32.1正弦、余弦与正切（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦“正弦的概念及简单计算”，以珠峰高程测量视频引入，联系三角高程测量法，从30°、45°特殊角入手，通过相似三角形证明锐角对边与斜边比值不变，抽象出正弦定义，衔接勾股定理与相似知识，搭建新旧知识支架。 此设计以真实情境激发探究欲，体现数学眼光观察现实世界，通过“特殊→猜想→证明”过程培养数学思维中的推理能力，分层例题（基础辨析到综合应用）助力数学语言表达，帮助学生理解概念本质，提升应用意识，为教师提供清晰教学流程与丰富资源，高效突破重难点。

32.1正弦、余弦与正切（第1课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 正弦的概念，正弦的简单计算。主要内容包括借助相似直角三角形探究锐角的对边与斜边比值的不变性，正弦的定义，利用正弦定义结合勾股定理进行简单计算。 2. 内容分析 本节课是锐角三角函数的起始课，是学生第一次接触三角函数，是从直角三角形边角静态关系过渡到边角动态对应关系的关键一课。学生已经掌握勾股定理、相似三角形判定与性质、直角三角形两锐角互余、30°直角三角形边角性质等知识。本节课以实际测量珠峰高度作为现实背景，从特殊角30°、45°入手，再推广到任意锐角，利用相似三角形证明：当锐角角度固定，无论直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比值是定值，由此抽象出正弦的概念。它为后续学习余弦、正切，解直角三角形等知识打下基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并认识锐角三角函数(sin A)。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A)。 （2）能根据正弦的定义建立直角三角形的边角关系，并正确进行计算。 2. 目标解析 （1）学生经历“实际情境→特殊角度计算→猜想一般角度→相似三角形证明比值不变→抽象正弦定义” 完整探究过程；理解并能说出正弦的文字定义与符号表达式，分清直角三角形中锐角的对边、斜边。 （2）已知直角三角形两边，学生会先用勾股定理求第三边，再套用正弦定义求对应锐角的正弦值；能在网格或实际情境中识别直角，找准角的对边与斜边，完成简单计算。 三、教学问题诊断分析 学情分析：九年级学生已经熟练掌握勾股定理、相似三角形，会处理直角三角形的边边、角角关系，但学生之前接触的都是线段长度，第一次接触“用两条线段的比值刻画角的大小”，理解难度较大。容易出现的认知误区：分不清某锐角的对边、邻边，混淆对边、斜边；遇到图形旋转、需要构造直角的题目，不会找对应边；不理解“为什么角度确定，比值就固定”，只会死记公式，不理解相似三角形背后的原理。 应对策略：探究环节从学生熟悉的30°、45°特殊角入手，降低认知门槛，再用几何画板演示不同大小的直角三角形，直观感受比值的不变性；借助相似三角形严谨推理证明，讲清比值不变的根源。反复训练识别：在不同摆放的直角三角形中，反复辨析“角A的对边、斜边”。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能根据正弦的定义进行计算。 四、教学过程设计 （一）情境引入 （视频播放） 引言 2020年12月8日，中国和尼泊尔两国联合宣布，测定珠穆朗玛峰的最新 高程为8848.86 m. 在珠穆朗玛峰高程的测量中，最重要的是进行峰顶测量， 获取峰顶观测数据.在峰顶测量中使用了多种测量方法，其中有一种方法叫作三角高程测量法. 如图所示，已知点M的高程hM，要测量点N的高程hN，设点M处的测量仪器高为h₁，点N处的标杆高为h₂，由于hN=hM+h₁+BC-h2，测量高程hN的问题就转化为求BC的问题(不考虑地球曲率和大气折光的影响).如果测量仪器可以测得它到标杆顶端B的距离AB和仰角α，如何用这些数据求BC呢? 解决上面问题，需要用到锐角三角函数的有关知识.本章利用相似三角形探索并认识锐角三角函数，通过锐角三角函数建立直角三角形中边角之间的关系 ，并运用锐角三角函数等知识，解决与直角三角形有关的度量问题. 在前面的学习中，我们已经知道直角三角形中角与角、 边与边之间的关系，这为解决与直角三角形有关的问题提供了基础.为解决类似章引言中的问题，还需要研究直角三角形中边与角之间的关系. 设计意图：以珠峰高程测量真实实例引入，让学生感受数学来源于现实生活，产生认知冲突：已知斜边和仰角，怎么求竖直高度？回顾直角三角形已经学习的角角、边边关系，引出本节课要研究的全新问题——直角三角形边角之间的数量关系，自然引出本节课课题，搭建新旧知识桥梁，激发学生探究欲望。 （二）合作探究 对本章引言中提到的问题，如果距离AB和仰角α已经测出，问题就转化为： 已知Rt△ABC的一个锐角α的度数和斜边AB的长，求角α的对边BC的长. 特殊化：如图，如果α=30°，AB=850m，求角α的对边BC的长. 注意 用希腊字母α，β，γ，… 表示角时，角的符号“∠”可以省略不写. 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，得： = = ， ∴BC= AB=425 (m). 思考 在上面的问题中，如果α=30°，AB=1 268 m，那么BC的长是多少? 分析：在上面求BC的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，得： = = ， ∴BC= AB=634 (m). 思考 如图，任意画一个Rt△ABC，使 ∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，由此你能得出什么结论? 解：在 Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°， 所以Rt△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理，得 AB²=AC²+BC²=2BC²，∴AB=BC. 因此 = = = ， 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 总结 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A等于30°和45°时，∠A的对边与斜边的比分别等于 和 ，都是固定值. 追问 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢? 猜想 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是一个固定值. 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说， 在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 正弦的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦 ( sine)，记作sinA，即sinA= = . 例如：当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= . 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= . 设计意图：遵循由特殊到一般的数学探究思想。先研究学生熟悉的30°、45°特殊锐角，计算对边和斜边的比值，获得感性认识，再提出猜想，借助信息技术直观演示，利用相似三角形完成逻辑证明，完成从感性猜想上升到理性证明，由此抽象出正弦定义。同时强调符号sinA的书写含义，厘清正弦概念的本质，突破重点，让学生不是机械记公式，而是理解概念的形成过程。 （三）典例分析 例1如图，已知，则（  A  ） A． B． C． D． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 分析：求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sin B就是要确定∠B的对边与斜边的比. 解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB===5. 因此 sinA= = ， sinB= = . 如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC===12. 因此 sinA= = ， sinB= = . 例3 如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为__米． 解：如图，过点作，垂足为，则为栏杆A端升高的高度， 米， 米， ， 米． 例4 如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，求的长． 解：如图：过A作于F，过D作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 设计意图：例1基础辨析，专门针对易错点，训练学生在图形中识别锐角的对边与斜边，巩固正弦定义；例2是课本基础题型，直接给出直角三角形的部分边长，综合勾股定理+正弦定义，夯实基础计算；例3结合生活实际，栏杆旋转问题，需要学生自己构造直角三角形，建立数学模型，体会正弦在实际问题中的应用；例4综合性提升，需要添加多条辅助线，结合全等三角形、勾股定理、正弦定义，训练综合运用知识的能力。四道例题由浅入深，层层递进，突破本节课教学难点。 （四）巩固练习 1．如图，在中，，，，则的值是（  C   ） A． B． C． D． 2．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（  C ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 3．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，求的值. （解题图） 解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° . 求sinA和sinB的值. 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===. 因此 sinA= = = ， sinB= = = . （2）在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC===2. 因此 sinA= = = ， sinB= = = . 5.在Rt△ABC中 ，∠C=90°，∠A=60°. 求sinA的值. 解：∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC. 设AB=2a，AC=a， 由勾股定理得：BC=a， ∴sinA= = = . 设计意图：习题分层设置，兼顾基础巩固与适度拓展，及时反馈课堂学习效果。 （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年江苏常州）如图，在中，，，，则的值是（ C  ） A． B． C． D． 2．（2025年广东深圳）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ D  ） A． B．3 C． D． 3．（2025年山东滨州）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． （解题图） 解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴. 设计意图：选取中考真题，让学生感受本节知识在中考中的考查形式，既有直接计算，也有结合圆周角定理的综合题型，拓宽学生思维，让学生体会知识之间的联系。 （七）小结梳理 设计意图：借助思维导图，系统梳理直角三角形中角与角、边与边、边与角之间的关系，帮助学生构建完整的知识框架。 （八）布置作业 1.必做题：习题32.1 第1(只求正弦值)，6题. 2.探究性作业：习题32.1 第7题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $