第三章 图形的相似 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级上“图形的相似”单元卷，覆盖比例性质、位似、相似三角形判定与性质等核心知识，梯度设计合理，注重几何直观与推理能力考查，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|比例尺、位似坐标、相似判定|基础题（如比例尺计算）与能力题（如动点相似）结合，考查空间观念| |填空题|5|平行线分线段成比例、面积比、多结论判断|设置位似坐标多解问题，培养分类讨论思维| |解答题|5|相似证明、菱形判定、矩形与相似综合|综合题（如正方形中菱形与相似证明）突出推理能力，贴合中考命题趋势|

北师大版（2024）九年级上 第三章 图形的相似 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm,则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 2．如果x、y都不为零，且3x=5y,那么下列比例中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（6，-2） B．（-6，-2） C．（-6，2） D．（6，2）或（-6，-2） 4．如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（　　） A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C． D． 5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE=1：2，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 7．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　） A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25 9．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=7，点D是边BC上一点，BD=4，点E在边AC上．若∠ADE=∠C，则CE的长为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 10．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，点E是边CD上一点，连接AE．若，且AE=10，则AC的长度为（　　） A．16 B．18 C．20 D．25 11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm,点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（　　）s后，△PCQ与△ABC相似． A． B．或 C．或 D．或 12．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，满足DE=3BE，过点E作EN⊥EA，交DC于点N，连接AN交BD于点F，M为BC边中点，连接FM，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标是A（2，4），B（3，2），O（0，0），以点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA1B1，则点A的对应点A1的坐标为______． 14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=2：3，BC=20cm,则BF=______． 15．在△ABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CD与BF交于点E，=，CA=3CF，则=______． 16．如图，在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，EM，EN．若AB=9，BC=12，则△EMN的周长为______． 17．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H．则下列结论中： ①AF=DE； ②AB2=BF•AE； ③S△BGF：S△BAF=2：3； ④当AB=a时，BD2-BD•HD=a2，正确的序号是______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E． （1）作EF⊥BC于点F．求证：F是线段BC的二等分点． （2）连接DF交AC于点G，作GH⊥BC于点H．求证：H是线段BC的一个三等分点． 19．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，DE∥BC，△ABC的角平分线AF交DE于点G． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若，求FG的长． 20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，交AC于点G，若CE2=CG•CA，求证：△BCG∽△ACE． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）求证：四边形AEDF为菱形； （2）当AB=10，BC=6时，求菱形AEDF的周长． 22．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF=CE，对角线BD分别交EC、AF于点M、N，联结AM、CN． （1）求证：四边形AMCN是菱形； （2）过点C作CP⊥CE交BD的延长线于点P，如果CM2=MN•NB，求证：△NCD∽△NPC． 北师大版（2024）九年级上 第三章 图形的相似 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、A 2、B 3、D 4、C 5、C 6、B 7、C 8、C 9、C 10、A 11、C 12、A  二．填空题（共5小题） 13、或； 14、8cm； 15、； 16、18； 17、②③④；  三．解答题（共5小题） 18、证明：（1）∵AC，BD交于点E，四边形ABCD是矩形， ∴AE=EC， ∵AB⊥BC，EF⊥BC， ∴EF∥AB， ∴CF：FB=EC：AE， ∴CF=FB， ∴F是线段BC的二等分点； （2）∵AE=EC，BF=FC， ∴EF是△ABC的中位线， ∴， ∴． ∵DC⊥BC，EF⊥BC， ∴EF∥DC， ∴△EFG∽△CDG， ∴， ∴． ∵GH⊥BC，AB⊥BC， ∴GH∥AB， ∴， ∴H是BC的一个三等分点． 19、（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵△ADE∽△ABC，AF平分∠BAC， ∴AG：AF=DE：BC=4：7， ∵AG=2， ∴AF=3.5， ∴FG=AF-AG=1.5． 20、证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥AD， ∴∠ADE=∠DEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACED是矩形； （2）∵四边形ACED为矩形， ∴AD=CE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC， ∴CE=BC， ∵CE2=CG•CA， ∴CB2=CG•CA， 即CB：CG=CA：CB， 而∠BCG=∠ACB， ∴△CBG∽△CAB， 在△CAB和△CAE中， ， ∴△CAB≌△CAE（SAS）， ∴△CBG∽△CAE． 21、（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， 由作图轨迹可知：AD为∠CAB的角平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠BAD=∠CAD， ∴AE=ED， ∴▱AEDF为菱形； （2）解：∵AB=10，BC=6，∠C=90°， ∴， 设菱形边长为x,则AF=DF=x,BF=10-x, ∵DF∥AC， ∴△BDF∽△BCA， ∴即， 解得：， ∴菱形AEDF的周长为． 22、（1）证明：如图1，连接AC，且交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF=∠CBE=90°，AD=BC，∠FDN=∠EBM=45°，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， 在Rt△ADF与Rt△CBE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE，∠AFD=∠CEB， 在△DFN与△BEM中， ， ∴△DFN≌△BEM（ASA）， ∴DN=BM， ∵OD=OB， ∴OD-DN=OB-BM， ∴ON=OM， ∵OC=OD，AC⊥BD， ∴四边形AMCN是菱形； （2）证明：如图，由（1）知，四边形AMCN是菱形， ∴CM=CN， ∴∠CMN=∠CNM， ∵CM2=MN•NB， ∴，即，即可整理为： ∵∠CMN=∠CNM， ∴△CMN∽△BNC， ∴∠MCN=∠NBC=45°， ∵CP⊥CE， ∴∠PCN=90°-∠MCN=45°=∠CDN， ∵∠CND=∠PNC， ∴△NCD∽△NPC． 学科网（北京）股份有限公司 $