14.2三角形全等的判定(第五课时 HL)（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本同步练以HL判定为核心，通过A、B、C三级分层及中考链接，构建从基础应用到综合创新的知识巩固路径，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|HL判定基础应用（判定、添条件、求角度/线段、证明）|选择填空结合简单证明，夯实概念理解| |B组|综合应用与多知识点结合（作图依据、中档证明、计算）|融入作图分析与跨知识点综合题，提升推理能力| |C组|复杂情境与数学思想（情景问题、动点、辅助线）|设置情景问题与动点探究，发展几何直观与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 14.2三角形全等的判定（第五课时HL) 参考答案 A组 巩固过关 颗型n1 利用HL判定全等 1.B 2.c 颗型02 添加条件判定全等 3.D 4.AD=BC HL AC=BD HL ∠CAB=∠DBA AAS ∠DAB=∠CBA AAS 题型03 利用HL判定全等求角的度数 5.40 6.63° 题型04 利用HL判定全等求线段长度 7. 2 8.10 题型05 利用HL判定证明全等 9证明：.AE=BF, 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE+EF=BF+EF,即AF=BE, 在Rt△ACF和Rt△BDE中， 6, .'.Rt△ACF≌Rt△BDE HL, ∴.∠AFC=∠BED 10.证明：.AE⊥BD,CF⊥BD, ∴.∠AEB=∠CFD=90°， 又，'AB=CD,AE=CF, ∴.Rt△AEB≌Rt△CFD|HL, ∴.∠ABE=∠CDF, ∴.ABCD 11.(1)证明：，BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠ADB=∠AEC=90°. .∠BAD=∠CAE,AB=AC, ∴.△ABD≌△ACEAAS, ∴.AD=AE (2)证明：在Rt△ADF和Rt△AEF中， b, :.Rt△ADF≌Rt△AEF HL, ∴.∠EAF=∠DAF, .AF平分∠BAC. 12. (1)证明：由题意，得∠ABE=∠CBD=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBD中， .心 ∴.Rt△ABE≌Rt△CBD|HL. (2)解：，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°， .∴.∠BAC=∠BCA=45°」 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBD, .∴.∠AEB=∠BDC=75°」 .:∠AEB=∠ACE+∠CAE,∠ACE=45°， 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠CAE=∠AEB-∠ACB=75°-45°=30° B组 能力进阶 1.A 2.A 3.30°/30度 4.7 5.(1)证明：，∠DEB=90°， ∴.∠BEF=90°， .Rt△ABC≌Rt△DBE, .'BC=BE, 在Rt△BCF和Rt△BEF中， 乙， ∴.Rt△BCF≌Rt△BEF HL: (2)解：.Rt△ABC≌Rt△DBE, .'DE=AC, .DE=4, .AC=4, .'Rt△BCF≌Rt△BEF, ∴.CF=EF, .EF=1, ∴.CF=1, .∴.AF=AC-CF=4-1=3 6.(1)证明：如图，作DN LAC于点N, B C ME ,CD平分∠ACE,DM⊥BE,∴.DN=DM, 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△DCN和Rt△DCM中， b, ∴.Rt△DCN≌Rt△DCM(HL), ..CN=CM, 在Rt△ADN和Rt△BDM中， 6, ∴.Rt△ADN≌Rt△BDM(HL),∴.AN=BM, .'AC=AN+CN,..AC=BM+CM; (2).'AN=AC-CN,BM=BC+CM,.'.AC-CN=BC+CM, ∴.AC-CM=BC+CM,∴.2CM=AC-BC, ∴.‘AC=2,BC=1,∴.CM=0.5」 7.(1)证明：，CF⊥BD, ∴.∠CFB=∠CFD=90°， 在Rt△CFD和Rt△CFB中， b, ∴，Rt△CFD≌Rt△CFBHL, :BF=DF,即F为BD的中点； (2)证明：，∠BFC=∠CAB=90°，∠CEA=∠BEF, ∴.∠ABD=∠ACE,∠BAD=180°-∠CAB=90°， 又，AB=AC,∠CAE=∠BAD=90°， ∴.△CAE≌△BAD ASA, .CE=BD. 由(1)知：F为BD的中点， ∴.CE=BD=2BF C组 思维拔高 1.0.3m 2. 45° 3.12 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 717 4:338 5.解：设BE=x, ,AD是∠BAC角平分线，， ∴.∠DAC=∠DAE, .DE⊥BA, .∠DEA=∠DEB=90°， .∠C=90° .∴.∠C=∠DEA=90°， 在△ACD和△AED中， b, .∴.△ACD≌△AED AAS, ∴.AC=AE,CD=DE 在Rt△FCD和Rt△BED中， b, ∴.△FCD≌△BED|HL, ∴.CF=BE=X, AB=7.4,AF=1.4, .1.4+x=7.4-X,解得x=3 即BE=3. 拓展 链接中考 1.C 2.(1)二 (2) 证明：：∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠BDC=∠CEB=90°， 在△DOB和△EOC中， 6, ∴.△DOB≈△EOC(AAS), 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OD=OE, 在Rt△ADO和Rt△AEO中， b, ∴.Rt△ADO≈Rt△AEO(HL), .∠1=∠2. 616 分层作业 14.2三角形全等的判定（第五课时 HL） 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用HL判定全等 题型02添加条件判定全等 题型03 利用HL判定全等求角的度数 题型04 利用HL判定全等求线段长度 题型05 利用HL判定证明全等 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )利用HL判定全等 1. 如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】用HL证全等（HL） 【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 2.如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用HL证全等（HL） 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. ( 题型 0 2 )添加条件判定全等 3.如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用HL证全等（HL） 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 4.已知∠ACB ＝∠ADB＝90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？判定全等的理由是什么？ （1）______________( ) （2）______________( ) （3）______________( ) （4）_____________( ) 【答案】 AD＝BC HL AC＝BD HL ∠CAB＝∠DBA AAS ∠DAB＝∠CBA AAS 【难度】0.65 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【解析】略 ( 题型 0 3 )利用HL判定全等求角的度数 5.如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【难度】0.74 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 6.如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、．若时，则的度数为_____________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用HL证全等（HL）、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明；由可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴和， ∴； ∵， ∴， ∴． ( 题型 0 4 )利用HL判定全等求线段长度 7.如图，点在同一条直线上，，，，，若，，则的长为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴；得， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 8.如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法证明两三角形全等是解题的关键． 通过已知条件利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后通过线段的和差关系得到结论． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵，两所学校到报亭的距离相等， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． ( 题型 0 5 )利用HL判定证明全等 9.如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【难度】0.74 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 10.如图，于E，于F，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又，， ， ， ． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据题意证明，得到，即可得证． 【详解】略 11.如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； (2)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【难度】0.62 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据“”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据“”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 12.如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：由题意，得， 在和中， ∵ ． (2) 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再由三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， ， 由（1）知， ． ， ． 1.在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【难度】0.64 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、尺规作图——作三角形、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 2.如图，RtRt，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用HL证全等（HL）、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形可知，进一步证明，再利用性质求解即可． 【详解】解： RtRt，， ， ， ， ， 故选：A． 3.如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为___________． 【答案】/度 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 4.如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为_________    【答案】7 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】运用方法判定，得，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 5.如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【难度】0.52 【知识点】用HL证全等（HL）、全等三角形的性质 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6.已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，  CD平分∠ACE， DB=DA,DM⊥BE于M. （1）求证：AC=BM+CM； （2）若AC=2，BC=1，求CM的长. 【答案】 （1）证明：如图，作DN⊥AC于点N， ∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，∴DN=DM， 在Rt△DCN和Rt△DCM中， ， ∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL）， ∴CN=CM， 在Rt△ADN和Rt△BDM中， ， ∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM， ∵AC=AN+CN，∴AC=BM+CM； （2）CM=0.5 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）作DN⊥AC于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN=CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，可得AN=BM，即可解题；（2）利用（1）中的结论变形得出答案即可． 【详解】（1）略． （2）∵AN=AC-CN,  BM=BC+CM,∴AC-CN=BC+CM， ∴AC-CM=BC+CM，∴2CM=AC-BC, ∵AC=2，BC=1，∴CM=0.5. 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN=CM，AN=BM是解题的关键． 7.如图，在中，，，点在的延长线上，，连接，过点作分别交，于点，．试说明： (1)为的中点； (2) 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点； (2)证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知：为的中点， ∴. 【难度】0.45 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 1．【情景问题】如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可知，，，，通过定理可证明，得出，最后通过线段的和差求出的长即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，． 在和中， ， ． ， ， 即点到地面的距离为． 故答案为：． 2．【综合应用】如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为__________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．【添加辅助线】如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=10，BC=8，AC=6则△DEB的周长为______．    【答案】12． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】利用“HL”可证得Rt△ACD≌Rt△AED，推出AC=AE=6，可得BE=10-6=4，△BDE的周长的另一部分BD+DE=BD+CD=BC=8，答案可得． 【详解】连接AD ∵DE⊥AB，∠C=90°， ∴∠C=∠DEA=90°， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC=AE， ∵BC=8，AC=6，AB=10， ∴BE=10-6=4， ∴△BDE的周长=BE+DE+BD=BE+CD+BD= BE+BC=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 4．【动点问题】如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【难度】0.25 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 5．【方程思想】如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】设，先证明得到，，再证明得到，进而列方程求得x的值即可． 【详解】解：设, 是角平分线，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ∴， ∵，， ∴，解得 即． 1．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2) 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【难度】0.94 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 14.2三角形全等的判定（第五课时HL) 目录 A组巩固过关 题型01利用HL判定全等 题型02添加条件判定全等 题型03利用HL判定全等求角的度数 题型04利用HL判定全等求线段长度 题型05利用HL判定证明全等 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 利用HL判定全等 1.如图，两个直角三角形全等的是() 2 309 30°y 4 ① ② ③ ④ A.③④ B.①③ C.①② D.①④ 2.如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度BC与右边滑梯的水平长度DE相等，两个滑梯都是垂直 地面放置的.能直接判断Rt△ABC和Rt△FED全等的依据是() 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E A. SSS B.SAS C.HL D.AAS 题型02 添加条件判定全等 3.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC,CD⊥AC,要根据HL证明△ABC≌△CDA,则需要添加的 条件是() A D C A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD=CB 4.己知∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD,还需一个什么条件？判定全等的理由是什么？ (1) (2) (3) (4) D B 题型03 利用HL判定全等求角的度数 5.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，BC=DC,连接AC,∠BCA=50°，则∠CAD的度数 为 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6.如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为F、 E,AB=CD.若∠A=27°时，则∠C的度数为 B 型04 利用HL判定全等求线段长度 7.如图，点A,C,D,E在同一条直线上，FD⊥AE,BC⊥AE,AC=DE,AB=EF,若AE=11, CD=2,则AC的长为 8.如图，公路上A,B两站相距25km,C,D为两所学校，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知在 公路AB上有一座报亭H,且C,D两所学校到报亭H的距离相等，DA=BH=15km,则BC= km C H 题型05 利用HL判定证明全等 9.如图，点A,E,F,B在同一条直线上，AE=BF,AC=BD,∠C=∠D=90°.求证： ∠AFC=∠BED 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 10.如图，AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,AB=CD,AE=CF.求证：AB‖CD D B 11.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD,CE相交于E.求证： D B (1)AD=AE: (2)AF平分∠BAC. 4/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，D为AB延长线上的一点，点E在边BC上，连接 AE,DE,DC,其中AE=CD B (1)求证：△ABE≌△CBD (2)若∠BDC=75°，求∠CAE的度数. B组 能力进阶 1在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图①)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△ABC, 使得Rt△ABC≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分 别如图②所示 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NL N 0 A B M C' M B M 第一步 第二步 第一步 第二步 小赵同学 小刘同学 图① 图② 对这两种画法的描述正确的是（) A.小赵同学作图判定Rt△ABC≌Rt△ABC的依据是HL B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段BC C.小刘同学作图判定Rt△ABC≌Rt△ABC的依据是ASA D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段AC 2.如图，Rt△ABC≌Rt△DBE,若∠A=30°，则∠ABF的度数为() E D A.30° B.45° c.60° D.90° 3.如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，已知AE=BD;若∠CAB=60°，则 ∠CBE的度数为 D B 4.如图，MN‖PQ,AB⊥PQ,点A,D和B,C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB的值为 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MA D W E P B 5.如图，已知Rt△ABC≌Rt△DBE,其中∠C=∠DEB=90°，DE的延长线与AC相交于点F,连接 BF. D E C A (1)求证：△BCF≌△BEF; (2)若EF=1,DE=4,求AF的长. 6.己知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE,DB=DA,DM⊥BE于M. (1)求证：AC=BM+CM; (2)若AC=2,BC=1,求CM的长 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在CA的延长线上，CD=CB,连接BD,过点C 作CF⊥BD分别交AB,BD于点E,F.试说明： (1)F为BD的中点： (2)CE=2 BF C组 思维拔高 1.【情景问题】如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线AB上、若 AB=2.5m,在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点C和点C,点C到AB的距离CD为 2.2m,点C到AB的距离为CF,CF=AD,则点C到地面的距离为 D B 地面 2.【综合应用】如图，点E,F分别在△ABC的边AC上，AE=EF,BE⊥AC,过点F作FD⊥BC, 垂足为D,且EF=FD.若∠A=75°，则∠ABC的度数为 A 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.【添加辅助线】如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E,若DE=CD,AB=10, BC=8,AC=6则△DEB的周长为_ 4.【动点间题】如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC=5cm,过点B作BM⊥AB.动点E 从A点出发以3Cm/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而运动，始终保持 ED=CB.若点E的运动时间为t秒(t>0),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC全等时，t的值 为 秒 M D E B 市 5.【方程思想】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,过D作 DE⊥BA于点E,点F在AC上，且BD=DF.若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长. 拓展 链接中考 1.(2023河北中考真题)在△ABC和△ABC中， ∠B=∠B=30°，AB=AB=6,AC=AC=4.已知∠C=n°，则∠C=() 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.n c.n或180°-n°D.30°或150° 2.(2023江苏南通.中考真题)如图，点D,E分别在AB,AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE,CD相 交于点O,OB=OC. 求证：∠1=∠2. 小虎同学的证明过程如下： 证明：，∠ADC=∠AEB=90, ∴.∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. ∠DOB=∠EOC, .∠B=∠C.第一步 又OA=OA,OB=OC ∴.△ABO2△ACO第二步 “.∠1=∠2第三步 D (1)小虎同学的证明过程中，第」 步出现错误： (2)请写出正确的证明过程。 10/10