限时训练卷12 导数及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数概念、几何意义及应用，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，强化推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|单选覆盖导数计算、切线方程、单调性参数范围；多选结合导函数图像分析函数性质|从导数定义到几何意义，再到单调性、极值、零点的应用递进| |填空|3题|单调区间存在性、偶函数切线、数值比较|衔接概念辨析与简单应用，强化数学语言表达| |解答|5题|切线方程、极值最值、单调性讨论、零点个数、恒成立问题|综合考查导数工具性，体现模型观念与问题解决能力|

2027年高考一轮限时训练卷限时训练卷12　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·重庆北碚·期末）设满足，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】A 【详解】依题意，. 2．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数，则（     ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为函数，则， 所以. 3．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 4．（25-26高三·安徽宿州·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题可知时，恒成立，分离常数后得，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调性，从而求得函数最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】函数定义域，导数， 由题意可知当时，导数恒成立， 即，所以在时恒成立. 令函数， 则， 令函数，则导数， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以. 5．（25-26高三·河南郑州·期末）记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知的导函数不等式构造新的单调函数，将原不等式转化为一次不等式恒成立问题求解. 【详解】因为，，构造函数，所以， 因为，且恒成立，因此，即是在上的严格单调递增函数， 因为，因此，对原不等式两边同时除以， 可得，即，等价于，即， 因为在上恒成立，因为，不等式可变形为， 因为是单调递减函数，最小值在处取得，为，因为是对上恒成立， 所以，即，所以的取值范围为. 6．（25-26高三·广东潮州·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数图象有两个不同的交点，通过导函数研究即可. 【详解】因为有两个不同的极值点， 所以有两个变号零点， 显然不符合题意，则函数图象有两个不同的交点， 因为，所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，有唯一零点，所以其图象如图： 则，则，故实数的取值范围是. 7．（2026高三下·全国·专题练习）若恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化成，由恒成立，可得到需满足恒成立与恒成立，分离变量，利用导数可得答案. 【详解】， 恒成立， 即， ，， 要使恒成立， 只需对恒成立， 即， 设，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， ； 再令， ，则， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， . 综上可得，. 8．（25-26高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数有两个不同的极值点，，若存在实数使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知在内有2个不相等的实数根，，参变分离结合函数图象可得，利用韦达定理整理可得，存在实数，使得，即可得结果. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 若函数有两个不同的极值点，， 则在内有2个不相等的实数根，， 显然不合题意，即， 可得，即与在内的图象有2个不同的交点， 由图象可知：，解得， 且，， 由可得，即， 可知存在实数，使得， 且，则，可得， 所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递增 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 【答案】BD 【分析】根据导函数的图象与原函数的关系，利用导数的几何意义判断切线斜率，利用导数的正负判断函数的单调性，利用导数零点及左右符号变化判断极值点，逐个判断即可. 【详解】选项A：由图可知，即函数的图象在的切线的斜率大于0，故A错误； 选项B：由图可知时，， 所以函数在上单调递增，故B正确； 选项C：由图可知时，， 所以函数在上单调递增， 左右两侧导数符号相同，不是函数的极值点，故C错误； 选项D：由C选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确． 10．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．在上单调递增 B．若函数有两个零点，则 C．不等式的解集为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，构造函数，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A正确， 对于选项B，若有两个不同的零点，即直线与有两个交点， 因为是的极小值点，， 因为，且时， 所以，当时直线与有两个交点，选项B错误； 对于选项C，由，得到，当时，恒成立， 当时，由，得到， 令，在区间上单调递增，所以，则， 综上，不等式的解集为，C选项正确； 对于选项D，由，得到， 则，由选项A知，在区间上单调递增， 所以，则，故选项D正确， 11．（25-26高三上·福建·期末）已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 【答案】BC 【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D． 【详解】对于B，由题， 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，故B正确； 对于A，由B可知的极大值，极小值， 因为在单调递增，且， 所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误； 对于C，令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向下移动个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为， 代入，可得， 整理得，即即 解方程得：或 则过点的切线方程有两条，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【分析】先对函数求导，根据函数在区间上存在单调递减区间得到关于的不等式，再通过对函数的最值来确定取值范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 13．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）若函数（其中）为偶函数，则曲线在处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，可得，即， 所以，整理得恒成立，所以，即， 当时，可得，则，可得，且， 则切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 14．（25-26高三·内蒙古赤峰·阶段检测）设，则a，b，c的大小关系是______.（用“”连接） 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函数，利用导数研究单调性比较c，a，进而得到答案. 【详解】令函数，则， ∵当时，， 在恒成立，所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则， ∵当时，， 在恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·安徽合肥·期末）已知函数，令． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据导数求切线斜率，再结合点斜式求解切线方程； （2）根据导数符号确定函数单调性，进而求解函数最值. 【详解】（1），则， 则在处切线斜率， 切点为，即， 整理得切线方程. （2）由， 因，故，即在上单调递增， 又， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取最小值，，即最小值为0． 16．（25-26高三·重庆北碚·期末）已知函数，在处取得极值. (1)求实数，的值； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值及极值点的意义求出并验证即得. （2）由（1）的结果，利用导数求最值，即可求得值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 由在处取得极值， 得，解得， 此时， 当时，；当时，， 因此函数在处取得极值，所以. （2）由（1）知，，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，则， 所以在区间上的值域为. 17．（25-26高三·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单减区间为；单增区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）由得，问题转化为直线与的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 由得，由得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）令得， 令，其中， 则函数有且仅有个零点等价于函数与的图象有个交点， ，由得，由得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为， 当时，，当时，且， 所以的取值范围是. 18．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知，函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； (3)若函数的极小值不小于3，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，代入直线方程的点斜式即可解决； （2）函数在定义域内不存在极值点，说明其在定义域内恒单调，即其导数在定义域内恒非负或恒非正，结合含参二次函数的图象即可解决； （3）由（2）可知，的极小值就是，于是有，得到与的关系，运用“隐零点问题”的常规解法即可解决. 【详解】（1）当时，， ，所以，即切线的斜率为， 因为，所以切点为，代入点斜式得，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）因为函数的定义域为， ， 因为函数在定义域内不存在极值点，且函数图象是连续的， 所以函数在定义域内是单调的． （i）当时，在时恒成立，即， 所以函数在定义域内单调递减，符合题意； （ii）当时，设， 因为，且的图象开口向上， 所以存在，使得，于是， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意， 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，当时，存在极小值点， 因为，所以． 因为的极小值不小于3，所以恒成立， 所以，即. 设函数， 所以，即函数在上单调递减， 因为，所以的解为，即， 因为，所以，设， 则，所以， 所以的最小值为2. 【点睛】本题的第（3）小问是一道典型的“隐零点问题”，原题虽然求的是的最小值（范围），但却需要先消去，保留，得到关于的不等式，求出的范围，再将视作关于的函数去求的最小值（范围）. 19．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）把代入函数解析式，对其求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合导数与单调性关系及有解条件即可求解. 【详解】（1）当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . （2），， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则 ， 令 ，则， 所以 在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷限时训练卷12　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·重庆北碚·期末）设满足，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数，则（     ） A．1 B．0 C．2 D． 3．（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·安徽宿州·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·河南郑州·期末）记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·广东潮州·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026高三下·全国·专题练习）若恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数有两个不同的极值点，，若存在实数使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递增 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 10．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．在上单调递增 B．若函数有两个零点，则 C．不等式的解集为 D．若，则 11．（25-26高三上·福建·期末）已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 13．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）若函数（其中）为偶函数，则曲线在处的切线方程为__________． 14．（25-26高三·内蒙古赤峰·阶段检测）设，则a，b，c的大小关系是______.（用“”连接） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·安徽合肥·期末）已知函数，令． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的最小值． 16．（25-26高三·重庆北碚·期末）已知函数，在处取得极值. (1)求实数，的值； (2)求在区间上的值域. 17．（25-26高三·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 18．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知，函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； (3)若函数的极小值不小于3，求的最小值． 19．（25-26高三·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $