课时作业21+椭圆的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，通过基础概念辨析、中档综合应用、提升拓展探究三阶设计，实现从知识理解到能力迁移的巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|离心率、a/b/c关系、标准方程|选择1-3直接考查定义公式，填空9-11强化概念辨析| |中档|几何性质综合应用|选择4-7结合向量、相似三角形等知识，体现数形结合| |提升|综合计算与探究|解答13-14需整合周长、离心率等多条件求方程，培养模型意识|

课时作业21 椭圆的简单几何性质 一、选择题 1.若椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 2.直线y=kx-k与椭圆=1的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 3.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4,则该椭圆的短轴长为(　　) A. B.2 C.4 D.6 4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.+y2=1 5.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于(　　) A. B. C. D. 6.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 7.F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 8.（多选题）已知椭圆C:=1的焦点分别为F1,F2,P为C上一点,则(　　) A.C的焦距为2 B.C的离心率为 C.△F1PF2的周长为3+ D.△F1PF2面积的最大值为2 二、填空题 9.已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________． 10.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)． 11.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________． 12.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________． 三、解答题 13.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6. (1)求这个椭圆的离心率； (2)求这个椭圆的标准方程． 14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程． 课时作业21 椭圆的简单几何性质 （答案） 一、选择题 1.若椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：依题意可知,c=b,又a=c,所以椭圆的离心率e=故选C. 2.直线y=kx-k与椭圆=1的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析：直线y=kx-k可化为y=k(x-1),所以直线恒过点(1,0),又因为<1,即点(1,0)在椭圆的内部,所以直线y=kx-k与椭圆=1的位置关系为相交.故选A. 3.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4,则该椭圆的短轴长为(　　) A. B.2 C.4 D.6 解析：由可得a2=4c2=4(a2-b2)(*), 因为2a=4,即a=2,代入(*),解得b=,故短轴长为2b=2故选：B. 4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.+y2=1 解析：由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,① 由e=,得e2==1-,即b2=a2.② 联立①②,解得a2=9,b2=8. 故选B. 5.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于(　　) A. B. C. D. 解析：选C　不妨设点B在第一象限，则B，由题意知OB的倾斜角是60°，所以＝＝，则椭圆的离心率e＝＝.故选C. 6.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：选B　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. 7.F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， P(－c，m)． ∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA， ∴＝，① 又∵P(－c，m)在椭圆上，∴＋＝1，② 将①代入②得＝1， 即e2＝，∴e＝，故选A. 8.（多选题）已知椭圆C:=1的焦点分别为F1,F2,P为C上一点,则(　　) A.C的焦距为2 B.C的离心率为 C.△F1PF2的周长为3+ D.△F1PF2面积的最大值为2 解析：设椭圆C:=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=,所以C的焦距为2,故A正确;C的离心率为,故B正确;△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+2,故C错误;当点P位于椭圆的上、下顶点时,△F1PF2的面积最大,最大值为2×2=2,故D正确.故选：ABD 二、填空题 9.已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________． 解析：因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2. 答案：[1,2] 10.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)． 解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；＋＝1的离心率e2＝.因为e1＞e2，故①更扁． 答案：① 11.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________． 解析：∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝. 答案： 12.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________． 解析：∵e＝＝， ∴＝＝， ∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2. 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)， ∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1. 解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 三、解答题 13.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6. (1)求这个椭圆的离心率； (2)求这个椭圆的标准方程． 解：由题意知2a＋2b＝18，且2c＝6. 又a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，c＝3. (1)离心率e＝＝. (2)椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程． 解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8. 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $