1.1.2空间向量的数量积运算 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量数量积运算，通过基础概念辨析、中档综合应用到提升几何体情境的三阶分层设计，构建从单一知识点到综合实践的巩固路径，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|数量积定义与性质|通过单选1辨析选项强化概念理解，夯实数学思维基础| |中档应用|运算与夹角计算|结合正方体、四面体模型（单选3、4），提升符号运算与几何直观能力| |综合提升|几何体综合应用|以平行六面体（解答题12）为情境，培养空间观念与逻辑推理，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

1.1.2空间向量的数量积运算同步训练 学校 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.对于任意空间向量ā，b,c,下列说法正确的是() A.若a11b且b/1c,则a/1c B.a(B+c)-a-B+a-c C.若a.b=ac,且a≠0，则b=c D.(a-B)c=a(B.c) 2.如图，各棱长都为2的四面体1BCD中C正=历，4=2历，则向量 BE.CF=() y A.-3 B.3 c.-2 D. 3.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为l,若B=a,AD=6,A=c,则a+6-)() A.0 B.2 C.1 D.4 4.在正四面体P-ABC中，点E,F分别是线段BC,PC的中点，则os(PE,4F）=（) A B D.d 5.已知空间向量a,6,无的长度均为2，且2 a.b=0 c.a=c.b=2 则与a+6 的夹角为() A.君 B. c.3 D. 6,如图，在直三核柱MBC-4BG中，4C=B=14=5,BC=2E=2,则向量正与4C的夹角的 余弦值是() 试卷第1页，共3页 A C 多 E B √2 5 A.2 B.2 C.2 D.0 二、多选题 a,b,c 7.(多选)已知空间向量 ,则下列说法正确的是(） A.a.b=b.a a.b=a.cb=c B.若 ,则 c.(a-B)e-a-(6.c) D.若向量a,6同向共线，则i-6=a6 ABCD-ABCD 8.已知正方体 的棱长为1，则() A.AB·AC=1 B.AB.AC=1 CD·AB=1 D.4B.AD=1 三、填空题 9.如图，在棱长为1的正方体 MCD-ABGP中，CC 试卷第2页，共3页 A D B A1----------- D C 10.已知空间中的三个单位向量a6,c满足两两夹角是3，则a+b+= 四、解答题 1L,如图，正方体ACD-BCD的楼长为1，设4B=aD=6AM=C,求： D B D B ①6+g (2)a-(a+b+© 试卷第3页，共3页 ABCD-A BCD AB=4,AD=3,AA =5 12.如图，在平行六面体 中， ∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60° 求： D C A D (1)44.4B AC (2)的长. 试卷第4页，共3页 1.1.2空间向量的数量积运算 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 3．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 4．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 5．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 6．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 二、多选题 7．（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 8．已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由空间向量数量积的计算和向量的转化可得结果. 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 三、填空题 9．如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【详解】因为，， 所以， ， . 10．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 四、解答题 11．如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 【答案】(1)0； (2)1. 【分析】（1）（2）根据正方体的结构特征，应用向量数量积的运算律求数量积即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 12．如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量数量积的计算公式，直接计算，即可求解；. （2）由向量的线性运算法则，求得，根据向量运算律，即可求解. 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $