32.1正弦、余弦与正切（第3课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数，核心内容为30°、45°、60°角的三角函数值推导与应用及计算器使用。课堂导入通过复习直角三角形角与角、边与边、边与角的关系，回顾正弦、余弦、正切定义，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是以合作探究引导学生用三角尺设边长推导特殊角值，培养推理能力。结合典例分析和中考真题强化应用，体现应用意识。小结从一般到特殊梳理知识，助力学生系统认知，教师可提升教学效率，学生能增强数学思维与应用能力。

null 32.1正弦、余弦与正切（第3课时） 第三十二章 锐角三角函数 人教版九年级下册 学习目标 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值；能运用特殊锐角的三角函数值进行计算. 一 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 直角三角板 从一般到特殊 特殊锐角的三角函数值 合作探究 探究 一 副三角尺中有几个不同的锐角?这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少? 答：一 副三角尺中的不同锐角：30°，45°，60°. 合作探究 追问 如何计算这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值? 答：设图中每 个三角尺较短的边长均为1，利用勾股定理和锐角三角函数的定义可以求出这些锐角的三角函数值. 1 1 1 合作探究 小组合作 计算并填表： 1 1 1 锐角 三角函数 锐角A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 2 1 合作探究 思考 观察表格，这些三角函数值之间有什么关系？ 锐角 三角函数 锐角A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 sin30°=cos60° sin45°=cos45° sin60°=cos30° 从特殊到一般 sinA=cosB (∠A，∠B互余) 合作探究 思考 观察表格，这些三角函数值之间有什么关系？ 锐角 三角函数 锐角A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 tan30°·tan60°=1 从特殊到一般 tanA·tanB=1 (∠A，∠B互余) 证明：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则∠A，∠B互余. ∵sinA= ，cosB= ，tanA= ，tanB= ， ∴sinA=cosB，tanA·tanB=1. 合作探究 追问 你能证明以下猜想吗？ tanA·tanB=1 (∠A，∠B互余) sinA=cosB (∠A，∠B互余) 答：我们可以借助计算器求锐角三角函数值. 合作探究 思考 通过上面的学习，我们知道，当锐角A是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些角的锐角三角函数值、如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢? 注意 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应锐角的度数. 合作探究 不同的计算器操作步骤可能有所不同，具体参见其使用说明. 典例分析 例1 如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知sin∠AOM的值为（    ） A． B． C． D． B 典例分析 例2 在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（    ） A． B． C． D． C 解：（1）cos²60°+sin²60°=( )2+( )2=1； 典例分析 例3 求下列各式的值： (1)cos²60°+sin²60°； (2) -tan45°. sin²60°表示(sin60°)2，即(sin60°)·(sin60°). 从特殊 到一般 sin2A+cos2A=1 （2） -tan45°= ÷ -1=0. 解：（1）在Rt△ABC中， ∵sinA= = = . ∴∠A=45° . 典例分析 例4 (1)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，BC=. 求∠A的度数. 当∠A，∠B均为锐角时，若∠A≠∠B，则sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB. 解：（2）在Rt△ABO中， ∵tanB= = = . ∴∠B=60° . 典例分析 例4 (2) 如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO=OB. 求∠B的度数. 巩固练习 1.在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 巩固练习 2.求下列各式的值： (1) 1-2sin30°cos30°； (2) 3tan30°-tan45°+2sin60°； (3) (cos²30°+sin²30°)×tan60° . 巩固练习 解：(1) 1-2sin30°cos30°=1-2× × =1- . (2) 3tan30°-tan45°+2sin60°=3× -1+2× =2 -1. (3) (cos²30°+sin²30°)×tan60°=[( )²+( )²]× = . 解：（1）在Rt△ABC中， ∵tanA= = = . ∴∠A=30° . ∴∠B=90°-∠A=60° . 巩固练习 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= ，AC=. 求 ∠A，∠B的度数. 解：由题意得：2sinA−=0，tanB−=0， ∴sinA=，tanB= ， ∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=180°−60°−45°=75°． 巩固练习 4.在△ABC中，∠A，∠B是锐角，若2|sin∠A−|+(tan∠B−)2=0，求∠C的大小． 归纳总结 1 1 1 锐角 三角函数 锐角A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 2 1 特殊锐角的三角函数值 感受中考 1.（2025年广东）计算20−2sin30°的结果是_____． 0 解： 20−2sin30° =1−2× =1−1 =0． 感受中考 2.（2025年山东滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB， ∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为______． 感受中考 3.（2023年浙江杭州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB=60°，则=（     ） A． B． C． D． D 感受中考 4.（2026年四川泸州）计算：4sin30°+3−1+(π+)0− | − |． 解：原式=4× + +1− =2+ +1− =3． 感受中考 5.（2024年黑龙江龙东地区）先化简，再求值：÷( −1)，其中m=cos60°． 解：原式=⋅ =−m+1， 当m=cos60°= 时，原式= ． 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 直角三角板 特殊锐角的三角函数值 从一般到特殊 应用 布置作业 必做题：习题32.1 第3，4，5，9题. 1 探究性作业：习题32.1 第10，11题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $