32.1正弦、余弦与正切（第3课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“正弦、余弦与正切”第3课时，分层设计清晰，从基础概念应用到综合几何情境，结合中考真题，实现知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|已知角度求函数值、已知函数值求角度|选择填空为主，巩固概念，培养运算能力| |综合层|结合几何图形（菱形、圆、旋转）求函数值|图形与三角函数结合，发展几何直观与推理意识| |拓展层|特殊角三角函数计算、中考真题|综合计算与实际情境，提升应用意识与应试能力|

分层作业 32.1正弦、余弦与正切（第3课时） 目 录 1 已知角度求三角函数值 1 已知三角函数值求角度 4 利用特殊锐角的三角函数值进行计算 6 8 11 13 已知角度求三角函数值题型01 1．实数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 是无理数，因此是无理数； 是无理数，因此是无理数； ，1是整数，属于有理数； ，3是整数，属于有理数； ∴有理数共有4个，故选C． 2．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴点关于轴对称的点的坐标为. 3．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，，且根据作图可得平分， ， ． 4．如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵，弦， ∴， 由圆周角定理得：， ∴. 5．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，．则菱形的面积是（     ） A． B． C．36 D．24 【答案】B 【详解】解：E、F分别是、的中点，， ， 菱形， ， ， 过点A作于点G， ， 故菱形的面积是； 6．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：，高交于点F， ，， ，， ，， , 故； 7．如图，在中，，根据作图痕迹可得的长为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， 由作图知，平分， ∴， ∴， ∴． 8．如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 已知三角函数值求角度题型02 9．（2024-2025·九年级上·陕西西安·月考）在中，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，，以为直径的交于点E，与相切于点D，连接．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ， ， ， 以为直径的交于点E，与相切于点D， ， ， . 11．如图，在中，，，，将绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线，则边扫过的面积（即阴影部分面积）为（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ∴， 绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线， ，，，， 12．在中，，是锐角，若，则的大小是_______． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， ∴， ， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．如图，中，，点A坐标为，B为x轴上的点，则______． 【答案】 【详解】解：过点A作于点D， 点A坐标为， 故， ， ， ， ， ， 解得． 利用特殊锐角的三角函数值进行计算题型03 14．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的相反数为． 15．（2025-2026·九年级上·河北沧州·期末）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 16．（2024-2025·九年级上·河北保定·期中）的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 故选：A． 17．（2025·四川泸州·中考）计算：． 【详解】解： ． 18．（2025·黑龙江龙东地区·中考）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ∵ ∴原式． 1．在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则旋转2026次点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：过B作轴于D， ∵，， ∴, ∴, ∴，即， ∵菱形， ∴， ∴, ∵把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴菱形每旋转6次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转2026次点的坐标的坐标与点的坐标相同； 根据题意作图如下：可以发现点和点B关于y轴对称， ∵， ∴，即， ∴旋转2026次点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，直角三角板摆放如图所示，，直角顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上．若点坐标为，则的值是（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ∴， 已知，则，， ， 解得：，， ． 在上， ． 3．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：A． 4．（2022·湖南湘西·中考）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA b2＝a2＋c2﹣2accosB c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得， BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA ＝32＋42﹣2×3×4cos60° ＝13， ∴BC＝， 故答案为：． 5．尺规作图与证明． 如图，在中： (1)请用尺规作图法，作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，点到边的距离为3，，求直角边的长． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：过点作，如图所示： 由点到边的距离为3，可知， 由角平分线的性质得， ∵平分，， ∴，， 在中，，即，解得， 在中，，则，即，解得． 6．（2024-2025·九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 【答案】或/或 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ． ①当点在点下方时，， , ②当点在点上方时，， , 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 2．如图，在平行四边形中，，，对角线，点、在直线上（点更靠近点），且，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， 过点作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴，求的最小值，即求最小值， ∴点沿着方向平移2个单位得到，交于点,连接，四边形为平行四边形，如图， ∴，，，， 过点作，过作交延长线于点，交于点，所求最小值,即为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在 中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， ∴最小值为． 1．（2025·广东·中考）计算的结果是_____． 【答案】0 【详解】解： ， 故答案为：0． 2．（2025·山东滨州·中考）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2022·山东日照·中考）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B． 4．（2023·浙江杭州·中考）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 5．（2026·四川泸州·中考）计算：． 【详解】解：原式 ． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考）先化简，再求代数式的值，其中． 【详解】解： ， 当时， 原式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 32.1正弦、余弦与正切（第3课时） 目 录 1 已知角度求三角函数值 1 已知三角函数值求角度 2 利用特殊锐角的三角函数值进行计算 3 3 5 5 已知角度求三角函数值题型01 1．实数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知的值为（   ）． A． B． C． D． 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，．则菱形的面积是（     ） A． B． C．36 D．24 6．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，在中，，根据作图痕迹可得的长为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．如图，已知是的直径，弦、相交于点，若．则 的值为（     ） A． B． C． D． 已知三角函数值求角度题型02 9．（2024-2025·九年级上·陕西西安·月考）在中，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，以为直径的交于点E，与相切于点D，连接．则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，将绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线，则边扫过的面积（即阴影部分面积）为（     ） A． B．9 C． D． 第10题图 第11题图 第13题图 12．在中，，是锐角，若，则的大小是_______． 13．如图，中，，点A坐标为，B为x轴上的点，则______． 利用特殊锐角的三角函数值进行计算题型03 14．的相反数为（     ） A． B． C． D． 15．（2025-2026·九年级上·河北沧州·期末）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 16．（2024-2025·九年级上·河北保定·期中）的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 17．（2025·四川泸州·中考）计算：． 18．（2025·黑龙江龙东地区·中考）先化简，再求值：，其中． 1．在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则旋转2026次点的坐标为（     ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．在平面直角坐标系中，直角三角板摆放如图所示，，直角顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上．若点坐标为，则的值是（  ）． A． B． C． D． 3．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·湖南湘西·中考）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA b2＝a2＋c2﹣2accosB c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝___________． 5．尺规作图与证明． 如图，在中： (1)请用尺规作图法，作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，，点到边的距离为3，，求直角边的长． 6．（2024-2025·九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 2．如图，在平行四边形中，，，对角线，点、在直线上（点更靠近点），且，则的最小值是________． 1．（2025·广东·中考）计算的结果是_____． 2．（2025·山东滨州·中考）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 3．（2022·山东日照·中考）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023·浙江杭州·中考）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 第2题图 第4题图 5．（2026·四川泸州·中考）计算：． 6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考）先化简，再求代数式的值，其中． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 32.1正弦、余弦与正切（第3课时) 目录 A组 巩固过关 …1 已知角度求三角函数值… 已知三角函数值求角度4 利用特殊锐角的三角函数值进行计算 6 B组能力进阶 8 C组 思维拔高 11 拓展 链接中考 13 A组 巩固过关 颗型01 已知角度求三角函数值 1.C. 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 题型02 已知三角函数值求角度 9.C 10.D 1/4 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.A 12.75° 4V3 13. 3 题型03 利用特殊锐角的三角函数值进行计算 14.D 15.A 16.A 17.1. 1a2-2a+11 18.解：a-1 =1 a-1+1 a+1川a-1a a _a-1,a+1 aa+1 aa+1 =2a aa+1) 2 a+1 .a=2sin60°-1=2× 3-1=3-1 2 23 “.原式3-1+1 0 B组 能力进阶 1.D 2.A 3.A 4./13 5.(1)解：如图所示： 214 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD即为所求； (2)解：过点D作DE⊥AB,如图所示： 由点D到边AB的距离为3，可知DE=3, ∴.由角平分线的性质得DC=DE=3, .AD平分∠BAC,∠BAC=60°， :∠CAD=号∠BAC=30,∠B=30, 在RtA ACD中，tan30=DC.m V33 AC,即g=AC,解得AC=33, 在RAB中，B-30.则enB-瓷9要用C 6.1)解：cs450-号an303in60+cs30rsin60 23×3x3+3x3 223222 23+3 244 2 2: (2)解：1-tan60°-2sin45+cos451°+ an60°-V2 =1-5-2x21+ 3-2 =1-3-2+1+1x3+2 3-V2×3+V2 =3-1-V2+1+3+V2 =23. C组 思维拔高 1.23或6V363或23 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.4 拓展 链接中考 1.0 1 2.2 3.B 4.D 5.3. 6.2. 414