1.1.2空间向量的数量积运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高二暑假预习同步练，聚焦空间向量数量积运算，分层设计覆盖基础概念到综合应用，通过几何体情境培养数学运算与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|数量积定义、夹角公式|以长方体、单位向量为情境，如选择1-5直接考查运算规则| |能力提升|性质辨析、投影计算|多选题9-11强化向量运算律，填空13结合正三棱柱考查垂直应用| |综合应用|几何证明与参数求解|解答题15-16通过正三棱柱、空间四边形实现知识迁移，培养推理能力|

1.1.2空间向量的数量积运算 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列计算结果等于0的是(　　) A.· B.· C.· D.· 【答案】C 【解析】根据数量积的几何意义知，所求的问题即为两个向量所在的直线垂直．当AD＝AA1时，满足AD1⊥B1C，故A不正确；同理，当AB＝AD时，易证AC⊥平面BDD1，从而有AC⊥BD1，故B不正确；事实上，对任意长方体，都有DC⊥平面ADD1A1，从而DC⊥AD1，故C正确；对于D项，连接CD1，易证△BCD1为直角三角形，其中∠BCD1＝90°，所以∠CBD1≠90°，而BC∥B1C1，即异面直线BD1与B1C1所成的角即为∠CBD1，所以异面直线BD1与B1C1不垂直，即·一定不为0，故D不正确. 2.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 3.在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足＝x＋y＋(1－x－y)，点N满足＝λ－(λ－1)，当AM、DN最短时，·等于(　　) A.－   B.   C.－   D. 【答案】A 【解析】∵＝x＋y＋(1－x－y)， ＝λ－(λ－1)， ∴－＝x(－)＋y(－)，－＝λ(－)， 即＝x＋y，＝λ， ∴M∈平面BCD，N∈直线AB， 所以当AM、DN最短时，AM⊥平面BCD，DN⊥AB， ∴M为△BCD的中心，N为线段AB的中点， 如图， 又因为正四面体的棱长为1， ∴AM＝，BM＝＝， 在△ABM中，由余弦定理可得 cos∠BAM＝＝， ∴·＝||·||cos∠BAM＝2， ∴·＝·(－) ＝·＝·－2 ＝－||2＝－×＝－. 4.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D.不确定 【答案】B 【解析】如图， 令＝a，＝b，＝c， 则·＋·＋·， ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)， ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B. 5.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　) A.60° B.120° C.30° D.90° 【答案】B 【解析】∵a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝－e1·e2－2＝1－1×1×－2＝－， |a|＝＝＝＝＝， |b|＝＝＝ ＝＝. ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 又∵〈a，b〉∈[0，π]， ∴〈a，b〉＝120°. 6.在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C.－ D.0 【答案】D 【解析】cos〈，〉＝＝＝＝． 因为||＝||，∠AOC＝∠AOB＝，所以cos〈，〉＝0． 7.已知a,b为空间中的两个非零向量,模长均为2,它们的夹角为45°,那么|a+b|=( ) A.20 B. C.2 D.2 【答案】D 【解析】== = = =2.故选D. 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点,则||=(  ) A.   B. C.   D. 【答案】A 【解析】记=a,=b,=c,因为AB=AD=1,PA=2,所以|a|=|b|=1,|c|=2.又因为AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 60°=1.易得=()=()=(-a+b+c),所以||2=(-a+b+c)2=[a2+b2+c2+2×(-a·b-a·c+b·c)]=×[12+12+22+2×(0-1+1)]=,所以||=.故选A. 二、多选题（共3小题） 9.设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(　　) A.a2＝|a|2 B.＝ C.(a·b)2＝a2·b2 D.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 【答案】AD 【解析】由数量积的性质和运算律可知A、D是正确的. 10.（2024-2025·吉林高二月考）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】由题得 且， 故 ，选项A正确； ，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D错误． 故选：ABC. 11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与   B.与 C.与   D.与 【答案】AD 【解析】对于A，AC∥A1C1，所以与的夹角即与的夹角，显然为45°；对于B，与的夹角为135°；对于C，与的夹角为135°；对于D，与A同理，即与的夹角为45°.故选AD. 三、填空题（共3小题） 12.如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点,则MN                  AB(填“∥”或“⊥”). 【答案】⊥ 【解析】设=p,=q,=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a, 且p,q,r三向量两两夹角均为60°. =-=(+)-=(q+r-p), 所以·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2) =(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0, 所以⊥,即MN⊥AB. 13.已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝                  . 【答案】 【解析】如图所示，设＝m，则＝m，＝＋，＝＋＝＋m，又·＝0，所以(＋)＝0，所以·＋m·＋·＋m·＝0，即×1×1×＋0＋0＋4m＝0，即－＋4m＝0，解得m＝. 14.（2025-2026·河南驻马店高二上期中）已知向量，，则在上的投影向量为                   . 【答案】 【解析】设向量、夹角为,由投影向量定义,在上投影向量为. 已知, 则, ,故. 代入得投影向量为. 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长． 【答案】(1)证明　＝＋，＝＋. 因为BB1⊥平面ABC， 所以·＝0，·＝0， 又因为△ABC为正三角形， 所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. 因为·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋＋·＝||·||·cos〈，〉＋＝－1＋1＝0， 所以AB1⊥BC1. (2)解　由(1)知·＝||·||·cos 〈，〉＋＝－1， 又因为||＝＝＝||， 所以cos〈，〉＝＝＝ ， 所以||＝2，即侧棱长为2. 16.（2025-2026·山东临沂高二上期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】解：(1)由，得. ，故. . 为中点，则. (2)由题意，， ，. ， 则 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2空间向量的数量积运算 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列计算结果等于0的是(　　) A.· B.· C.· D.· 2.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 3.在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足＝x＋y＋(1－x－y)，点N满足＝λ－(λ－1)，当AM、DN最短时，·等于(　　) A.－   B.   C.－   D. 4.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D.不确定 5.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　) A.60° B.120° C.30° D.90° 6.在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C.－ D.0 7.已知a,b为空间中的两个非零向量,模长均为2,它们的夹角为45°,那么|a+b|=( ) A.20 B. C.2 D.2 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点,则||=(  ) A.   B. C.   D. 二、多选题（共3小题） 9.设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(　　) A.a2＝|a|2 B.＝ C.(a·b)2＝a2·b2 D.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 10.（2024-2025·吉林高二月考）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与   B.与 C.与   D.与 三、填空题（共3小题） 12.如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点,则MN                  AB(填“∥”或“⊥”). 13.已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝                  . 14.（2025-2026·河南驻马店高二上期中）已知向量，，则在上的投影向量为                   . 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长． 16.（2025-2026·山东临沂高二上期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $