）x﹣7＝0总为一元二次方程． 3．【解答】解：依题意有，m2﹣7＝2， ∴m＝±3， ∵m﹣3≠0， ∴m≠3， ∴m＝﹣3， ∴当m＝﹣3时方程是一元二次方程． 4．【解答】解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1＝0是一元二次方程， 解得m≠±1， 当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1＝0是一元二次方程； （2）当m2﹣1＝0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1＝0是一元一次方程， 解得m＝±1，且m≠﹣1， m＝﹣1（不符合题意的要舍去），m＝1． 答：当m＝1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1＝0是一元一次方程． 5．【解答】解：由条件可得：a2﹣2026a+1＝0， ∴a2+1＝2026a，a2﹣2025a＝a﹣1， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $