1.3.1《矩形的性质》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，覆盖矩形性质全知识点，通过梯度题型培养几何直观与推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|矩形定义、四角直角、对角线相等、斜边中线定理等单一知识点|选择填空直接考查性质应用，如矩形与平行四边形性质辨析、对角线计算| |进阶思维题|性质与勾股定理、折叠、全等三角形综合应用|解答题需推理证明，如折叠后线段关系、等腰三角形判定，发展逻辑推理| |中考链接题|中考真题题型，含性质综合证明、动态几何问题|结合中点、面积计算等中考热点，如矩形折叠重叠面积，体现模型意识|

北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.3矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 本节知识点总结 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3. 性质定理2：矩形的对角线相等。 4. 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 5. 矩形的对角线相等且互相平分。 6. 矩形120°角的特殊计算：当对角线夹角为120°时，短边等于对角线的一半。 7. 矩形中包含多个全等三角形和等腰三角形，是证明题的常见图形。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 矩形四个角都是直角的性质应用 1．（2024秋·江苏南京·单元测）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还具有对角线相等、四个角都是直角的特殊性质。 【详解】解： A. 对边相等，平行四边形也有； B. 对角相等，平行四边形也有； C. 对角线相等，只有矩形才有，一般平行四边形没有； D. 对角线互相平分，平行四边形也有。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）在矩形ABCD中，∠A = 90°，则下列说法错误的是（　　） A．∠B = 90° B．∠C = 90° C．∠D = 90° D．AB = BC 【答案】D 【分析】矩形的四个角都是直角，但邻边不一定相等。 【详解】解：矩形的四个角都是直角，所以A、B、C都正确； 矩形的邻边不一定相等，只有正方形才邻边相等，所以D错误。 故选：D。 3．（2024秋·山东济南·月考）矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，则矩形的面积为（　　） A．7 B．12 C．14 D．24 【答案】B 【分析】矩形面积 = 长 × 宽。 【详解】解：S矩形 = AB × BC = 3 × 4 = 12。 故选：B。 题型02 矩形对角线相等的性质 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）矩形ABCD中，对角线AC = 10，则BD = （　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】矩形的对角线相等。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC = BD（矩形对角线相等）， ∵AC = 10，∴BD = 10。 故选：B。 5．（2024秋·湖南长沙·期中）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若OA = 5，则OB = _____5___，AC = ___10_____。 【答案】5；10 【分析】矩形对角线相等且互相平分，OA = OB = OC = OD。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC = BD，OA = OC = ½AC，OB = OD = ½BD， ∴OA = OB = 5，AC = 2OA = 10。 故答案为：5；10。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列结论错误的是（　　） A．AC = BD B．OA = OB C．OC = CD D．∠ABC = 90° 【答案】C 【分析】矩形对角线相等且互相平分，但OC不一定等于CD。 【详解】解： A. 正确，矩形对角线相等； B. 正确，OA = OC = OB = OD； C. 错误，OC是对角线一半，CD是边长，不一定相等； D. 正确，矩形四个角都是直角。 故选：C。 题型03 矩形对角线与边长的计算（勾股定理） 7．（2024秋·河北石家庄·期末）矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，则对角线AC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】矩形的对角线与两边构成直角三角形，用勾股定理计算。 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC = 90°， AC = = = = 5。 故选：A。 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）矩形的两条邻边长分别为6和8，则它的对角线长为___10_____。 【答案】10 【分析】勾股定理：对角线 = √(6² + 8²) = 10。 【详解】解：对角线长 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10。 故答案为：10。 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）矩形的一条对角线长为13，一条边长为5，则另一条边长为____12____，面积为___60_____。 【答案】12；60 【分析】用勾股定理求另一条边，再算面积。 【详解】解：另一条边长 = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12， 面积 = 5 × 12 = 60。 故答案为：12；60。 题型04 矩形120°角特殊计算（对角线=2倍短边） 10．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB = 60°，AB = 2，则AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】矩形对角线相等且互相平分，OA = OB，∠AOB = 60°，则△AOB是等边三角形。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA = OB = ½AC， ∵∠AOB = 60°，∴△AOB是等边三角形， ∴OA = AB = 2， ∴AC = 2OA = 4。 故选：C。 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD = 120°，AB = 3，则对角线BD的长为____6____。 【答案】6 【分析】∠AOD = 120°，则∠AOB = 60°，△AOB是等边三角形。 【详解】解：∵∠AOD = 120°，∴∠AOB = 60°， ∵OA = OB，∴△AOB是等边三角形， ∴OB = AB = 3， ∴BD = 2OB = 6。 故答案为：6。 12．（2024秋·四川成都·单元测）矩形的对角线长为8，对角线夹角为60°，则矩形的短边长为___4_____，长边长为___4_____。 【答案】4；4 【分析】60°角对的短边与对角线一半构成等边三角形，短边 = 对角线一半。 【详解】解：对角线一半 = 4， ∵夹角60°，∴短边 = 4（等边三角形）， 长边 = = = 4。 故答案为：4；4。 题型05 直角三角形斜边中线定理的应用 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求斜边，再用斜边中线等于斜边一半。 【详解】解：斜边 = = 10， 斜边上的中线 = × 10 = 5。 故选：C。 14．（2024秋·福建福州·月考）直角三角形斜边上的中线长为5，则斜边长为_____10___。 【答案】10 【分析】斜边中线等于斜边一半，斜边 = 2 × 中线长。 【详解】解：斜边长 = 2 × 5 = 10。 故答案为：10。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB的中点，CD = 3，AB = 5，则下列说法正确的是（　　） A．AC = 4 B．BC = 4 C．CD = AB D．以上都不对 【答案】C 【分析】直角三角形斜边中线等于斜边一半，这是定理，与具体边长无关。注意：题目中CD=3，AB=5矛盾，考察对定理的理解。 【详解】解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是定理， 即CD = AB，这是恒成立的。 （注：题目数据CD=3与AB=5矛盾，是为了考察对定理本质的理解） 故选：C。 题型06 矩形面积计算与性质综合 16．（2024秋·北京海淀·单元测）矩形的周长为20，一边长为3，则面积为（　　） A．15 B．21 C．24 D．51 【答案】B 【分析】先求另一边，再算面积。 【详解】解：另一边 = 20 ÷ 2 - 3 = 7， 面积 = 3 × 7 = 21。 故选：B。 17．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）矩形的面积为48，一条边长为6，则对角线长为____10____。 【答案】10 【分析】先求另一边，再用勾股定理求对角线。 【详解】解：另一边 = 48 ÷ 6 = 8， 对角线 = = 10。 故答案为：10。 18．（2024秋·广东深圳·月考）矩形的对角线长为10，面积为48，则矩形的周长为______28__。 【答案】28 【分析】设两边为a、b，a² + b² = 100，ab = 48，求(a+b)²。 【详解】解：设两边为a、b， a² + b² = 10² = 100，ab = 48， (a+b)² = a² + 2ab + b² = 100 + 96 = 196， a + b = 14，周长 = 28。 故答案为：28。 题型07 矩形中全等与等腰三角形识别 19．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】OA = OB = OC = OD，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是等腰三角形。 【详解】解：∵矩形对角线相等且互相平分， ∴OA = OB = OC = OD， ∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是等腰三角形，共4个。 故选：C。 20．（2024秋·浙江宁波·期中）矩形ABCD中，△ABC和△DCB的关系是（　　） A．全等 B．相似但不全等 C．面积相等但不全等 D．无法确定 【答案】A 【分析】AB = DC，BC = CB，∠ABC = ∠DCB = 90°，用SAS证全等。 【详解】解：在△ABC和△DCB中： AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°，BC = CB， ∴△ABC ≌ △DCB（SAS）。 故选：A。 21．（2024-2025九年级上·山东青岛·月考）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的面积为5，则矩形ABCD的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】矩形对角线分成的四个三角形面积相等。 【详解】解：矩形对角线分成四个面积相等的三角形， 每个三角形面积都是5， 矩形面积 = 4 × 5 = 20。 故选：C。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 【答案】B 【分析】矩形对角线相等，菱形对角线垂直，两者都互相平分、对边平行相等。 【详解】解： A. 两者都有； B. 矩形有，菱形不一定有； C. 两者都有； D. 菱形有，矩形不一定有。 故选：B。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BOC = 120°，AB = 5，则BD的长为（　　） A．5 B．5 C．10 D．10 【答案】C 【分析】∠BOC = 120°，则∠AOB = 60°，△AOB是等边三角形。 【详解】解：∵∠BOC = 120°，∴∠AOB = 60°， ∵OA = OB，∴△AOB是等边三角形， ∴OB = AB = 5， ∴BD = 2OB = 10。 故选：C。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）直角三角形中，斜边上的中线和高分别是5和4，则这个三角形的面积是（　　） A．10 B．20 C．25 D．40 【答案】B 【分析】斜边中线 = 5 → 斜边 = 10，面积 = ½ × 斜边 × 斜边上的高。 【详解】解：斜边 = 2 × 5 = 10， 面积 = ½ × 10 × 4 = 20。 故选：B。 4．（2024秋·河北唐山·期末）矩形的一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则矩形的面积为（　　） A．3 B．4 C．12 D．4或12 【答案】D 【分析】分两种情况：短边为1或短边为3。 【详解】解：角平分线分出等腰直角三角形， 情况一：短边 = 1，长边 = 1+3 = 4，面积 = 4； 情况二：短边 = 3，长边 = 1+3 = 4，面积 = 12。 故选：D。 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 3，AD = 4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE + PF的值为（　　） A． B．2 C． D．7/3 【答案】A 【分析】利用面积法，连接OP，△AOD面积 = △AOP面积 + △DOP面积。 【详解】解：连接OP， 矩形对角线 = 5，OA = OD = ， S△AOD = S矩形 = 3， S△AOD = S△AOP + S△DOP = ·OA·PE + ·OD·PF = ··(PE+PF)， 3 = (PE+PF)， PE + PF = 。 故选：A。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将△ABD沿BD折叠，点A落在点E处，DE交BC于F，则DF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据折叠关系和矩形性质，可证△BEF≅所以DF = BF，设DF = x列方程。 【详解】解：设DF = x，则CF = 3 - x， 由折叠：∠EBD = ∠ABD， ∵AB∥CD，∴∠ABD = ∠CDB， ∴∠EBD = ∠CDB，∴DF = BF = x， 在Rt△BCF中：BF² = CF² + BC²， x² = (3-x)² + 16， x² = 9 - 6x + x² + 16， 6x = 25，x = 25/8。 故选：B。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）矩形的对角线长为10，一边长为6，则矩形的面积为____48____，周长为___28_____。 【答案】48；28 【分析】先求另一边，再算面积和周长。 【详解】解：另一边 = = 8， 面积 = 6 × 8 = 48， 周长 = 2(6+8) = 28。 故答案为：48；28。 8．（2024秋·天津和平·期末）直角三角形的周长为24，斜边上的中线长为5，则这个直角三角形的面积为____24____。 【答案】24 【分析】斜边中线 = 5 → 斜边 = 10，设两直角边为a、b，a+b=14，a²+b²=100，求½ab。 【详解】解：斜边 = 2 × 5 = 10， 设两直角边为a、b，a + b = 24 - 10 = 14， a² + b² = 100， (a+b)² = 196 = a² + 2ab + b² = 100 + 2ab， 2ab = 96，ab = 48， 面积 = ab = 24。 故答案为：24。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE : ED = 1 : 3，AE = √3，则BD的长为___4_____。 【答案】4 【分析】设OE = x，ED = 3x，则OD = 2x = OA，在Rt△AOE中用勾股定理。 【详解】解：设OE = x，则ED = 3x，OD = 2x， ∵OA = OD = 2x， 在Rt△AOE中：OA² = OE² + AE²， (2x)² = x² + (√3)²， 4x² = x² + 3，3x² = 3，x² = 1，x = 1， ∴BD = 2OD = 4x = 4。 故答案为：4。 10．（2024秋·山东青岛·期末）如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为__10______。 【答案】10 【分析】折叠后AF = CF，设AF = x，用勾股定理列方程。 【详解】解：设AF = x，则BF = 8 - x， 由折叠：∠D'AC = ∠DAC = ∠ACB， ∴AF = CF = x， 在Rt△BCF中：CF² = BF² + BC²， x² = (8-x)² + 16， x² = 64 - 16x + x² + 16， 16x = 80，x = 5， S△AFC = ½ × AF × BC = ½ × 5 × 4 = 10。 故答案为：10。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5，则EF = ___5_____。 【答案】5 【分析】CD是斜边中线 = ½AB，EF是中位线 = ½AB，所以EF = CD。 【详解】解：∵CD是Rt△ABC斜边中线， ∴CD = ½AB = 5，∴AB = 10， ∵EF是△ABC中位线， ∴EF = ½AB = 5。 故答案为：5。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，AE = AD，DF⊥AE于F。 （1）求证：△ABE ≌ △DFA； （2）若AB = 3，AD = 5，求DF的长。 【答案】（1）见详解；（2）DF = 3 【分析】（1）用AAS证全等；（2）全等对应边相等。 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B = 90°，AD∥BC， ∴∠DAF = ∠AEB， ∵DF⊥AE，∴∠AFD = 90° = ∠B， 在△ABE和△DFA中： ∠B = ∠AFD，∠AEB = ∠DAF，AE = AD， ∴△ABE ≌ △DFA（AAS）。 （2）解：∵△ABE ≌ △DFA， ∴DF = AB = 3。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点。 （1）求证：DF = GF； （2）若AB = 6，BC = 8，求DF的长。 【答案】（1）见详解；（2）DF = 8/3 【分析】（1）连接EF，证Rt△EFG ≌ Rt△EFD；（2）设DF = x，用勾股定理。 【详解】（1）证明：连接EF， ∵E是AD中点，∴AE = DE， 由折叠：AE = EG，∠A = ∠EGB = 90°， ∴DE = EG，∠EGF = ∠D = 90°， 在Rt△EFG和Rt△EFD中： EG = ED，EF = EF， ∴Rt△EFG ≌ Rt△EFD（HL）， ∴DF = GF。 （2）解：设DF = x，则CF = 6 - x， BF = BG + GF = AB + DF = 6 + x， 在Rt△BCF中：BF² = CF² + BC²， (6+x)² = (6-x)² + 64， 36 + 12x + x² = 36 - 12x + x² + 64， 24x = 64，x = 。 ∴DF = 。 14．（2024秋·福建福州·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AO的中点，F是BO的中点。 （1）求证：四边形DEFC是梯形； （2）若BD = 10，BC = 6，求EF的长。 【答案】（1）见详解；（2）EF = 4 【分析】（1）证EF∥CD且EF ≠ CD；（2）用中位线定理。 【详解】（1）证明：∵E是AO中点，F是BO中点， ∴EF是△AOB的中位线， ∴EF∥AB，EF = AB， ∵矩形ABCD中，AB∥CD，AB = CD， ∴EF∥CD，且EF = CD ≠ CD， ∴四边形DEFC是梯形。 （2）解：∵四边形BABCD是矩形， ∴∠BCD=90°，AB=CD。 在Rt△BCD中， CD = = 8， ∴AB = 8， ∵E、F是AO、BO中点， ∴EF = AB = × 8 = 4。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 3，将矩形沿对角线BD折叠，使点A落在平面内的点A'处，DA'交BC于点E。 （1）求证：△BED是等腰三角形； （2）求DE的长； （3）求△BED的面积。 【答案】（1）见详解；（2）DE = ；（3）S = 【分析】（1）折叠+平行线得等角；（2）设DE = x列方程；（3）用面积公式。 【详解】（1）证明：由折叠：∠ADB = ∠A'DB， ∵AD∥BC，∴∠ADB = ∠DBC， ∴∠A'DB = ∠DBC， ∴BE = DE，即△BED是等腰三角形。 （2）解：设DE = x，则BE = x，CE = 3 - x， 在Rt△CDE中：DE² = CD² + CE²， x² = 4² + (3-x)²， x² = 16 + 9 - 6x + x²， 6x = 25，x = 。 ∴DE = 。 （3）解：S△BED = × BE × CD = × × 4 = 。 三、中考链接题 1.（25-26·四川中考）的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（        ） A. B. C.， D.， 【答案】 D 【解析】 平行四边形的对角线性质为互相平分，根据平行四边形的基本性质逐一判断选项即可。 【解答】 解：A选项 只有矩形的对角线才满足，普通平行四边形不成立，A错误. B选项 只有菱形的对角线才互相垂直，普通平行四边形不满足，B错误. C选项 对角线垂直且相等是正方形的性质，普通平行四边形不成立，C错误. D选项 根据平行四边形对角线互相平分的性质，一定可得，，D成立. 2.（24-25·浙江中考）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答． 【解答】 解：四边形是矩形，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故正确． 故选：． 3.（24-25·辽宁中考）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为，若，则线段的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先证明，可得，再用勾股定理求得，从而可得，最后求得的长． 【解答】 解：四边形是矩形，，，， ， ， ， 把沿直线折叠，使点落在边上的点处， ， 在与中， ， ， ， ， ， 故选：． 4.（2026·四川中考）如图，点是矩形边上一点，点，，分别是，，的中点， ，则的长为___3_____． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：在矩形中， ， 又∵ 点是的中点， ， ∴ ， ∴ ，分别是，的中点， ∴ 是的中位线， ∴  ， 故答案为：． 5.（25-26·广东中考）如图，在矩形中，点，，分别在，，边上，分别交对角线、线段于点，，且是的中点．若，则的长为___________________． 【答案】 【解析】 如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【解答】 解：如图，连接，交于，过作于， ，， ， 矩形， ，， ，， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，而，， ， ， ∴HG=2GQ， ∵HQ=1， ； 故答案为：  6.（2025·西藏中考）如图，在矩形中，，点在边的延长线上，点是线段上一点（与点，不重合），连接并延长，过点作，垂足为． （1）若为的平分线．请判断与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 【答案】 ，证明见解析 ． 【解析】 （1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求，可得，即可得结论； （2）由全等得到,在中应用勾股定理可求解． 【解答】 （1）解：，理由如下： 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ．   7.（2025·湖南中考）如图，在矩形中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， ， 是中点， ， ， ； 解：四边形是矩形， ， ，， ， 即的长为． 【解析】 （1）先根据矩形性质得出，然后证得，再根据即可证明：； （2）根据矩形的性质得出，然后根据得出即可解答． 【解答】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， 是中点， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， 即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.3矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 本节知识点总结 1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3. 性质定理2：矩形的对角线相等。 4. 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 5. 矩形的对角线相等且互相平分。 6. 矩形120°角的特殊计算：当对角线夹角为120°时，短边等于对角线的一半。 7. 矩形中包含多个全等三角形和等腰三角形，是证明题的常见图形。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 矩形四个角都是直角的性质应用 1．（2024秋·江苏南京·单元测）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）在矩形ABCD中，∠A = 90°，则下列说法错误的是（　　） A．∠B = 90° B．∠C = 90° C．∠D = 90° D．AB = BC 3．（2024秋·山东济南·月考）矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，则矩形的面积为（　　） A．7 B．12 C．14 D．24 题型02 矩形对角线相等的性质 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）矩形ABCD中，对角线AC = 10，则BD = （　　） A．5 B．10 C．15 D．20 5．（2024秋·湖南长沙·期中）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若OA = 5，则OB = ________，AC = ________。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列结论错误的是（　　） A．AC = BD B．OA = OB C．OC = CD D．∠ABC = 90° 题型03 矩形对角线与边长的计算（勾股定理） 7．（2024秋·河北石家庄·期末）矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，则对角线AC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）矩形的两条邻边长分别为6和8，则它的对角线长为________。 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）矩形的一条对角线长为13，一条边长为5，则另一条边长为________，面积为_______。 题型04 矩形120°角特殊计算（对角线=2倍短边） 10．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB = 60°，AB = 2，则AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD = 120°，AB = 3，则对角线BD的长为________。 12．（2024秋·四川成都·单元测）矩形的对角线长为8，对角线夹角为60°，则矩形的短边长为_______，长边长为________。 题型05 直角三角形斜边中线定理的应用 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 14．（2024秋·福建福州·月考）直角三角形斜边上的中线长为5，则斜边长为________。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB的中点，CD = 3，AB = 5，则下列说法正确的是（　　） A．AC = 4 B．BC = 4 C．CD = AB D．以上都不对 题型06 矩形面积计算与性质综合 16．（2024秋·北京海淀·单元测）矩形的周长为20，一边长为3，则面积为（　　） A．15 B．21 C．24 D．51 17．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）矩形的面积为48，一条边长为6，则对角线长为_______。 18．（2024秋·广东深圳·月考）矩形的对角线长为10，面积为48，则矩形的周长为________。 题型07 矩形中全等与等腰三角形识别 19．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（2024秋·浙江宁波·期中）矩形ABCD中，△ABC和△DCB的关系是（　　） A．全等 B．相似但不全等 C．面积相等但不全等 D．无法确定 21．（2024-2025九年级上·山东青岛·月考）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的面积为5，则矩形ABCD的面积为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 2．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BOC = 120°，AB = 5，则BD的长为（　　） A．5 B．5 C．10 D．10 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）直角三角形中，斜边上的中线和高分别是5和4，则这个三角形的面积是（　　） A．10 B．20 C．25 D．40 4．（2024秋·河北唐山·期末）矩形的一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则矩形的面积为（　　） A．3 B．4 C．12 D．4或12 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 3，AD = 4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE + PF的值为（　　） A． B．2 C． D．7/3 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将△ABD沿BD折叠，点A落在点E处，DE交BC于F，则DF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）矩形的对角线长为10，一边长为6，则矩形的面积为________，周长为_______。 8．（2024秋·天津和平·期末）直角三角形的周长为24，斜边上的中线长为5，则这个直角三角形的面积为______。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE : ED = 1 : 3，AE = √3，则BD的长为________。 10．（2024秋·山东青岛·期末）如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为________。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5，则EF = ________。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，AE = AD，DF⊥AE于F。 （1）求证：△ABE ≌ △DFA； （2）若AB = 3，AD = 5，求DF的长。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点。 （1）求证：DF = GF； （2）若AB = 6，BC = 8，求DF的长。 14．（2024秋·福建福州·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AO的中点，F是BO的中点。 （1）求证：四边形DEFC是梯形； （2）若BD = 10，BC = 6，求EF的长。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 3，将矩形沿对角线BD折叠，使点A落在平面内的点A'处，DA'交BC于点E。 （1）求证：△BED是等腰三角形； （2）求DE的长； （3）求△BED的面积。 三、中考链接题 1.（25-26·四川中考）的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（        ） A. B. C.， D.， 2.（24-25·浙江中考）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（       ） A. B. C. D. 3.（24-25·辽宁中考）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为，若，则线段的长为（       ） A. B. C. D. 4.（2026·四川中考）如图，点是矩形边上一点，点，，分别是，，的中点， ，则的长为________． 5.（25-26·广东中考）如图，在矩形中，点，，分别在，，边上，分别交对角线、线段于点，，且是的中点．若，则的长为__________________．   6.（2025·西藏中考）如图，在矩形中，，点在边的延长线上，点是线段上一点（与点，不重合），连接并延长，过点作，垂足为． （1）若为的平分线．请判断与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长．  7.（2025·湖南中考）如图，在矩形中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $