25.2.2 公式法（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章  一元二次方程

25.2 降次—解一元二次方程

25.2.2  公式法

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程.

2. 会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.

3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.

学习重点：掌握用公式法解一元二次方程.

学习难点：了解求根公式的推导过程.

【复习导入】

如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?

 

 

 

引言：要设计一座高 5 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？

解：设雕像下部 BC = x m，

列方程得 x2 = 5(5 - x )，

整理得　x2 + 5x - 25 = 0．

思考：如何解出该一元二次方程？

 

                     

 

                     

【合作探究】

探究点一：求根公式的推导

 

探究  任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，

能否也用配方法得出它的解呢？

 

合作探究  用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

 

解：移项，得ax2+bx=－c，

二次项系数化为1，得x2+    x=，

配方，得x2+    x+(    )2=(    )2，

即(x+)2=①.

 

 

问题  对于方程①接下来能直接开平方解吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

归纳总结：

因此把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，

即Δ= b2－4ac.

判别式的情况	根的情况

 

练一练  按要求完成下列表格.

Δ的值
根的情况

 

典例精析

例1  已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(   )

A.该方程有两个相等的实数根

B.该方程有两个不相等的实数根

C.该方程无实数根

D.该方程根的情况不确定

 

练一练

1.  若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不等的实数根，则q的取值范围是(    )

1. q≤4               B. q≤4            C. q<16          D. q>16

 

【变式题】二次项系数含字母

若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是(   )

1. k >－1            B. k>－1且k≠0     C. k<1          D.k<1且k≠0

 

归纳：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围.

【变式题】删除限制条件“二次”

若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是(   )

1. k≥－1     B.k≥－1且k≠0    C.k<1           D.k<1且k≠0

 

总结：判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法：

   Δ=b2－4ac >0        有两个不等的实数根

   Δ=b2－4ac = 0       有两个相等的实数根

   Δ=b2－4ac＜0       没有实数根

 

 

探究点2：用公式法解方程

由上可知，当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.

求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.

 

 

典例精析

例2  用公式法解下列方程：

(1)  x2－4x－7=0；         (2) 2x2－+1=0；        

 

 

 

 

 

(2)  5x2－3x=x+1；         (4) x2+17=8x.

 

 

 

 

 

要点归纳：公式法解方程的步骤：

1.变形：化已知方程为一般形式； 

2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；

3.计算：b2－4ac的值；

4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根.

 

 

练一练

 

2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.