26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系课件2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过类比一次函数与一元一次方程的联系导入新课，结合知识回顾中一元二次方程根的判别式，搭建前后知识支架，帮助学生理解二者的对应关系。 其亮点在于通过探究式问题引导发现二次函数图象与x轴交点和方程根的联系，一题多解（如例1三种方法）培养数学思维，实际问题（小球飞行、炮弹高度）体现模型意识，课堂小结系统归纳提升数学语言表达。学生能深化数形结合思想，教师可利用多样化资源提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 8. 对接中考 1. 理解二次函数的图象与 x 轴的交点个数和对应的一元二次方程根的情况之间的对应关系，能利用二次函数的图象判断一元二次方程根的情况. 2. 能将二次函数问题转化为一元二次方程问题来解决，体会数形结合与转化的数学思想. 学习目标 知识回顾 一元二次方程 根的情况. Δ =b2 - 4ac > 0 时 Δ =b2 - 4ac = 0 时 Δ =b2 - 4ac < 0 时 ∆ =b2 - 4ac ≥ 0 时 方程有两个不相等的实数根. 方程有两个相等的实数根. 方程无实数根. 方程有两个实数根. 新课导入 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 一次函数 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=3的解为________． 1 3 O x y 2 y=kx+b x=2 新课讲解 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 思考 y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2； (2) y=x2−8x+16； (3) y=x2−x+1. 由此，你能说方程 x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0 根的情况吗？ 新课讲解 (1) 抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 x2+x−2=0 有两个不相等的实数根 −2，1. (2) 抛物线y=x²−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4. 当 x=4 时，函数值是 0. 由此可知，方程x2−8x+16=0 有两个相等的实数根 4. (3) 抛物线 y=x2−x+1 与 x 轴没有公共点. 由此可知，方程 x2−x+1=0 没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 通过图中的函数图象可以看出： 新课讲解 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： 1. 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. 2. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 归纳 新课讲解 例 1. 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 解：方法一 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)， ∴x=3是一元二次方程 的一个根， ∴，解得m=3， ∴解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 方法二 ∵二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴是直线x= 且与x轴的一个交点为(3，0)， ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 方法三 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)， ∴x=3是一元二次方程 的一个根. 设方程的另一个根为x₁，则 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). (-1，0) 新课讲解 求抛物线与 x 轴的交点的坐标的方法 方法一：已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； 方法二：已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； 方法三：已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. 归纳 新课讲解 例 解：令 y=x2－4x－m2+1＝ 0，则 Δ ＝(－4) 2－4× 1×(－m 2+1) =4m 2+12>0， ∴ 抛物线与 x 轴有 2 个交点． 当 x=0 时， y= －m2+1 ，若 m=± 1， 则抛物线与 y 轴交于原点，此时抛物线与坐标轴有 2 个交点； 若 m ≠ ± 1， 则抛物线与 y 轴交于点(0， －m2+1)，此时抛物线与坐标轴有 3 个交点． C 2. 抛物线 y=x2－4x－m2+1(m 是常数)与坐标轴交点的个数为( ) A. 0 B. 1 或 2 C. 2 或 3 D. 3 新课讲解 练一练 1. 二次函数y=ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，可知方程ax2＋bx＋c ＝ 0的一个根为x＝ 5，则方程的另一个根为(     ) A. x= － 1 B. x=0 C. x=1 D. x=2 A 新课讲解 练一练 2. 已知抛物线y=ax2＋bx＋c ，则当a>0， c<0时，抛物线与x轴的公共点情况是(   ) A．无交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定 C 新课讲解 练一练 3. 已知抛物线y=x2，直线y=(k+2)x-(2k-1). (1)求证：无论k为何值，该抛物线与直线恒有两个公共点； (2)设两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1，x2均为整数，求k 的值. (1)证明：由 得x2=(k+2)x-(2k-1). 整理，得x2-(k+2)x+2k-1=0. ∵Δ =[-(k+2)]2-4(2k-1)=k2-4k+8=(k-2)2+4>0， ∴无论k 为何值，该抛物线与直线恒有两个公共点. 配方成“完全平方式+正数”的形式 (2)解：由x2-(k+2)x+2k-1=0， 得x1+x2=k+2，x1x2=2k-1， 消去k，得x1x2-2(x1+x2)=-5， 即(x1-2)(x2-2)=-1. 设x1<x2，∵ x1，x2 均为整数， ∴ 解得 ∴ 1+3=k+2，解得k=2. 新课讲解 知识点2 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 3. 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2， 小球的飞行高度能否达到20 m? 如果 能，需要多长时间？ 例 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t-5t2的根的问题. 解：当  时，由函数关系 ， 列得方程即 解方程，得 这说明，当自变量  时，二次函数  的函数值为 20， 即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m. 新课讲解 例 4. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度 单位： 与飞行时间单位：的关系式为 . (1) 炮弹的飞行高度能否达到 ?如果能，需要多长时间？ (2) 炮弹的飞行高度能否达到 ?如果能，需要多长时间？ (3) 从炮弹飞出到落地，需要多长时间？ 解：(1) 能.令，整理，得 ，解得， 当炮弹飞行或 时，它的飞行高度达到 . (2) 不能.令，整理，得 ， ， 方程无解， 炮弹的飞行高度不能达到 . (3) 令，整理，得，解得 ， . 从炮弹飞出到落地，需要 . 新课讲解 练一练 解：当  时，. 当  时，， 整理得 ， 解得 （舍去）. 答：经过 10 s 汽车行驶了 140 m，行驶 180 m 需要 12 s. 1. 一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程 l (单位：m)关于行驶时间 t (单位：s) 的函数解析式是 l=9t+t2，经过 10s 汽车行驶了多远?行驶180 m 需要多长时间? 新课讲解 练一练 2. 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间？ (2)小球从飞出到落地，需要多长时间？ 解：(1)当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . ∵ , ∴方程无实数根， ∴小球的飞行高度不能达到20.5 m. (2)小球飞出和落地时的高度都为0 m， 当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . 解方程，得 . ∴小球从飞出到落地需要4s. 课堂小结 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点 b2-4ac<0 与x轴无公共点 当堂小练 1. 小兰画了一个函数的图象如图所示，则关于 的方程 的根是 ( ) A. 无解 B. C. D.， D 解：∵ 该二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为 和2， ∴ 关于的方程的根是， . 当堂小练 2. (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是_________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是_________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为_______________. 解：由题意得，方程  的根的判别式=22-4×(-1)×m=4+4m.     (3) 该抛物线与  轴的两个公共点为， 是方程的两根， . 又，， 该抛物线与轴的公共点的坐标为(，0)，(，0). (，0)，(，0) (1) 若该抛物线与  轴没有公共点，则  ，解得  . (2) 若该抛物线与  轴有公共点，则  ，解得  . 当堂小练 3. 若关于的一元二次方程 的两个根为，，则二次函数 的图象的对称轴为 ( ) B A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 当堂小练 4. 已知抛物线与 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是 ( ) D A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 解：抛物线与轴没有交点， ，解得， 抛物线的开口向上.该抛物线的顶点坐标为 . 又，， 顶点坐标为 ， ， ， ， 该抛物线的顶点在第一象限. 当堂小练 5. 如图，抛物线 与直线的两个交点分别为点， ，则关于的方程 的解为_______________. 解：关于的方程 的解即为抛物线与直线的交点的横坐标， 故关于的方程 的解为, . ， 当堂小练 6. 已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，那么关于的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 A 解：由题意，知二次函数的解析式为 ， ，即， 解得或 ， 故该方程有两个不相等的实数根． 当堂小练 7. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+x－m=0． (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2) 二次函数 y=x 2+x－m 的部分图象如图所示，求一元二次方程 x 2+x－m=0 的解． 解：(1) ∵一元二次方程x2＋x－m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即1＋4m＞0.解得. (2) ∵二次函数y＝x2＋x－m图象的对称轴为直线x＝， ∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x＝对称． 由题图可知抛物线与x轴的一个交点为(1，0)， ∴另一个交点为(－2，0)． ∴一元二次方程x2＋x－m＝0的解为x1＝1，x2＝－2. 当堂小练 8. 已知二次函数y=x2+2(a+ 1)x+3a2-2a+3，a 为常数. (1) 若该二次函数的图象与直线y=2a2 有两个交点，求a 的取值范围； (2) 若该二次函数的图象与x 轴有交点，求a 的值； (3) 求证：该二次函数的图象不经过原点. 解：(1) ∵二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2－2a+3中，1>0， ∴二次函数的图象开口向上. ∵二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2. ∴， 即2a2－4a+2<2a2，解得. (2) ∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ=4(a+1)2－4×1×(3a2－2a+3) =－8a2+16a－8=－8(a－1)2≥0. ∴-8(a－1)2=0，解得a=1. (3) 当x=0时，y=3a2－2a+3=3(a－)2+>0， ∴二次函数的图象不经过原点. 对接中考 1. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度.若铅球掷出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为___ . 8 解：由题意可知，将代入 ， 得，解得. 令，解得 ，， ， . 对接中考 2. 已知二次函数， 为常数. (1) 若该二次函数的图象与直线有两个交点，求 的取值范围； (2) 若该二次函数的图象与轴有交点，求 的值； (3) 求证：该二次函数的图象不经过原点. 解：(1) ∵ 二次函数的图象与直线有两个交点， ∴ 关于 的方程 有两个不相等的实数根， 整理，得 ， ∴ ，整理，得，解得 . (2) ∵ 二次函数的图象与 轴有交点， ∴ ， ∴ . 又∵ ，∴ ，解得 . (3) 证明：当时， ， ∵ ，∴ ，∴ 二次函数的图象不经过原点. 拓展与延伸 1. 已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 的值为_ ______. 解：当时， ，与坐标轴只有一个交点，不符合题意． 当时， 函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点， 若一个交点是原点，一个交点在轴上，则 ， ，解得. 若与， 轴各一个交点，则，解得（舍去）或. 综上所述， 的值为1或 ． 1或 拓展与延伸 【变式】把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么 应满足的条件是_______. 解： ， 则平移后的抛物线的解析式为 平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， 由平移后的解析式可知，平移后的抛物线与轴没有交点， ，解得 . 拓展与延伸 解：(1) ∵抛物线y=ax2+x+c与y轴交于点C(0,3)，∴c=3. 设方程ax2+x+3=0的两根分别为x1，x2， 则x21+x22=40，即(x1+x2)22x1x2=()22×=40， 解得，. 经检验，，是原分式方程的根. ∵抛物线的顶点在x轴上方，且与x轴有两个交点， ∴抛物线的开口向下. ∴. ∴抛物线的解析式为. (2) 不存在.理由如下： 设点P的坐标为(m，m2+m+3). 当S△PAB=2S△CAB时，m2+m+3=6， 即m24m+12=0. ∵Δ=164×1×12=32<0， ∴方程无实数根. ∴点P不存在. 2. 已知抛物线y=ax2+x+c 的顶点在x 轴上方，与x 轴交于A，B两点，与y 轴交于点 C(0，3)，且方程ax2+x+c=0 的两根的平方和等于40. (1) 求此抛物线的解析式. (2) 在x轴上方的抛物线上是否存在一点P， 使S△ PAB=2S△CAB ？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由. $