专项01 配方法 培优练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以完全平方公式为基础，通过“定义-步骤-应用”三阶体系构建配方法知识网络，提炼“四步口诀”实现解题标准化，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识卡片|2个典例|定义+四步步骤（移项/配方/整理）+关键口诀+适用场景（解方程/求最值/因式分解）|从公式原理到操作步骤，再到跨场景应用，形成“原理-技能-迁移”递进链条| |巩固练习|18题（选择5/填空4/解答9）|含解题步骤示范与错误分析|覆盖基础操作到综合应用（几何最值/代数推理），体现模型意识与应用意识|

第一部分：配方法知识卡片 一、i 配方法的定义 配方法是一种代数恒等变形技巧，核心是利用完全平方公式，将二次多项式（二次 三项式、一元二次方程、二次函数解析式等)通过添项、拆项、移项等操作，化为完全 平方式与常数的和/差形式。 核心依据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 核心思想：降次、标准化，将复杂的二次式转化为可直接开方、可判断最值的标准 形式，是解一元二次方程、求二次函数最值、因式分解的基础方法。 通用步骤（针对二次项系数为1的整式）：一移、二配、三整理；二次项系数不为 1时，先提取二次项系数，再配方。 二、典型例题1：用配方法解一元二次方程 【例题1】用配方法解方程x2-6x+5=0 解题步骤： 1.移项：将常数项移到方程右侧 x2-6x=-5 2.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-6，一半为-3，平方 为9) x2-6x+9=-5+9 3.化为完全平方式：左侧凑成完全平方，合并右侧常数 (x-3)2=4 4.直接开平方求解 x-3=士2 当x-3=2时，x1=5 当x-3=-2时，x2=1 最终解：x1=5,x2=1 试卷第1页，共8页 三、典型例题2：配方法应用一求二次式最值 【例题2】利用配方法求二次代数式2x2+8x-1的最值，并说明取得最值时x的取值 解题步骤： 1.提取二次项系数：将二次项、一次项提取系数2，常数项单独放置 2x2+8x-1=2(x2+4x)-1 2.括号内配方：括号内一次项系数为4，一半为2，平方为4，凑完全平方 2x2+4x+4-4)-1 3.去括号、整理式子 2[(x+2)2-4-1=2(x+2)2-8-1=2(x+2)2-9 4.分析最值： 由平方的非负性可知：(x+2)2≥0恒成立 又因二次项系数2>0，式子开口向上，存在最小值，无最大值 当(x+2)2=0,即x=-2时，代数式取得最小值 最小值为：2×0-9=-9 最终结论：当x=-2时，代数式2x2+8x-1有最小值-9，无最大值。 四、配方法核心总结 ·适用场景：解一元二次方程、求二次函数二次代数式最值、因式分解、化简根式 ·关键口诀：二次系数先化1，移项之后再配方，一次系数半平方，左右同加保相等 ·最值规律：二次项系数为正，有最小值；二次项系数为负，有最大值，最值均在完 全平方式为0时取得 试卷第2页，共8页 第二部分：配方法巩固练习 一、单选题 1.用配方法解方程x2+4x+1=0,则配方正确的是() A.(x-2)2=1B.(x+2)2=1 C.(x+2)2=3 D.(x+2)2=2 2.将一元二次方程x2+4x=9配方，得到方程x2+4x+▲=9+▲，其中“▲”表示的数为 () A.16 B.4 C.2 D.1 3.将一元二次方程x2+6x-1=0转化为(x+m)2=n的形式，则m+n的值为() A.8 B.11 C.13 D.16 4.小亮用配方法解方程2x2-8x+6=0的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得2x2-8x=-6第一步 二次项系数化为1，得x2-4x=①第二步 配方，得x2-4x+②=1第三步 ①②处应分别填入的数是() A.3,22 B.-3,22 C.3,42 D.-3,42 5.用配方法解方程x2-6x+2=0时，配方结果正确的是() A.(x-3)2=7B.(x-32=4 C.(x-6)2=10 D.(x-6)2=34 二、填空题 6.用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则2a+b的值 为 8.用配方法解方程x-4x-3=0时，若将方程变形为(x-2)}=m,则m=一· 9.x2+10x+ =(x+」 )2. 10.用配方法解方程x2+x-1=0,配方后所得方程是 三、解答题 11.用配方法解方程： (1)x2-4x-3=0. (2)x2-2x-5=0. 试卷第3页，共8页 12.若a,b,c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-6a-8b-8c+41=0,试判断△ABC的形 状，并说明理由. 13.己知M=2x2-2x+3,N=4x2-3x+4,，请比较M和N的大小. 14.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例：已知 x可取任何实数，试求二次三项式2x2-12x+14的值的范围. 解：2x2-12x+14=2(x2-6x)+14=2(x2-6x+32-32)+14 =2(x-3}-9+14=2(x-3}2-18+14=2(x-3}-4. ,无论x取何实数，总有(x-3≥0， .2(x-3)2-4≥-4. 即无论x取何实数，2x2-12x+14的值总是不小于-4的实数. 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式-3x2+12x+11的最值情况. 试卷第4页，共8页 15.【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性 增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法.配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问 题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量， 应用一 应用二 用配方法求代数式2x2+12x+22的最小值， 用配方法分解因式：a2+6a+8. 解：2x2+12x+22 解：a2+6a+8 =2(x2+6x+9+2） =a2+6a+9-1 =(a+3)2-1 =2(x+3)2+4 =(a+3-1)(a+3+1) :(x+3)2≥0 =(a+2)(a+4). .2(x+3)2+4≥4 :.2x2+12x+22的最小值为4 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：a2-4a-12=」 (2)若M=2x2-8x,运用配方法可求出M的最小值为 (3)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D为AB边上一点（不与点A、点 B重合)，连接CD,以CD为边在CD上方构造正方形CDFE,连接BF,则ABDF面积的最 大值为 E 试卷第5页，共8页 16.综合与实践 【项目主题】配方法的应用. 【项目准备】 D B (1)利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)+n的形式，我们把这样的 变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠O)的配方法.配方法是一种重要的数学方法，常用于求 代数式的最值.例如：求代数式x2+4x-1的最小值，x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5 可知，当x=-2时，x2+4x-1有最小值，最小值是 配方法也可以对一些多 项式进行因式分解，例如：分解因式x2+2x-3,原式 =x2+2x+1-1-3= (2)【项目解决】当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2-4a-6b+13=0时，直 接写出c的取值范围， (3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=8,求四边形ABCD面积的最大值. 试卷第6页，共8页 17.配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为 完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负 数的意义来解决一些问题.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题. 例：求代数式y2+4y+6的最小值. 解：y2+4y+6=y2+4y+4+2=(y+2)+2. 因为(y+2)≥0，所以(y+2)+2≥2，所以y2+4y+6的最小值是2. (1)代数式x2-4x+3的最小值为. (2)关于x的二次多项式x2-4ar+2a2+a-6(a为常数)有最小值为-9，求常数a的值. ③已知实数x,y满足-+x+y-3=0,求x-2y的最大值 试卷第7页，共8页 18.我们知道：x2-6x=x2-6x+9-9=(-3)2-9: -x2+10x=-（x2-10x+25+25=(x-5)2+25,这一种方法称为配方法. 由此可得：P=x2-6x=(x-3)2-9,Q=-x2+10x=-(x-5)2+25, (x-3)2≥0， 当x=3时，P有最小值为-9： -(x-5)2≤0， .当x=5时，9有最大值为25. 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：-a2+12a= (2)应用：如图，已知线段AB=6,M是AB上的一个动点，设AM=x,以AM为一边作正方 形AMND,再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN.问：当点M在AB上运动时，长方 形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值：否则请说明理由. D N 6 C 个 B 试卷第8页，共8页 第一部分：配方法知识卡片 一、配方法的定义 配方法是一种代数恒等变形技巧，核心是利用完全平方公式，将二次多项式（二次三项式、一元二次方程、二次函数解析式等）通过添项、拆项、移项等操作，化为完全平方式与常数的和/差形式。 核心依据完全平方公式： 核心思想：降次、标准化，将复杂的二次式转化为可直接开方、可判断最值的标准形式，是解一元二次方程、求二次函数最值、因式分解的基础方法。 通用步骤（针对二次项系数为1的整式）：一移、二配、三整理；二次项系数不为1时，先提取二次项系数，再配方。 二、典型例题1：用配方法解一元二次方程 【例题1】用配方法解方程 解题步骤： 1. 移项：将常数项移到方程右侧 2. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-6，一半为-3，平方为9） 3. 化为完全平方式：左侧凑成完全平方，合并右侧常数 4. 直接开平方求解 当时， 当时， 最终解： 三、典型例题2：配方法应用——求二次式最值 【例题2】利用配方法求二次代数式 的最值，并说明取得最值时的取值 解题步骤： 1. 提取二次项系数：将二次项、一次项提取系数2，常数项单独放置 2. 括号内配方：括号内一次项系数为4，一半为2，平方为4，凑完全平方 3. 去括号、整理式子 4. 分析最值： 由平方的非负性可知：恒成立 又因二次项系数，式子开口向上，存在最小值，无最大值 当，即时，代数式取得最小值 最小值为： 最终结论：当时，代数式有最小值-9，无最大值。 四、配方法核心总结 · 适用场景：解一元二次方程、求二次函数/二次代数式最值、因式分解、化简根式 · 关键口诀：二次系数先化1，移项之后再配方，一次系数半平方，左右同加保相等 · 最值规律：二次项系数为正，有最小值；二次项系数为负，有最大值，最值均在完全平方式为0时取得 第二部分：配方法巩固练习 一、单选题 1．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 4．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 8．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 9．______________________． 10．用配方法解方程，配方后所得方程是______． 三、解答题 11．用配方法解方程： (1)． (2)． 12．若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 13．已知，，请比较和的大小． 14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 15．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 16．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 17．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 18．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二部分：配方法巩固练习 一、单选题 1．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 2．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 4．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 二、填空题 6．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 7．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 8．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 9．______________________． 【答案】 25 5 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握添加的常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．根据完全平方公式求解． 【详解】解：． 故答案为：25，5． 10．用配方法解方程，配方后所得方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，再在两边同时加减一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 12．若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】略 13．已知，，请比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，把与代入中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出与的大小．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即． 14．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 15．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 16．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 17．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 18．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【答案】(1)， (2)长方形的面积存在最大值，最大值为9， 理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9． 【分析】本题主要考查配方法的应用． （1）根据题干中所给的配方法可进行求解； （2）由题意可得长方形的面积为，然后根据配方法可进行求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2） 略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $