25.2.2 公式法（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式及方程解法。课堂导入通过复习配方法解方程和人体雕像实际问题引入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接配方法与公式法的知识脉络。 资料以合作探究推导求根公式培养推理能力，典例精析结合变式训练（含字母系数、分类讨论）提升运算能力和应用意识，当堂反馈及时巩固。符合新课标“会用数学思维思考”“会用数学语言表达”的核心素养，助力学生掌握方法并解决实际问题。

第25章 一元二次方程 25.2 降次—解一元二次方程 25.2.2 公式法 【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2. 会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 学习重点：掌握用公式法解一元二次方程. 学习难点：了解求根公式的推导过程. 【复习导入】 如何用配方法解方程2x2+4x-1=0? 引言：要设计一座高 5 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x2 = 5(5 - x )， 整理得　x2 + 5x - 25 = 0． 思考：如何解出该一元二次方程？ 【合作探究】 探究点一：求根公式的推导 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 能否也用配方法得出它的解呢？ 合作探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 解：移项，得ax2+bx=－c， 二次项系数化为1，得x2+ x=， 配方，得x2+ x+( )2=( )2， 即(x+)2=①. 问题 对于方程①接下来能直接开平方解吗？ 归纳总结： 因此把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示， 即Δ= b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 练一练 按要求完成下列表格. Δ的值 根的情况 典例精析 例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 练一练 1. 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不等的实数根，则q的取值范围是( ) A. q≤4 B. q≤4 C. q<16 D. q>16 【变式题】二次项系数含字母 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k >－1 B. k>－1且k≠0 C. k<1 D.k<1且k≠0 归纳：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围. 【变式题】删除限制条件“二次” 若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k≥－1 B.k≥－1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 总结：判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法： Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0 没有实数根 探究点2：用公式法解方程 由上可知，当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 典例精析 例2 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7=0； (2) 2x2－+1=0； (2) 5x2－3x=x+1； (4) x2+17=8x. 要点归纳：公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2－4ac的值； 4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 练一练 2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0. 3. 解方程 3x2 − 5x + 1 = 0. 4. 解方程：2x2 − 3x + 3 = 0. 5. 解方程：(x − 2) (1 − 3x) = 6. 当堂反馈 1.一元二次方程3x2－2x－4＝0根的判别式的值为(　　) A.－44 B.16 C.52 D.56 2.方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是(　　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一个根为0 3.若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有实数根，则k的取值范围是　　. 4.[教材变式]用公式法解下列方程： (1)x2－5x－6＝0； 书写通关 解：a＝　 ，b＝　 　，c＝　 　. ∵Δ＝　 　＞0， ∴x＝　 　， 即x1＝　　，x2＝　 　. (2)x2－3x＋4＝0； (3)2y2＋4y＝y＋2； 　　 (4)4x(x－1)＝－3. 参考答案 【复习导入】 1.解：方程整理得配方，得. 开平方，得，∴. 2.用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈-8.09. 关于这两个根，只有 x1≈3.09 符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为 3.09 m. 【合作探究】 探究点一：求根公式的推导 合作探究 问题： 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况. 总结：两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 练一练 从左到右，从上往下依次为0，，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不等的实数根 典例精析 例1 B 解析：原方程变形为x2+ x－1=0，a=1，b=1，c=－1， ∵Δ=b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不等的实数根，故选B. 练一练1.C 解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式， 则 Δ = b2 − 4ac＞0，即 82 − 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C. 变式题1：B 解析：方程有两个不等的实数根，则Δ=b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次项系数不为0，即k≠0.可得k>－1且k≠0，故选B. 变式题2 ：A 思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论. 探究点二：公式法解一元二次方程 例2 解：(1)a=1，b=－4，c=－7，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不等的实数根即. (2)a=2，b=，c=1，Δ=b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即. (3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不等的实数根即. (4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根. 练一练2. x1 = 2， x2 =－9. 3. 4. 5.方程没有实数根. 当堂检测 1.　C　2.　B3.　k≥－1　. 4.(1) 书写通关 解：a＝　1　，b＝　－5　，c＝　－6　. ∵Δ＝　(－5)2－4×1×(－6)＝49　＞0， ∴x＝　　， 即x1＝　6　，x2＝　－1　. (2)解：x1＝2，x2＝. (3)解：y1＝，y2＝－2. (4)解：无实数根. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $