1.3.1矩形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“1.3.1矩形的性质”同步练习，通过选择、填空、解答题（10+5+3）的题量配比，构建“基础巩固-能力提升-综合应用”三阶分层，强化矩形性质从概念辨析到动态推理的知识内化，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形定义、性质（四角相等、对角线相等）、与平行四边形/菱形性质对比|以选择/填空题为主（如第1、3题概念辨析），强化几何直观| |提升层|矩形对角线性质、折叠问题、角度计算|结合图形变换（如第2、12题折叠），培养推理意识| |综合层|动态几何、菱形判定、面积计算|解答题（如第16、17题证明与计算），发展创新意识与应用能力|

1.3.1矩形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（　　） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 2．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ABD＝48°，则∠E的度数是（　　） A．18° B．21° C．24° D．27° 3．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分且互相垂直 C．对角相等 D．对边相等 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　） A．AC＝2CD B．AE＝2OA C．AD＝2DE D．AE＝2AB 5．如图，在矩形ABCD中，若∠1＝30°，则∠2（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线交点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，AE的长是（　　） A． B． C．1 D． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，下列推断错误的是（　　） A．BD＝2DE B．OE＝AC C．∠ODC＝∠EDC D．OE⊥DC 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于点E，MF∥OD交AD于点F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D．10 9．在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 10．如图，已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA′上时，∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．∠2﹣∠1＝90° 二．填空题（共5小题） 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE垂直平分OD于点E．已知AB＝4，则矩形ABCD的周长为　 　 ． 12．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点F，若CE平分∠ACD，AF＝2，则CD长是　 　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC分别交AC、BC于点F、E，若∠BDE＝10°，则∠CFE的度数为　 　 °． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交CD于点E，连接BE．若∠COE＝20°，则∠EBD＝　 　 ． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC、AD上，O是四边形AECD对角线的交点，且AC⊥EF，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，CE﹣BE＝2，求四边形AECF的面积． 17．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F． （1）求证：AP＝AG； （2）求证：四边形AGFP是菱形． 18．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）如图1，求证：四边形OCED是菱形； （2）如图2，若AB＝AO，过点O作FG⊥AC，交AD于点F，交BC于点G，连接FC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形OCED的面积的． 1.3.1矩形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（　　） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【解答】解：A、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； B、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； C、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； D、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：D． 2．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ABD＝48°，则∠E的度数是（　　） A．18° B．21° C．24° D．27° 【解答】解：连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，，，∠BAD＝90°， ∴∠E＝∠DAE，∠ADB＝42°， ∵AC＝BD，，， ∴AO＝DO， ∴∠ADB＝∠CAD＝42°， ∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝42°， ∴∠DAE＝∠CAE＝21°， ∴∠E＝∠CAE＝21°， 故选：B． 3．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分且互相垂直 C．对角相等 D．对边相等 【解答】解：矩形的对角线长度相等，而菱形的对角线不一定相等（除非是正方形）．因此，对角线相等是矩形特有的性质．故选项A符合题意， 菱形的对角线互相垂直且平分，但矩形的对角线仅互相平分而不垂直（除非是正方形）．因此，此性质属于菱形而非矩形．故选项B不符合题意， 矩形和菱形都是平行四边形，对角相等、对边相等是平行四边形的基本性质，矩形和菱形均具备，故选项C、D不符合题意． 故选：A． 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　） A．AC＝2CD B．AE＝2OA C．AD＝2DE D．AE＝2AB 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝2OA＝2OC，AB∥CD，AB＝CD． ∵DE＝CD， ∴AB＝DE（等量代换）， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD， ∴AE＝BD＝AC， ∴AE＝2OA，故B正确； ∵得不出AC＝CE， ∴AC≠2CD，AD≠2DE，AE≠2AB，故A，C，D错误． 故选：B． 5．如图，在矩形ABCD中，若∠1＝30°，则∠2（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【解答】解：如图所示，设AC、BD交于O， ∵四边形ABCD是矩形，∠1＝30°， ∴OD＝OC， ∴∠OCD＝∠1＝30°， ∴∠2＝∠DOC＝180°﹣∠OCD﹣∠1＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故选：C． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线交点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，AE的长是（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：连接CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，OB＝OD， ∵EF⊥BD， ∴DE＝BE， 设AE＝x，则DE＝BE＝4﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x）2， 解得：x， 即AE． 故选：B． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，下列推断错误的是（　　） A．BD＝2DE B．OE＝AC C．∠ODC＝∠EDC D．OE⊥DC 【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCDE是平行四边形． ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AC＝BD，， ∴OC＝OD， ∴四边形OCDE是菱形， ∴BD＝2OD＝2DE，故A正确， ∴∠ODC＝∠EDC，OE⊥DC，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于点E，MF∥OD交AD于点F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D．10 【解答】解：∵点M为AO的中点， ∴OM＝MA， ∵ME∥AB， ∴， 即OE＝EB， ∴ME是△OAB的中位线， ∴， ∵∠MEF＝∠MFE， ∴MF＝ME＝3， ∵MF∥OD， ∴，即AF＝FD， ∴MF是△OAD的中位线， ∴OD＝2MF＝6， ∵BD＝2OD＝12，∠BAD＝90°， ∴． 故选：C． 9．在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C．3 D．4 【解答】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12， ∴∠B＝90°， ∴EB⊥AB，AC13， ∵AE平分∠BAC， ∴FE＝BE， 在Rt△AFE和Rt△ABE中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）， ∴AF＝AB＝5， ∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE， ∴BE2+82＝（12﹣BE）2， ∴BE， 故选：A． 10．如图，已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA′上时，∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．∠2﹣∠1＝90° 【解答】解：∵将长方形纸条，分别沿着EF，GH折叠，DC恰好落在EA′上， ∴，∠ED′G＝90°， ∴∠D′EG+∠D′GE＝90°， ∴∠A′EA+∠D′GD＝180°﹣∠D′EG+180°﹣∠D′GE＝360°﹣90°＝270°， ∴， 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE垂直平分OD于点E．已知AB＝4，则矩形ABCD的周长为　　 ． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ∴AC＝2OC，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°， ∵CE垂直平分OD， ∴OC＝DC＝4， ∴AC＝8， ∴， ∴矩形ABCD的周长为， 故答案为：． 12．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点F，若CE平分∠ACD，AF＝2，则CD长是　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠D＝∠BCD＝90°， ∴∠DAC＝∠ACB， 由折叠可知，∠ACB＝∠ACE， ∴∠CAF＝∠ACF， ∴AF＝CF＝2， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACF＝∠FCD， ∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCD， ∵∠BCD＝90°， ∴∠ACB+∠ACF+∠FCD＝90°， ∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCD＝30°， ∴， ∴若CE平分∠ACD，AF＝2，则． 故答案为：． 13．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC分别交AC、BC于点F、E，若∠BDE＝10°，则∠CFE的度数为　100　 °． 【解答】解：∵在矩形ABCD中， ∴∠ADC＝∠C＝90°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC＝45°， ∵∠BDE＝10°， ∴∠BDC＝45°+10°＝55°， 由矩形的性质可知， ∴OC＝OD， ∴∠ACD＝∠BDC＝55°， ∴∠CFE＝∠EDC+∠ACD＝45°+55°＝100°． 故答案为：100． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交CD于点E，连接BE．若∠COE＝20°，则∠EBD＝　35°　 ． 【解答】解：矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∵OE⊥BD， ∴∠BOE＝90°， ∵∠COE＝20°， ∴∠BOC＝∠BOE﹣∠COE＝70°， 由题意可得：AC＝BD，OB＝OD，OA＝OC， ∴OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵∠BOC＝∠OCD+∠ODC， ∴∠ODC＝35°， ∵OE⊥BD，OB＝OD， ∴DE＝EB， ∴∠EBD＝∠EDB＝35°， 故答案为：35°． 15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　6　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴CD＝3， ∴， ∴S阴影＝6． 故答案为：6． 三．解答题（共3小题） 16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC、AD上，O是四边形AECD对角线的交点，且AC⊥EF，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，CE﹣BE＝2，求四边形AECF的面积． 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC， ∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC， ∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝AD﹣DF， ∴CE＝AF， 在△OAF和△OCE中， ， ∴△OAF≌△OCE（ASA）， ∴OF＝OE，OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：设BE＝x，则CE＝x+2， ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝CE＝x+2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2，即（x+2）2＝42+x2， 解得：x＝3， ∴CE＝3+2＝5， ∴S四边形AECF＝CE•AB＝5×4＝20． 17．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F． （1）求证：AP＝AG； （2）求证：四边形AGFP是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴PA⊥AB， ∵BP平分∠ABD，PF⊥BD， ∴PA＝PF，∠ABP＝∠GBE， ∵∠ABP+∠APB＝90°，∠GBE+∠BGE＝90°， ∴∠APB＝∠BGE， ∵∠BGE＝∠AGP， ∴∠APG＝∠AGP， ∴AG＝AP， （2）∵PA＝PF，AG＝AP， ∴AG＝PF， ∵AE⊥BD，PF⊥BD， ∴PF∥AE， ∴四边形AGFP是平行四边形， ∵AP＝AG， ∴四边形AGFP是菱形． 18．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）如图1，求证：四边形OCED是菱形； （2）如图2，若AB＝AO，过点O作FG⊥AC，交AD于点F，交BC于点G，连接FC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形OCED的面积的． 【解答】（1）证明：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． ∴DE∥OC，CE∥OD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，，， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD， ∴AC＝BD，，， ∴AO＝BO， ∵AB＝AO， ∴AO＝BO＝AB， ∴∠ABO＝∠BAO＝60°， ∴∠ACB＝∠OAF＝30°， 设AB＝AO＝x，AC＝2x， ∴， 连接OE交CD于点K， 由菱形的性质可得：OK⊥CD，，CK＝DK， ∴，， ∴， ∴， ∵FG⊥AC，AO＝OC， ∴∠FOA＝∠FOC＝∠COG＝90°，AF＝FC， ∴∠FCO＝∠FAO＝30°， 设FO＝a，则AF＝2a， ∵FO2+AO2＝AF2， 即a2+x2＝（2a）2， ∴，负值舍去， ∴， ∴， 根据同高等底可知， 在Rt△COG和Rt△COF中， ， ∴Rt△COG≌Rt△COF（ASA）， ∴， ∵∠GCO＝∠FCO＝30°， ∴∠FCD＝30°， ∵OD＝OC，∠DOC＝∠AOB＝60°， ∴OC＝OD， 在△COF和△CDF中， ， ∴△COF≌△CDF（SAS）， ∴ 综上，△AOF，△COF，△COG，△CDF的面积都等于四边形OCED的面积的． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/22 13:16:34；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $