1.1探索勾股定理暑假预习讲义同步训练2026-2027学年八年级数学上册北师大版

1.1探索勾股定理暑假预习讲义同步训练 北师大版2026—2027学年八年级数学上册 一、选择题 1．一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其直角边的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 2．若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（     ） A． B． C．或 D．或 3．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇的长是（     ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 4．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，若，，则的长为（     ） A． B．6 C． D． 5．勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，，，则 __________ 10．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为__________． 11．一公园入口大门上方装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为___________． 12．在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 三、解答题 13．如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 14．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 15．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明和同学放学后一起放风筝，牵线放风筝的手到地面的距离为．为了测得风筝的垂直高度，小明想到利用“勾股定理”的知识来进行计算，为此他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度长； (2)如果想让风筝沿方向下降，则应该往回收线多少？ 16．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示（），物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，绳长（）为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长； (2)如图2，若物体C上升到达的高度时，滑块B水平向左滑动到，求的长． 17．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接，．已知，，，设，． (1)写出与的函数关系式． (2)求的最小值． 18．如图，在中，，点D在延长线上，点F在线段上，连接，，使．过点A作交延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 参考答案 1．C 2．D 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 9．51 10．18 11．2 12． 13．【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，，， ， ， 解得． 14．(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 15．【详解】（1）解：由题意可得，在中，，，， ∴， ∴． 答：风筝的垂直高度长为． （2）解：设风筝下降到点F，即， ∴， 连接， ∴在中，， ∴， 答：应该往回收线． 16．【详解】（1）解：由题意得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：∵物体上升到达的高度， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∵， ∴， 即滑块水平向左滑动到的距离为． 17．【详解】（1）解：，， ， 为直角三角形， ， 同理，， ， 即； （2）解：过点作于，连接， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 18．(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $