第5章 5.1 平面向量的概念及线性运算（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义聚焦平面向量的概念及线性运算，覆盖向量定义、线性运算（加减、数乘）、共线定理等高考核心考点，按“概念梳理-运算法则-定理应用”逻辑架构知识，通过表格对比、重要结论归纳、真题辨析等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破向量几何意义理解与符号运算转化难点。 讲义突出分层教学与核心素养培养，如线性运算采用“一题多变”设计，通过中点、重心等情境变式训练数学思维，共线定理结合三点共线参数问题培养数学语言表达能力。设置基础判断、典例精讲、能力提升三级练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

5．1　平面向量的概念及线性运算 【课标要求】 1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义． 3．掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义． [对应学生用书P125] 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有__大小__又有__方向__的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的__大小__ 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作__0__ 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向__相同__或__相反__的非零向量 0与任意向量__平行__(或共线) 相等向量 长度__相等__且方向__相同__的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度__相等__且方向__相反__的向量 0的相反向量为0 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝__b＋a__； 结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__ 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝__|λ||a|__，当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__； 当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__； 当λ＝0时，λa＝__0__ 设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝__(λμ)a__； (λ＋μ)a＝__λa＋μa__； λ(a＋b)＝__λa＋λb__ 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__． 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝. 2．若G为△ABC的重心，则有 (1)＋＋＝0；(2)＝. 3．＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(×) (2)单位向量都相等．(×) (3)若a＝b，b＝c，则a＝c.(√) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√) 2．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　) A．　　　　　　 B． C．　　　　　　 D． 解析　A、B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，D选项与方向相同，长度相等． 答案　D 3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件，故选A. 答案　A 4．如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，P为边BC的中点，则＝____________(用a与b表示). 解析　＝＋＝＋＝a＋b. 答案　a＋b 5．(人A必修二P24T22改编)如图，点O是▱ABCD外一点，用，，表示＝________． 解析　由于＝＋，因此只需将用，表示， 而＝＝－，故＝＋＝＋(－)＝－＋. 答案　－＋ [对应学生用书P126] 考点一　平面向量的基本概念 基础考点　自练自悟 1．给出下列命题，其中真命题为(　　) A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 B．零向量的长度等于0 C．若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b D．λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 解析　对于A，只有平面上所有单位向量的起点相同时，其终点才会在同一个圆上，故A 为假命题；对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B为真命题；对于C，因为两个向量不能比较大小，故C 为假命题；对于D，λ，μ为实数，若λa＝μb，则a 与b不一定共线，如λ＝μ＝0时，a与b可以是任意向量，故D为假命题． 答案　B 2．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析　根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误，与平行，但方向相反，故不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以＝.故选D. 答案　D 3．在平面四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________． 解析　因为＝，则AB＝DC，且AB∥DC，所以平面四边形ABCD 为平行四边形．又因为||＝||，即AC＝BD，所以四边形ABCD 为矩形． 答案　矩形 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点和终点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)已知非零向量a，则是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量． 考点二　平面向量的线性运算 多维探究　发散思维 角度1　向量的线性运算(一题多变) 在△ABC中，A＝，||＝1，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为____________． [解析]　如图，因为E为线段CD的中点，所以＝＋.因为D为线段AB的中点，所以＝.所以＝＋＝a＋b. [答案]　a＋b 1．(变条件)若本例条件改为：在△ABC中，＝，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为____________． 解析　因为在△ABC中，＝，所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b. 答案　a＋b 2．(变条件)若本例条件改为：在△ABC中，点E为△ABC的重心，若设＝a，＝b，则可用a，b表示为____________． 解析　由于△ABC的重心E为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，设D为BC的中点，所以＝＝×＝a＋b. 答案　a＋b 平面向量的线性运算的求解策略 角度2　根据向量线性运算求参数 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝＋，＝λ，则λ＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．　　　　　　　 D． [解析]　＝＋＝＋＋＝－－＋＋＝－＋. ＝＋＋＋＝－＋＝＝，故＝，所以λ＝.故选C. [答案]　C 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)求得相关参数的值． 1．如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则＝(　　) A．－ B．2－2 C．－ D．2－2 解析　连接CD(图略)，∵C，D是半圆弧的三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此＝2＝2＝2－2. 答案　D 2．在平行四边形ABCD中，＝3，若AE交BD于点M，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 解析　∵＝3，∴E为线段DC上靠近点C的四等分点．显然△ABM∽△EDM，即＝＝，∴＝＝(＋)＝＝＋.故选B. 答案　B 考点三　共线定理及其应用 重难考点　师生共研 (1)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c与d共线，则实数x的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ (2)已知点M为△ABC中BC边上的中点，点N满足＝，过点N的直线与AB，AC分别交于P，Q两点，且设＝x，＝y，则＋的值为(　　) A．5 B．6 C．9 D．10 [解析]　(1)因为c与d共线，所以存在k∈R，使得d＝kc， 即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb. 因为向量a，b不共线，所以 整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0， 解得x＝－或x＝1. (2)根据题意，得＝ ＝×＝ ＝ ＝＋. ∵P，N，Q三点共线， ∴＋＝1，即＋＝10. [答案]　(1)C　(2)D 3．若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于(　　) A．－1 B．1 C． D．2 解析　由题意知，＝－＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得＝λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，因为向量a，b不共线， ∴解得λ＝1，k＝1. 答案　B 4．在△ABC中，D是直线AB上的点．若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　方法一　易知＝－，又2＝＋λ，所以2＝＋λ，得＝＋. 因为A，B，D三点共线，所以＋＝1， 所以λ＝－1. 由2＝－，得2＝，即AB＝AD， 如图，可知△ACB和△ACD同高，所以＝＝.故选D. 方法二　因为A，B，D三点共线，所以存在唯一非零实数μ，使得＝μ.易知＝－， 所以＝μ＝μ－μ. 又由已知得＝＋， 所以μ＝，－μ＝，所以λ＝－1.则2＝－，可得2＝，AB＝AD.又△ACB和△ACD同高，所以＝＝.故选D. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $