暑假几何提升专题讲义 第七讲 勾股定理面积问题2026-2027学年北师大版八年级数学上册

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第七讲 勾股定理 —— 面积问题 第7讲 讲 面积问题 一、知识讲解 1、直角三角形面积两种算法 S= × 直角边 × 直角边；S= × 斜边 × 斜边上的高。 由此可得重要公式：直角边 1 × 直角边 2 = 斜边 × 斜边上的高，用来求斜边上的高。 2、网格图形面积： 割补法，用外围大矩形面积减去周围多余直角三角形面积。 3、勾股树模型： 以直角三角形三边向外作正方形、等腰直角三角形、半圆，斜边上图形面积等于两条直角边上两个图形面积之和。 若△ABC，∠A=90°，则 S 斜边 = S 直角边 1 + S 直角边 2。 4、希波克拉底月牙（月牙面积）： 直角三角形，三边向外作半圆，两个月牙面积之和等于直角三角形面积。 二、例题精析 【题型一 三角形中利用面积求斜边上的高】 【例1】如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ． 【题型二 几何图形中巧妙割补求面积】 【例2】如图，在四边形中，已知∠B=90°，，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【题型三 “勾股树”及其拓展类型求面积】 【例3】 如图，在中，，分别以的三条边分别作等腰直角三角，，，若它们的面积分别表示为，，，则，，的关系是（    ）    A． B． C． D．，，无等量关系 三、变式训练 1、如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是 ．    2、如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．    (1)__________，__________，__________； (2)的形状为__________三角形； (3)求中边上的高__________． 3、已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 4、如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出三角形的周长______，面积______． (2)直接写出边上的高______． 5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．    6、如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 课后作业 1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 2、我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为．    (1)如图2，若中，，，，，则______． (2)若中，∠B=90°，，，则______； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 3、计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 4、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积， 6 学科网（北京）股份有限公司 $暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第七讲 勾股定理 —— 面积问题 第7讲 讲 面积问题 一、知识讲解 1、直角三角形面积两种算法 S= × 直角边 × 直角边；S= × 斜边 × 斜边上的高。 由此可得重要公式：直角边 1 × 直角边 2 = 斜边 × 斜边上的高，用来求斜边上的高。 2、网格图形面积： 割补法，用外围大矩形面积减去周围多余直角三角形面积。 3、勾股树模型： 以直角三角形三边向外作正方形、等腰直角三角形、半圆，斜边上图形面积等于两条直角边上两个图形面积之和。 若△ABC，∠A=90°，则 S 斜边 = S 直角边 1 + S 直角边 2。 4、希波克拉底月牙（月牙面积）： 直角三角形，三边向外作半圆，两个月牙面积之和等于直角三角形面积。 二、例题精析 【题型一 三角形中利用面积求斜边上的高】 【例1】如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高是 ． 解析： 第一步，割补求△ABC 面积。包围三角形的矩形，减去周围三个直角三角形。 S△ABC = 3×2 −×1×2 −×1×2 − ×1×3 =6 −1 −1 −1.5 =2.5 =。 第二步，勾股求 BC 长度。横向 2 格，纵向 1 格， BC==。 面积公式：S△ABC = × BC × h = × × h 解得 h=。 答案： 【题型二 几何图形中巧妙割补求面积】 【例2】如图，在四边形中，已知∠B=90°，，，，．    (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 解析： (1) 证明： ∵ ∠B=90°，AB=3，BC=4， 由勾股定理 AC² = AB²+BC² = 3²+4²=25，∴ AC=5。 在△ACD 中，AC=5，CD=12，AD=13。 AC²+CD² = 25+144 =169，AD²=169。 ∴ AC²+CD² = AD²，根据勾股定理逆定理，△ACD 是直角三角形，∠ACD=90°。 (2) 解： S 四边形 ABCD = S△ABC + S△ACD S△ABC =×3×4=6 S△ACD =×5×12=30 S 四边形 ABCD =6+30=36。 答案：(1) 证明如上；(2) 36 【题型三 “勾股树”及其拓展类型求面积】 【例3】 如图，在中，，分别以的三条边分别作等腰直角三角，，，若它们的面积分别表示为，，，则，，的关系是（    ）    A． B． C． D．，，无等量关系 解析： 设 AB=c，AC=b，BC=a，∠BAC=90°，b²+c²=a²。 等腰直角三角形面积公式：以边长 m 为斜边的等腰直角三角形面积 S= m²/4。 S₁是以 AB 为斜边，S₃是以 AC 为斜边，S₂是以 BC 为斜边。 S₁ = AB² /4， S₃=AC² /4， S₂= BC² /4。 ∵ AB²+AC² = BC²，两边同时除以 4，得到 S₁+S₃ = S₂。 答案：A 三、变式训练 1、如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是 ．    解析： 大正方形面积 = 4。 S△ABC = 4 −×1×2 −×1×2 −×1×1 = 。 BC==。 S=× BC × h = × ×h h =。 答案： 2、如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．    (1)__________，__________，__________； (2)的形状为__________三角形； (3)求中边上的高__________． 解析： (1) AB===2； BC===2； AC===2。 (2) BC=AC，所以是等腰三角形。 (3) 割补求面积：包围矩形 4×4，减去周围三个直角三角形。 S△ABC = 16 −×2×2 −×2×4 −×2×4 = 6。 S= ×AC ×h 6 = × 2√5 × h，解得 h= 。 答案： (1) 2，2，2 (2) 等腰 (3) 3、已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 解析： (1)∵ 8²+15² =64+225=289，17²=289。 ∴ a²+b² = c²，△ABC 是直角三角形，c 为斜边。 (2) S=×8×15 =60。 答案：(1) 直角三角形；(2) 60 4、如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出三角形的周长______，面积______． (2)直接写出边上的高______． 解析： AB==， BC===2， AC==5。 周长 =+ 2 +5。 割补法求面积，外围矩形 6×3。 S=18 −×2×3 −×4×3 −×6×2 = 9。 S= × BC × h 9 = × 2 × h h= 。 答案： (1) + 2 +5 ；9 (2) 5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．    解析： 勾股树：S 大 = SA+SB+SC+SD 8² =10+11+13 + SD 64 =34 + SD，SD=30。 答案：30 6、如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 解析： AB=5。 S 阴影 = S 小半圆 AC + S 小半圆 BC + S△ABC − S 大半圆 AB =π (2)² + π (1.5)² + ×3×4 − π (2.5)² 化简后 π 项全部抵消，S 阴影 = 6。 答案：6 课后作业 1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 解析： 勾股树，四个小正方形面积之和等于最大正方形面积，5²=25。 答案：D 2、我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为．    (1)如图2，若中，，，，，则______． (2)若中，∠B=90°，，，则______； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 解析： (1) 等腰△ABC，BC=10，AB=AC=13。高 AD⊥BC，BD=5。 AD==12。 Δ(BC)= BC − AD =10−12= −2。 (2)∠B=90°，AB=9，BC=12。AC==15。 S=×9×12 = 1/2 ×15 ×h，h= =7.2。 Δ(AC)= AC−h = 15 − = 。 (3) BC=20，BC 边上高 h=15， Δ(BC)= BC − h =20−15=5。 答案： (1)-2 (2) (3) 5 3、计算：如图，每个小正方形的边长都为1．    (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积； (3)求证：． 解析： (1) AB===； BC==5。 (2) 割补法，外围大矩形 6×5。 S=30 − ×4×2 − ×3×4 − ×2×1 − ×1×5 =30 −4 −6 −1 −2.5 =16.5，即 。 (3) 计算：AB²=20，BC²=25，AC²=45。 AB² + BC² = 20+25 =45 =AC²。 ∴ 根据勾股逆定理，∠ABC=90°，AB⊥BC。 4、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． 证明： 设直角三角形两直角边长 a、b，斜边长 c。 梯形面积 = (a+b)(a+b)。 梯形也等于三个三角形面积之和： ab +ab + c²。 (a²+2ab+b²) = ab + c²。 两边乘 2：a²+2ab+b² = 2ab +c²。 化简得到 a²+b²=c²，勾股定理得证。 (2) 探究发现：如图 3 以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为 S₁，S₂，S₃，请猜想 S₁，S₂，S₃的等量关系，并证明你的结论。 猜想：S₁+S₂=S₃。 证明：S₁=a²，S₂=b²，S₃=c²，直角三角形 a²+b²=c²，故 S₁+S₂=S₃。 6 学科网（北京）股份有限公司 $