25.2.3因式分解法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“解一元二次方程——因式分解法”，引导学生掌握因式分解法及十字相乘法解一元二次方程。通过竖直上抛物体的物理情境导入，知识链接复习分解因式和已学解方程方法，搭建新旧知识支架，帮助学生自然过渡到新方法学习。 导学案以情境探究激发兴趣，对比配方法、公式法与因式分解法，培养学生数学思维中的推理能力。设置分层练习和实际应用问题，如三角形周长计算，提升数学语言表达中的模型意识与应用意识，助力学生灵活选择解题方法，落实核心素养。

25.2.3因式分解法 导学案 课题 解一元二次方程——因式分解法 学科 数学 年级 九年级上册 学习目标 1．会用因式分解法解一元二次方程； 2．会用十字相乘法解一元二次方程； 3．灵活选用简便的方法解一元二次方程. 重点难点 重点：因式分解法解一些一元二次方程 难点：能够正确选择方法解一元二次方程. 学习过程 知识链接 1、什么叫分解因式? 2、 常用分解因式的方法有哪些？ 3、我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? 合作探究 知识1、因式分解法 思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度 竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：_____________ 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？ 试一试：用配方法或公式法解这个方程。 对比两种解法，看看能否找到更为简单的办法? 先因式分解使方程化为两个____次式的乘积等于___的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现_____.这种解法叫做因式分解法. 例1、 解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0; 归纳：分解因式法解一元二次方程的步骤是: 想一想：公式法、配方法和因式分解法有什么异同？ 知识2、十字相乘法因式分解 试一试填空：(x+a)(x+b)=______________ x2+(a+b)x+ab=____________ 通过你的答案，你发现什么？ 例、把x2+3x-18分解因式 例2、用十字相乘法解下列方程 自主尝试 知识1练习： 1．方程x2－3x＝0的解为( ) A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( ) A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2 3.下列能用因式分解法的是___________________. 4.当x=________时，分式的值为0. 例1、后的巩固练习： 用因式分解法解下列方程： （1）3x2-6x=-3 （2）4x2-121=0 （3）(x-4)2=(5-2x)2 知识2、巩固练习： 1. 分解a2-a-12的结果为（ ） A. (a-3)(a+4) B.(a+3)(a-4) C.(a-6)(a+2) D.(a+6)(a-2) 2. 分解x2+2x-8的结果为（ ） A. (x+4)(x-2) B.(x-4)(x+2) C.(x+4)(x+2) D.(x-4)(x-2) 3. 若多项式M分解的因式是(x-2)(x-3),则M是（ ） A. x2-5x-6 B.x2+5x+6 C. x2-5x+6 D.x2+5x-6 当堂检测 1、按要求填空： ① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-2=0 ⑧ x2-2x-8=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) ⑩ 2y2+3y-2=0 适合运用直接开平方法__________________； 适合运用因式分解法__________________； 适合运用公式法__________________； 适合运用配方法__________________ . 适合运用十字相乘法__________________ . 2、已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4) 3、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为( ) A．7 B．－1 C．7或－1 D．－2或6 4、用适当方法解下列方程： （1）（1-x）2= (2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y； (5)(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 5、已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 6、先化简，再求值: 其中x2-x=0 小结反思 本节课你有哪些收获？总结解一元二次方程的方法，解答自己的疑惑 25.2.3因式分解法 导学案 课题 解一元二次方程——因式分解法 学科 数学 年级 九年级上册 教学目标 1．会用因式分解法解一元二次方程； 2．会用十字相乘法解一元二次方程； 3．灵活选用简便的方法解一元二次方程. 重点难点 重点：因式分解法解一些一元二次方程 难点：能够正确选择方法解一元二次方程. 教学过程 知识链接 1、什么叫分解因式? 3、 常用分解因式的方法有哪些？ 3、我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? 是不是所有的一元二次方程都适用于前面学过的方法：直接开平方法、配方法、公式法？在有的情况下，我们能不能找到一种比较简单的解题方法？这节课我们一起来学习因式分解法解一元二次方程。 合作探究 知识1、因式分解法 思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度 竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：_____________ 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？ 答案：10x-4.9x2 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m,即：10x-4.9x2=0 试一试：用配方法或公式法解这个方程。 请两个同学上台板演，其他学生尝试分析10x-4.9x2=0的解题过程，对比两种解法，看看能否找到更为简单的办法? 我们知道：10x-4.9x2因式分解，得:x（10-4.9x） 即：只需要使x（10-4.9x）=0 .根据ab=0 则a=0或b=0 得：x=0,或10-4.9x=0 即：x1=0, x2≈2.04 这两个根中，x2≈2.04表示物体大约在2.04s时落回地面。x1=0表示物体在0 s时被抛出，高度是0 m。 讨论：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的? 可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法. 注意：1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ” 例1、 解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0; 解：提公因式：(x-2)(x+2)=0 ∴x-2=0或x+2=0 解：移项，合并同类项： 4x2-1=0 (2x-1)(2x+1)=0 ∴2x-1=0或2x+1=0 归纳：分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 想一想：公式法、配方法和因式分解法有什么异同？ 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式； 因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次． 知识2、十字相乘法因式分解 试一试填空：(x+a)(x+b)=______________ x2+(a+b)x+ab=____________ 通过你的答案，发现：对于二次三项式x2+px+q,如果常数q能分解为两个因数a,b的积，并且a+b=q时，（其中a与b的和是一次项系数）就可以用上面的公式因式分解。 例、把x2+3x-18分解因式 解:原式=(x+6)(x-3) 例2、用十字相乘法解下列方程 解：分解因式： （x-6）（x+3）=0 ∴x-6=0或x+3=0 x1=6, x2=-3 解：分解因式：（3x-2）（x+4）=0 ∴3x-2=0或x+4=0 x1=, x2=-4 自主尝试 知识1练习： 1．方程x2－3x＝0的解为( )D A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )D A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2 3.下列能用因式分解法的是___________________.答案：（1）（2）（4） 4.当x=________时，分式的值为0. 答案：1 例1、后的巩固练习： 用因式分解法解下列方程： （1）3x2-6x=-3 （2）4x2-121=0 （3）(x-4)2=(5-2x)2 答案：（1）x1=x2=1 （2） （3）x1 = 3 , x2 = 1. 知识2、巩固练习： 4. 分解a2-a-12的结果为（ ）B B. (a-3)(a+4) B.(a+3)(a-4) C.(a-6)(a+2) D.(a+6)(a-2) 5. 分解x2+2x-8的结果为（ ）A B. (x+4)(x-2) B.(x-4)(x+2) C.(x+4)(x+2) D.(x-4)(x-2) 6. 若多项式M分解的因式是(x-2)(x-3),则M是（ ）C B. x2-5x-6 B.x2+5x+6 C. x2-5x+6 D.x2+5x-6 当堂检测 1、按要求填空： ① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-2=0 ⑧ x2-2x-8=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) ⑩ 2y2+3y-2=0 适合运用直接开平方法__________________；答案:⑥ 适合运用因式分解法__________________；答案:⑤⑨ 适合运用公式法__________________； 答案:① 适合运用配方法__________________ . 答案:④ 适合运用十字相乘法__________________ . 答案:⑦⑧⑩ 2、已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( )B A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4) 3、已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为( )A A．7 B．－1 C．7或－1 D．－2或6 4、用适当方法解下列方程： （1）（1-x）2= (2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y； (5)(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 答案：（1）x1= , x2= （2）x1= , x2= （3）x1= , x2= （4）y1=5 , y2=-3 （5）x1= 2 , x2= -1 （6）x1= , x2=-12 5、已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程得x1＝10，x2＝7， ∵3＋7＝10，故x＝10舍去， ∴周长＝3＋7＋7＝17 6、先化简，再求值: 其中x2-x=0 解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0. ∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．∴x＝0. 原式化简＝(x－2)(x＋1)． 当 x＝0 时， 原式＝(x－2)(x＋1)＝(0－2)(0＋1)＝－2. 小结反思 本节课你有哪些收获？总结解一元二次方程的方法，解答自己的疑惑 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $