第三章《 图形的相似》单元基础练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册《图形的相似》单元基础练习，覆盖相似三角形判定与性质、位似、平行线分线段成比例等核心知识，结合古四分仪测量、投影等真实情境，适配单元复习巩固，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例性质（1）、位似面积比（3）、古四分仪应用（7）|基础概念与文化情境结合| |填空题|6/18|影长测量（11）、位似坐标（15）、相似面积计算（16）|生活实际与知识应用融合| |解答题|8/72|相似判定与性质（20）、正方形中相似与全等（23）、位似作图（24）|分层设计，综合考查推理与模型意识|

第三章《 图形的相似》单元基础练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 2．三角形的面积是，则它的三条中位线组成的三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（　　） A． B． C． D．2：1 4．如图，在一个花架简易图中，AD∥BE∥CF，DE=20cm，，则DF的长度为（　　） A．50cm B．30cm C．20cm D．无法确定 5．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，E，F分别是和上的点，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 7．四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是4，和，则的面积是（　　） A．81 B．121 C．124 D．144 9．如图，点O为四边形内的一点，连结，若，则四边形的面积与四边形的面积比为（　　） A． B． C． D． 10．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．∠BAD=∠ADC 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，身高m的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得m，m，则树的高度为　 　． 12．如图，已知，那么　 　． 13．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为　 　． 14． 如图， 在 中， 且 3， DB=2， 则 的值是　 　. 15．如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是　 　． 16．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，若，，的面积是2，则的面积是　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，△ABC中，点D和点E分别在AB，AC上，AC=2AD，AB=2AE，DE=5，求BC的长度. 18．如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 19．在四边形中，，连接，点在上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，，，求的度数和的长． 20．如图，∠B＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长． 21．如图，点D在边BC上，，． （1）求证：； （2）若，，，求BD的长． 22．如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 23．如图，在正方形 ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交 AB于点E，交 DA的延长线于点 F，连接AG. （1） 求证： CG=AG； （2） 求证： （3） 若 求 EF的长. 24． 已知O是坐标原点， A， B的坐标分别为（3，0)， （2，2)。 （1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形 使新图与原图的相似比为2：1； （3）直接写出△OA1B1的面积为　 　。 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解： 故A不符合题意； 故B符合题意； 故C不符合题意； 故D不符合题意； 故答案为：B . 【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵三角形三条中位线所围成的三角形与原三角形相似，相似比为， ∴面积比为． ∴则它的三条中位线组成的三角形的面积是60×＝15 cm2． 故答案为：C． 【分析】根据三角形中位线定理可得新三角形与原三角形相似，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：与是位似图形，， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故答案为：B． 【分析】根据位似图形上一对对应点到位似中心的距离比等于位似比求出与的相似比，进而根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， 又 ∵，， ∴ 代入得 ， 交叉相乘得 ， 解得 。 故选：A。 【分析】本题核心知识点是平行线分线段成比例定理。先需识别出图中的平行线组（、、）和被截的两条线段（和），明确对应关系：对应，对应，因此比例关系为。已知的长度和的比值，将数值代入比例式，通过解方程即可求出的长度。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， 由已知可得∽， ∴， ∵ 的面积为 ∴的面积为． 故答案为：D． 【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴，，故A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意， 故答案为：D． 【分析】由两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例可判断A、B、C选项；由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AEF∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可判断D选项. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：A． 【分析】 根据题意得出，代入数据计算即可求解． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示标注字母，由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为， ∴对应边的比为， ∵四边形，四边形是平行四边形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：D ． 【分析】由题意可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则对应边的比为，根据平行四边形性质可得，设，则，，根据边之间的关系可得BC，再根据相似三角形性质即可求出答案. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴四边形与四边形相似，且相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：D． 【分析】根据相似图形的概念得出四边形与四边形的相似比为，从而由相似图形的面积比等于相似比的平方得出面积比，据此即可求解. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故答案为：C． 【分析】根据相似三角形的对应边成比例，且对应角相等，逐项判断解答即可． 11．【答案】m 【解析】【解答】解：设树的高度为m， 由题意得： ∵m，m， ∴， 解得： 故答案为：m. 【分析】设树的高度为m，根据同一时刻，同一地点、同一平面上，物体的高度与影长成比例建立方程，求解即可. 12．【答案】6 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴CE＝6， 故答案为：6． 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案. 13．【答案】2.7 【解析】【解答】解：如图，过作于， ∵DE为底面AB的高， ∴DE⊥AB， ∴， ∴△ADE∽△AFC， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7 【分析】本题做出辅助线后，根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，得出，这样即可得出△ADE∽△AFC，进而得，代入计算即可计算出CF的值。 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵DE||BC ∴ ∴ 故填：. 【分析】直接由平行线分线段成比例可得AE与AC的比值. 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【分析】根据位似图形性质即可求出答案. 16．【答案】12.5 【解析】【解答】解：， ， ∴，即， ∴． 故答案为：12.5． 【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入已知面积与线段长度，计算得出S△ABC​的值。 17．【答案】解：， ， 又， ， ， ． 【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，然后根据对应边成比例解答即可． 18．【答案】（1）解：∵， ， ，，， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）根据，可得出，即，进而即可得出； （2）根据，可得出，可得出，进而得出． （1）解：∵， ， ，，， ， ； （2）∵， ， ， ， ， ， ． 19．【答案】（1）已知：AB∥DC，∠ADB=∠EDC 求证： 证明：∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：∵∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，BD=BE+DE=5+4=9 ∴，即 ∴ 所以 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和，掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）由平行得到，结合，根据两个对应角相等的两个三角形相似即可得证； （2）根据，得到，继而得到，因为BE=BC，根据等边对等角得到∠BCE=∠BED=50°，由于△BCE内角和180°，可以求出∠EBC的度数。BD=BE+ED=9，，根据相似三角形的对应边成比例，得到，把DE、AB、BD的值代入求出CD. （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 20．【答案】解：（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD．（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴，∴AB=9，∴BD=AB-AD=9-4=5． （1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B， ∴△ABC∽△ACD． （2）解：∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴AB=9， ∴BD=AB-AD=9-4=5． 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键．（1）观察图形可知：∆ABC和∆ACD有公共角，故∠A=∠A，结合 ∠B＝∠ACD，根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可得：△ABC∽△ACD，由此可证得结论； （2）由（1）知：△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可得：，代入数据可解得：AB=9， 再根据线段的和差运算可知：BD=AB-AD=5，由此可得出答案． 21．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD ∴∠BAC＝∠DAE 又∠C＝∠E ∴△ABC∽△ADE （2）解：∵△ABC∽△ADE， ∴BC：DE＝4：5 ∵DE＝10 ∴BC＝8 ∵CD＝2 ∴BD＝BC－CD＝6 【解析】【分析】（1）由角的构成及等式的性质推出∠BAC=∠DAE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出结论； （2）由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出BC：DE=4：5，代值求出BC=8，最后根据BD=BC-CD可算出答案. （1）证明：∵∠BAD＝∠CAE ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD ∴∠BAC＝∠DAE 又∠C＝∠E ∴△ABC∽△ADE （2）∵△ABC∽△ADE， ∴BC：DE＝4：5 ∵DE＝10 ∴BC＝8 ∵CD＝2 ∴BD＝BC－CD＝6 22．【答案】（1）解：即为所作： （2）解：，理由如下： 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方程，作出一个角等于已知角，即可求解； （2）根据平分 可得，从而得到，即，再根据平行线分线段成比例的性质得到，即可求解． （1）解：即为所作： （2）解：，理由如下： 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠CDB=∠ADB=45°， DC=DA， 在△CDG和△ADG中， ∴△CDG≌△ADG (SAS)， ∴CG=AG； （2）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠CBE=∠FDC=90°， CB=CD=AB， CB∥DF， ∴∠BCE=∠DFC， ∴△BCE∽△DFC， 即 （3）解：∵ ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， CD=AB， CB∥AD， ∴BE∥CD， ∴∠EBG=∠CDG， ∠BEG=∠DCG， ∴△BEG∽△DCG， 设 则CD=6x， ∵AF∥CB， ∴∠FAE=∠CBE， ∠AFE=∠BCE， ∴△AFE∽△BCE， ∴EF的长为 【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到∠CDB=∠ADB=45°，DC=DA，证明△CDG≌△ADG(SAS)，根据全等三角形的性质即可得证； (2)根据正方形的性质得到∠CBE=∠FDC=90°，CB=CD=AB，CB//DF， 证明△BCE~△DFC，根据相似三角形的性质即可得证； (3)根据正方形的性质证明△BEG~△DCG，可得，设，则CD=6x，得到，再证明△AFE~△BCE，根据相似三角形的性质可得，代入数据求解即可. 24．【答案】（1）解：见解析；如图， 把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE， △ODE即为所求； （2）解：见解析；如图，在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1， △OA1B1即为所求： （3）12 【解析】【解答】解：（3）△OA1B1的面积为 故答案为：12 【分析】（1）根据旋转性质作图即可. （2）根据位似图形性质即可求出答案. （3）根据三角形面积即可求出答案. 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