25.2.2 公式法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根的判别式及公式法，通过前置补偿复习配方法和一般形式，引导学生自主推导求根公式，搭建从配方法到公式法的转化支架，衔接前后知识脉络。 以推导过程为核心，小组互查质疑培养推理能力，例题与小测强调化一般形式和符号识别提升抽象能力，分层作业满足不同需求，助力学生形成严谨思维与应用意识，适合课堂教学与自主学习。

25.2.2 公式法 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 理解一元二次方程根的判别式 Δ=b²−4ac，会用 Δ 判别一元二次方程实数根的三种情况。 2. 理解求根公式的推导过程，掌握公式法解一元二次方程的步骤。 3. 会把一元二次方程化为一般形式，准确识别 a、b、c 并代入求根公式求解方程。 4. 体会配方法到公式法的转化思想，感受公式法可以解所有有实数根的一元二次方程。 学习重点：根的判别式判断根的情况；用公式法解一元二次方程完整步骤。 学习难点：求根公式推导；确定 a、b、c 时注意符号；Δ<0 时判定方程无实数根。 【前置补偿】 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 答：①移项，把常数项移到等号右边；②二次项系数化为 1，方程两边同时除以二次项系数；③配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④写成完全平方 (x+n)²=p 形式；⑤开平方，根据 p 正负判断根的情况，求出方程的根。 2. 一元二次方程的一般形式是什么？ 答：ax²+bx+c=0 (a≠0)。 【学生自学】 （阅读教材对应 25.2.2 公式法部分） 一、情境引入 1. 我们已经会用配方法解数字系数的一元二次方程，下面尝试用配方法完整推导一般形式一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)。 移项，把常数项移到等式右侧，得：ax²+bx=−c； 二次项系数化为 1（因为 a≠0，方程两边同时除以 a），得： x²+(b/a) x = −c/a； 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 (b/(2a))²： x²+(b/a) x+(b/(2a))² = −c/a + (b/(2a))²， 等式左边写成完全平方，右边通分合并，得： (x + b/(2a))² = (b²−4ac)/(4a²)； 因为 a≠0，所以 4a²>0，式子 b²−4ac 的符号决定等式右边数的正负。 ①当 b²−4ac>0 时，两边直接开平方，得： x + b/(2a) = ±√(b²−4ac)/(2a)； 移项求解，得到两个根：x₁=，x₂=； ②当 b²−4ac=0 时，(x + b/(2a))² = 0， 解得：x₁=x₂= −b/(2a)； ③当 b²−4ac<0 时，右边是负数，因为实数的平方不可能为负数， 所以方程没有实数根。 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照上面推导步骤检查同伴填写： ①移项有没有出错；②二次项系数化为 1 是否记得条件 a≠0； ③配方时是否等式两边同时加同一个代数式；④开平方有没有写 “±” 符号。 把发现的漏洞、错误写在下面： 参考提示：常见错误点：忘记 a≠0、配方只给左边加项、开平方漏掉正负号、右边通分计算错误。 1. 式子 b²−4ac 叫做一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根的判别式，记作 Δ。 二、知识点学习 1. 根的判别式 Δ=b²−4ac 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)： (1) 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； (2) 当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根； (3) 当 Δ<0 时，方程没有实数根。 2. 求根公式 当 Δ≥0 时，一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的实数根为： x = 这个式子叫做求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 思考：求根公式是由什么方法推导出来的？Δ<0 为什么不能代入求根公式计算？ 答：由配方法推导；Δ<0，负数不能开平方，不存在实数平方根，没有实数根。 3. 公式法解一元二次方程一般步骤 ①化一般形式：把方程整理成 ax²+bx+c=0 (a≠0)，确定 a、b、c 的值； ②算判别式：计算 Δ= b²−4ac； ③判根的情况：若 Δ ≥ 0，代入求根公式计算根；若 Δ < 0，方程没有实数根； ④代公式求解：x =，写出方程的根。 思考：确定 a,b,c 的时候要特别注意什么？ 答：注意 a,b,c 的符号，每一项要连同前面正负号一起看；缺项对应系数为 0。 三、例题自学 例 3 用公式法解下列方程： (1) x²−4x−7=0； 解：a=1, b=−4, c=−7 Δ=b²−4ac= (−4)²−4×1×(−7)=16+28=44 >0 x = = (4±√44)/2 = 2± 即 x₁= 2+， x₂= 2−。 2x²−2 x+1=0； 解：a=2, b=−2, c=1 Δ=b²−4ac= (−2)²−4×2×1=8−8=0 x₁=x₂= −b/(2a) = /2。 (2) 5x²−3x=x+1； 解：整理为一般形式：5x²−4x−1=0， a= 5，b= −4，c= −1。 Δ= (−4)²−4×5×(−1)=16+20=36 >0 x = = (4±√36)/10 = (4±6)/10 即 x₁= 1，x₂= −1/5。 (3) x²+17=8x。 解：整理为一般形式：x²−8x+17=0， a= 1，b= −8，c= 17。 Δ= (−8)²−4×1×17=64−68=−4 <0 ∴方程没有实数根。 四、自学小测 1. 先写出各方程 a,b,c，再计算判别式 Δ，判断根的情况。 (1) x²+x−6=0； a=1,b=1,c=−6，Δ=1+24=25，方程有两个不相等实数根。 (2) x²−√3 x−1/4=0；a=1,b=−√3,c=−1/4，Δ=3+1=4，方程有两个不相等实数根。 (3) 3x²−6x+4=0；a=3,b=−6,c=4，Δ=36−48=−12，方程没有实数根。 2. 用公式法解方程 2x²−3x=0，下面 a,b,c 取值正确的是（A） A.a=2,b=−3,c=0 B.a=2,b=−3,c=1 C.a=2,b=3,c=0 D.a=−2,b=3,c=0 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 使用公式法之前为什么要先把方程化为一般形式？ 答：求根公式中 a、b、c 对应一般形式二次项、一次项、常数项系数，不化成标准式容易搞错 a、b、c。 1. 判别式 Δ<0 的时候，为什么直接写无实数根，不要再代入求根公式？ 答：负数没有实数平方根，此时不存在实数解，代入根号内负数没有意义。 1. a、b、c 的符号很容易出错，举一个例子说明如何正确找 a、b、c。 例：x²−8x+17=0，b=−8，不是 8；常数项 + 17，c=17；缺项，该项系数是 0，如 2x²−3x=0，c=0。 1. 配方法和公式法之间是什么关系？两种方法都适合解什么样的一元二次方程？ 答：公式法是配方法推导得到；配方法、公式法适合全部一元二次方程。 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 找 a、b、c 必须先化为 ax²+bx+c=0，符号一定要带上，缺项该项系数为 0。 2. 计算判别式 Δ 时，b 是负数的时候，平方不要漏掉括号。 3. Δ<0 直接判定方程无实数根，不要再写求根计算。 4. 求根公式分子是−b±√Δ，前面负号不要丢；分母是 2a，不是 2。 【总结提升】 1. Δ=b²−4ac 用来判断一元二次方程根的三种情况。 2. 求根公式：x = (−b±√(b²−4ac)) / (2a) (Δ≥0)。 3. 公式法步骤：化一般式→算判别式→判断根情况→代入求根公式求解。 4. 数学思想：由配方法推导出公式，实现从配方直接套公式，同样是降次转化思想。 【课内自测】 1. 用公式法解下列方程 (1) x²+x−6=0 解：∵a=1,b=1,c=−6 Δ=1+24=25>0 ∴x=(−1±√25)/2=(−1±5)/2 即 x₁=2，x₂=−3 (2) x²− x−1/4=0 解：∵a=1,b=−√3,c=−1/4 Δ=3+1=4>0 x=(±)/2=(±2)/2 ∴x₁=(+2)/2，x₂=(−2)/2 (3) 3x²−6x+4=0 解：a=3,b=−6,c=4 Δ=36−48=−12<0 ∴方程没有实数根。 (4) 2x²−3x=0 解：a=2,b=−3,c=0 Δ=9−0=9>0 x=(3±√9)/4=(3±3)/4 ∴ x₁=3/2，x₂=0 (5) x²+4x+8=4x+11 整理：x²−3=0， a=1,b=0,c=−3 Δ=0+12=12>0 x=(0±)/2=± ∴x₁=，x₂=− (6) x (2x−4)=5−8x 整理：2x²+4x−5=0， a=2,b=4,c=−5 Δ=16+40=56>0 x=(−4±)/4=(−4±2)/4=(−2±)/2 ∴x₁=(−2+)/2，x₂=(−2−)/2 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 2x²−3x−3/2=0 解：Δ=(−3)²−4×2×(−3/2)=9+12=21>0，有两个不相等实数根。 (2) 16x²−24x+9=0 解：Δ=(−24)²−4×16×9=576−576=0，有两个相等实数根。 (3) x²−4√2 x+9=0 解：Δ=(−4√2)²−4×1×9=32−36=−4<0，没有实数根。 2. 用公式法解方程 x²+x−12=0，写出完整步骤。 解：a=1,b=1,c=−12 Δ=1+48=49>0 x=(−1±7)/2 ∴ x₁=3，x₂=−4 B 组【能力提升・选做】 1. 用公式法解方程：x (x−4)=2−8x 解：整理：x²+4x−2=0 a=1,b=4,c=−2 Δ=16+8=24>0 x=(−4±)/2=(−4±2)/2=−2± ∴ x₁=−2+，x₂=−2− 2. 用公式法解方程：(2x−1)²=x (x+2) 解：整理得 3x²−6x+1=0 a=3,b=−6,c=1 Δ=36−12=24>0 x=(6±√2)/6=(3±)/3 ∴ x₁=(3+)/3，x₂=(3−)/3 3. 求证：关于 x 的方程 x²−(2m+1) x+m (m+1)=0 总有两个不相等的实数根。 证明： Δ=[−(2m+1)]²−4×1×m (m+1) =4m²+4m+1−4m²−4m =1>0 ∵Δ=1>0， ∴无论 m 取何实数，方程总有两个不相等实数根。 C 组【拓广探索・培优】 1. 已知关于 x 的一元二次方程 kx²−2x−1=0 有两个实数根，求 k 的取值范围。 解：该方程是一元二次方程，故 k≠0； 方程有两个实数根，故 Δ≥0。 Δ=(−2)²−4・k・(−1)=4+4k≥0， 解得 k≥−1。 综上：k≥−1 且 k≠0。 2. 已知关于 x 的方程 (m−2) x²−2mx+m+3=0 有实数根，请分情况求 m 的取值范围。 解：①当 m−2=0，即 m=2，方程变为−4x+5=0，是一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当 m−2≠0，即 m≠2，是一元二次方程，有实数根则 Δ≥0 Δ=(−2m)²−4 (m−2)(m+3)=−4m+24≥0，解得 m≤6。 综合①②得：m≤6。 3. 已知一元二次方程 x²−2 (k−1) x+k²=0， (1) 当方程有实数根时，求 k 的取值范围； 解：Δ=[−2 (k−1)]²−4k²≥0 4 (k²−2k+1)−4k²≥0 −8k+4≥0，得 k≤1/2。 (2) 取一个满足条件的 k 值，求出这个方程的根。 示例：取 k=0，方程为 x²+2x=0， a=1,b=2,c=0 Δ=4>0， x=(−2±2)/2， x₁=0，x₂=−2。 （k 只要满足 k≤1/2 均可） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法 导学案【原卷版】 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 理解一元二次方程根的判别式 Δ=b²−4ac，会用 Δ 判别一元二次方程实数根的三种情况。 2. 理解求根公式的推导过程，掌握公式法解一元二次方程的步骤。 3. 会把一元二次方程化为一般形式，准确识别 a、b、c 并代入求根公式求解方程。 4. 体会配方法到公式法的转化思想，感受公式法可以解所有有实数根的一元二次方程。 学习重点：根的判别式判断根的情况；用公式法解一元二次方程完整步骤。 学习难点：求根公式推导；确定 a、b、c 时注意符号；Δ<0 时判定方程无实数根。 【前置补偿】 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 一元二次方程的一般形式是什么？ 【学生自学】 （阅读教材对应 25.2.2 公式法部分） 一、情境引入 我们已经会用配方法解数字系数的一元二次方程，下面尝试用配方法完整推导一般形式一元二次方程 ( )。 移项，把常数项移到等式右侧，得： ； 二次项系数化为 1（因为 a≠0，方程两边同时除以 a），得： ________________________________________________； 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： x²+(b/a) x+ = −c/a + ， 等式左边写成完全平方，右边通分合并，得： = _____________； 因为 ，所以 4a² ，式子 的符号决定等式右边数的正负。 ①当 时，两边直接开平方，得：x + b/2a = ； 移项求解，得到两个根：x₁=_____________，x₂= ； ②当 时，(x + b/(2a))² = ， 解得：x₁=x₂=________________； ③当 b²−4ac<0 时，右边是负数，因为实数的平方不可能为负数， 所以方程_______ _。 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照上面推导步骤检查同伴填写： ①移项有没有出错；②二次项系数化为 1 是否记得条件 ； ③配方时是否等式两边同时加 ；④开平方有没有写 “ ” 符号。 把发现的漏洞、错误给对方写在下面： 新知呈现：式子 叫做一元二次方程ax²+bx+c=0 的根的判别式，记作 Δ。 二、知识点学习 1. 根的判别式 Δ=b²−4ac 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)： (1) 当 Δ>0 时，方程有____________实数根； (2) 当 Δ=0 时，方程有________________实数根； (3) 当 Δ<0 时，方程________________。 2. 求根公式 当 Δ≥0 时，一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的实数根为：x = 这个式子叫做求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 思考：求根公式是由什么方法推导出来的？Δ<0 为什么不能代入求根公式计算？ 3. 公式法解一元二次方程一般步骤 ①化一般形式：把方程整理成________________________，确定 a、b、c 的值； ②算判别式：计算 Δ=________________； ③判根的情况：若 Δ____0，代入求根公式计算根；若 Δ____0，方程没有实数根； ④代公式求解：x = ，写出方程的根。 思考：确定 a,b,c 的时候要特别注意什么？ 三、例题自学 例 3 用公式法解下列方程： (1) x²−4x−7=0； 解：∵ a=1, b=−4, c=−7 Δ=b²−4ac=________________>0 ∴x = = ________________ 即 x₁= ，x₂= 。 (2) 2x²−2√2 x+1=0； 解：∵ a=2, b=−2√2, c=1 Δ=b²−4ac=________________=0 ∴ x₁=x₂= −b/(2a) = ____________。 (3) 5x²−3x=x+1； 解：整理为一般形式： ， ∵ a=__，b= ，c=__。 Δ= >0 ∴x = = ________________ 即 x₁= ，x₂= 。 (4) x²+17=8x。 解：整理为一般形式： ， ∵a=__，b= ，c=__。 Δ= = 0 ∴方程________________。 四、自学小测 1. 先写出各方程 a,b,c，再计算判别式 Δ，判断根的情况。 (1) x²+x−6=0； (2) x²−√3 x−1/4=0； (3) 3x²−6x+4=0； 2. 用公式法解方程 2x²−3x=0，下面 a,b,c 取值正确的是（） A.a=2,b=−3,c=0 B.a=2,b=−3,c=1 C.a=2,b=3,c=0 D.a=−2,b=3,c=0 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 使用公式法之前为什么要先把方程化为一般形式？ 2. 判别式 Δ<0 的时候，为什么直接写无实数根，不要再代入求根公式？ 3. a、b、c 的符号很容易出错，举一个例子说明如何正确找 a、b、c。 4. 配方法和公式法之间是什么关系？两种方法都适合解什么样的一元二次方程？ 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 找 a、b、c 必须先化为 ， 一定要带上，缺项该项系数为 。 2. 计算判别式 Δ 时，b 是负数的时候，平方不要漏掉括号。 3. Δ<0 直接判定方程无实数根，不要再写求根计算。 4. 求根公式分子是−b±，前面负号不要丢；分母是 2a，不是 2。 【总结提升】 1. Δ= 用来判断一元二次方程根的三种情况。 2. 求根公式： (Δ≥0)。 3. 公式法步骤：化 →算 →判断 情况→代入 求解。 4. 数学思想：由配方法推导出公式，实现从配方直接套公式，同样是 转化思想。 【课内自测】 1. 用公式法解下列方程 (1) x²+x−6=0 (2) x²−√3 x−1/4=0 (3) 3x²−6x+4=0 (4) 2x²−3x=0 (5) x²+4x+8=4x+11 (6) x(2x−4)=5−8x 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 2x²−3x−3/2=0 (2)16x²−24x+9=0 (3)x²−4√2 x+9=0 2. 用公式法解方程 x²+x−12=0，写出完整步骤。 B 组【能力提升・选做】 1. 用公式法解方程：x (x−4)=2−8x 2. 用公式法解方程：(2x−1)²=x (x+2) 3. 求证：关于 x 的方程 x²−(2m+1) x+m (m+1)=0 总有两个不相等的实数根。 C 组【拓广探索・培优】 1. 已知关于 x 的一元二次方程 kx²−2x−1=0 有两个实数根，求 k 的取值范围。 2. 已知关于 x 的方程 (m−2) x²−2mx+m+3=0 有实数根，请分情况求 m 的取值范围。 3. 已知一元二次方程 x²−2 (k−1) x+k²=0， (1) 当方程有实数根时，求 k 的取值范围； (2) 取一个满足条件的 k 值，求出这个方程的根。 学科网（北京）股份有限公司 $