32.1正弦、余弦与正切（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的正弦概念，通过珠峰高程测量的三角高程法情境引入，关联已学的相似三角形和勾股定理，以30°、45°特殊角的对边与斜边比值为支架，引导学生从具体到抽象理解正弦定义及应用。 其亮点在于以现实问题驱动数学探究，用数学眼光观察珠峰测量中的边角关系，通过合作探究从特殊角到一般角的推理过程培养数学思维，结合停车场栏杆升高、四边形计算等典例强化数学语言表达。学生能在情境中激发兴趣，教师可依托结构化流程提升教学效率。

32.1正弦、余弦与正切（第1课时） 第三十二章 锐角三角函数 人教版九年级下册 学习目标 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A)． 一 能根据正弦的定义建立直角三角形的边角关系，并正确进行计算. 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 情境引入 引言 2020年12月8日，中国和尼泊尔两国联合宣布，测定珠穆朗玛峰的最新 高程为8848.86 m. 在珠穆朗玛峰高程的测量中，最重要的是进行峰顶测量， 获取峰顶观测数据.在峰顶测量中使用了多种测量方法，其中有一种方法叫作三角高程测量法. 如图所示，已知点M的高程hM，要测量点N的高程hN，设点M处的测量仪器高为h₁，点N处的标杆高为h₂，由于hN=hM+h₁+BC-h2，测量高程hN的问题就转化为求BC的问题(不考虑地球曲率和大气折光的影响). 如果测量仪器可以测得它到标杆顶端B的距离AB和仰角α，如何用这些数据求BC呢? 直角三角形中边角之间的关系 情境引入 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 锐角三角函数 相似三角形 已知Rt△ABC的一个锐角α的度数和斜边AB的长，求角α的对边BC的长. 合作探究 对本章引言中提到的问题，如果距离AB和仰角α已经测出，问题就转化为： 如图，如果α=30°，AB=850m，求角α的对边BC的长. 特殊化 用希腊字母α，β，γ，… 表示角时，角的符号“∠”可以省略不写. 合作探究 如图，如果α=30°，AB=850 m，求角α的对边BC的长. 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，得： = = ， ∴BC= AB=425 (m). 合作探究 思考 在上面的问题中，如果α=30°，AB=1 268 m，那么BC的长是多少? 分析：在上面求BC的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边 与斜边的比都等于 . 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，得： = = ， ∴BC= AB=634 (m). 合作探究 思考 如图，任意画一个Rt△ABC，使 ∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的 对边与斜边的比 ，由此你能得出什么结论? 解：在 Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°， 所以Rt△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理，得 AB²=AC²+BC²=2BC²，∴AB=BC. 因此 = = = ， 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如 何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 合作探究 总结 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A等于30°和45°时，∠A的对边与 斜边的比分别等于 和 ，都是固定值. 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢? 信息技术验证 合作探究 猜想 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是一个固定值. 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这 就 是 说， 在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 合作探究 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 合作探究 正 弦 的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把 ∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦 ( sine)， 记作sinA，即 sinA= = . 例如：当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= . 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= . 典例分析 例1 如图，已知△ABC，AD⊥BC，则sin∠ABD=（     ） A．AD:AB B．AD:BD C．AC:AB D．AC:BC A 典例分析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB===5. 因此 sinA= = ， sinB= = . 典例分析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sin B就是要确定∠B的对边与斜边的比. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC===12. 因此 sinA= = ， sinB= = . 典例分析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 典例分析 例3 如图所示，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′=α，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为_________米． 4sinα 解：如图，过点A′作A′C⊥AO，垂足为C， 则A′C为栏杆A端升高的高度， ∵AO=4米， ∴A′O=4米， ∵sinα=A′C:A′O=A′C:4， ∴A′C=4sinα米． 典例分析 例4 如图，在四边形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，AB=AD，点E在CB 的延长线上，连接AE，sinE=，若CD=4，BC=12，求BE的长． 解：如图：过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥AF于G， 则∠AGD=∠AFB=90°， ∴∠ADG+∠GAD=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠GAD=90°， ∴∠BAF=∠ADG， ∵AB=AD，∴△AFB≌△DGA(ASA). 典例分析 ∴BF=CD=4，AF=CF， ∴AF=CF=BC−BF=12−4=8. 在Rt△AEF中，sinE=， ∴AF:AE=4:5，即8:AE=4:5， 解得：AE=10， ∴EF==6， ∴BE=EF−BF=6−4=2． 巩固练习 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是（     ） A． B． C． D． C 巩固练习 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 C 巩固练习 3.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，求sin∠ABC的值. 解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，AD=2，BD=4，∠ADB=90°， ∴AB==2， ∴sin∠ABC= = = ． 巩固练习 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB===. 因此 sinA= = = ， sinB= = = . 巩固练习 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC===2. 因此 sinA= = = ， sinB= = = . 巩固练习 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 巩固练习 5.在Rt△ABC中 ，∠C=90°，∠A=60°. 求sinA的值. 解：∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC. 设AB=2a，AC=a， 由勾股定理得：BC=a， ∴sinA= = = . 归纳总结 正弦 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的 与 的比叫作∠A的正弦 ( sine)， 记作sinA，即 sinA= = . 对边 斜边 感受中考 1.（2025年江苏常州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则sinB的值是（     ） A． B． C． D． C 感受中考 2.（2025年广东深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（    ） A． B．3 C． D． D 感受中考 3.（2025年山东滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°， 则sin∠BDC的值为______． 解：连接OB， ∵OC⊥AB， ∴C为弧AB的中点， ∴弧BC=弧AC， ∴∠BOC=∠AOC=60°， ∴∠BDC=∠BOC=30°， ∴sin∠BDC=sin30°=. 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= sin30°= sin45°= 布置作业 必做题：习题32.1 第1(只求正弦值)，6题. 1 探究性作业：习题32.1 第7题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $null