培优提升　双曲线的标准方程及性质的应用课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学双曲线同步练，分ABC三级梯度设计，从基础巩固到能力提升再到素养创新，覆盖标准方程、性质应用及直线位置关系，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|双曲线标准方程、渐近线、直线相交条件|选择填空为主，强化概念理解与基础运算，培养抽象能力| |B级|离心率、中点弦、轨迹综合|解答题占比高，突出推理应用，发展运算与推理意识| |C级|焦点三角形与双曲线性质综合|压轴题设计，渗透数学思维，提升创新意识|

培优提升　双曲线的标准方程及性质的应用 A级　必备知识基础练 1.若直线y=kx与双曲线=1相交,则k的取值范围是(　　) A.(0,) B.(-,0) C.(-) D.(-∞,-)∪(,+∞) 2.与双曲线C:=1有两个交点的直线方程是(　　) A.4x-y=0 B.3x-4y-15=0 C.4x-3y+20=0 D.4x-3y-20=0 3.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知M(-2,0),圆C:x2-4x+y2=0,动圆P经过点M且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　) A.x2-=1(x≥1) B.-y2=1(x≥) C.x2-=1 D.-y2=1 5.已知A,B为双曲线x2-=1上的两点,且线段AB的中点坐标为(-1,-4),则直线AB的斜率为(　　) A. B. C.- D.- 6.(2026广西高二期中)设点A(-2,0),B(2,0),M为动点,已知直线AM与直线BM的斜率之积为定值,则点M的轨迹方程是(　　) A.=1(y≠0) B.=1(y≠0) C.-y2=1(y≠0) D.=1(y≠0) 7.过点P(0,2)且与双曲线2x2-y2=1有且只有一个公共点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 8.记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,若直线y=2x与C无公共点,则e的取值范围为　　　　　.  9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,右焦点为(,0). (1)求双曲线C的方程; (2)已知直线y=x+2与双曲线C交于不同的两点A,B,求|AB|. 10.已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与它到定直线x=1的距离之比是. (1)求动点P的轨迹方程; (2)记动点P的轨迹为曲线C,若过点Q(0,2)的直线l与曲线C交于M,N两点,△OMN的面积为2,求直线l的方程. B级　关键能力提升练 11.若双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点为(,0),点E的坐标为(),则直线OE(O为坐标原点)与双曲线的交点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与斜率为1的直线交于A,B两点,若线段AB的中点为(4,1),则C的离心率e=(　　) A. B. C. D. 13.过点A(0,1)作斜率为k的直线l交双曲线x2-=1于P1,P2两点,线段P1P2的中点在直线x=上,则实数k的值为　　　　　.  14.已知双曲线C的渐近线为y=±x,且过点M(1,). (1)求双曲线C的方程; (2)直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA与OB垂直,求实数a的值以及弦长|AB|. C级　学科素养创新练 15.设双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B为双曲线E上在第一象限内的点,线段F1B与双曲线E相交于另一点A,AB的中点为M,且F2M⊥AB.若∠AF1F2 =30°,则双曲线E的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 答案 1.C　由题意知直线y=kx恒过原点,双曲线=1的渐近线为y=±x, ∵直线y=kx与双曲线=1相交,∴-<k<.故选C. 2.B　双曲线C:=1的渐近线方程为4x±3y=0,当直线与渐近线平行时,直线与双曲线只有一个交点,故C,D选项中的直线与双曲线只有一个交点,故C,D错误; 对于A,联立可得-x2=1,无解,故A错误; 对于B,联立可得175x2+810x-4 329=0,Δ=(810)2+4×175×4 329>0,故B正确.故选B. 3.B　依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2). 由得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-, 所以|AB|=|x1-x2|==3. 故选B. 4.C　圆C:x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径r=2,设动圆P的半径为R,若动圆P与圆C内切,则圆C在圆P内,所以|PM|=R,|PC|=R-2, 所以|PM|-|PC|=2<|MC|=4, 所以动点P是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=2, 所以b=, 所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≥1). 若动圆P与圆C外切,则|PM|=R,|PC|=R+2, 所以|PC|-|PM|=2<|MC|=4, 所以动点P是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=2, 所以b=, 所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≤-1). 综上可得,动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1.故选C. 5.B　(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有=1,=1,两式相减得到(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0. 又线段AB的中点坐标为(-1,-4),所以-2(x1-x2)-×(-8)(y1-y2)=0,得到, 所以直线AB的斜率为.故选B. (方法2)设O为坐标原点,AB的中点为M(-1,-4), 则kOM=4,则kAB·kOM=,即kAB·4=9,kAB=. 故直线AB的斜率为.故选B. 6.B　设M(x,y),x≠±2,则kAM·kBM=,整理可得=1, 所以点M的轨迹方程是=1(y≠0).故选B. 7.D　当斜率不存在时,过点P的直线与双曲线没有公共点;当斜率存在时, 设直线方程为y=kx+2,联立得(2-k2)x2-4kx-5=0, 当2-k2=0,即k=±时,方程只有一个解; 当2-k2≠0时,则Δ=16k2+20(2-k2)=0,解得k=±. 综上可知,过点P(0,2)且与双曲线2x2-y2=1有且只有一个公共点的直线有4条.故选D. 8.(1,]　因为C:=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±x,结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4,可满足条件“直线y=2x与C无公共点”. 所以e=, 又因为e>1,所以1<e≤. 9.解 (1)由已知2a=2,a=1. 又c=,所以b==2. 所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)由得3x2-4x-8=0, 则Δ=(-4)2-4×3×(-8)=112>0. (方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=-, 所以|AB|=|x1-x2|=. (方法2)|AB|=. 10.解 (1)由已知得, 两边平方得=2. 展开化简得x2-y2=2.故动点P的轨迹方程为=1. (2)当直线l的斜率不存在时,直线l与曲线C没有交点,不满足题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2, 联立整理得(1-k2)x2-4kx-6=0,Δ=16k2+24(1-k2)=24-8k2>0,解得k2<3. 则|MN|=. 原点O到直线y=kx+2的距离d=. 已知S△OMN=|MN|d=2,即=2,化简得=2, 两边平方整理得8k4-8k2-16=0,即k4-k2-2=0,得(k2-2)(k2+1)=0. 因为k2+1>0,所以k2=2,k=±.也满足Δ>0.所以直线l的方程为y=±x+2. 11.C　因为双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,且右焦点为(,0), 所以 所以=2,,所以点E的坐标为(2,),且双曲线C的渐近线方程为y=±2x. 又因为kOE=∈(-2,2), 所以直线OE与双曲线的交点个数为2.故选C. 12.C　(方法1)双曲线C:=1(a>0,b>0)与斜率为1的直线交于A,B两点, 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2, 则=1,=1,两式相减得=0. 因为AB的中点为(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2, 所以,由题意知=1,所以=1, 即,则C的离心率e=.故选C. (方法2)设O为坐标原点,M为AB的中点(4,1), 则kAB·kOM==1×. 故双曲线C的离心率e=.故选C. 13.-1　易知直线l的方程为y=kx+1,联立得(2-k2)x2-2kx-3=0,显然2-k2≠0. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2==1,解得k=-1±.因为直线l与双曲线有两个交点, 所以Δ=4k2+12(2-k2)>0,即-<k<,所以k=-1. 14.解 (1)由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为3x2-y2=λ,λ∈R. 又双曲线过点M(1,), ∴λ=3-2=1.∴双曲线的方程为3x2-y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立化为(3-a2)x2-2ax-2=0(3-a2≠0). ∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A,B两点, ∴Δ=4a2+8(3-a2)>0,化为a2<6. ∴x1+x2=,x1x2=. (*) ∵,∴=0. ∴x1x2+y1y2=0. 又y1=ax1+1,y2=ax2+1,∴(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,把(*)代入上式得+1=0,化为a2=1.满足Δ>0且a2≠3,∴a=±1. 由弦长公式可得|AB|=. 15.D　双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),∠AF1F2=30°,可得直线AB的方程为y=(x+c), 代入双曲线方程化简可得(3b2-a2)x2-2a2cx-a2c2-3a2b2=0, 易知3b2-a2≠0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=, 设M(xM,yM),则xM=,yM=+c),直线MF2的斜率=-, 解得a2=b2. 所以双曲线的离心率为e=.故选D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $