32.1正弦、余弦与正切（第2课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数（余弦、正切），通过复习直角三角形角角、边边关系及正弦概念，以合作探究问题引导学生思考“锐角确定时其他边比是否固定”，搭建从正弦到余弦、正切的学习支架。 其亮点在于通过相似三角形推理证明比值固定、信息技术测量验证，抽象出余弦和正切概念，典例结合卫星发射等实际情境培养应用意识，感受中考环节链接真题。体现数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）、数学语言（符号表达），助力学生发展探究能力，教师可借助系统环节提升教学效率。

32.1正弦、余弦与正切（第2课时） 第三十二章 锐角三角函数 人教版九年级下册 学习目标 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(cos A，tan A)． 一 能根据余弦、正切的定义建立直角三角形的边角关系，并正确进行计算. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= sin30°= sin45°= 合作探究 探究 如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定呢? 为什么? = = 合作探究 猜想 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也是一个固定值. 信息技术验证 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的邻边与斜边的比都是一个固定值. 合作探究 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 合作探究 余 弦 的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把 ∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦 ( cosine)， 记作cosA，即 cosA= = . 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值. 合作探究 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 合作探究 正 切 的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把 ∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切 ( tangent)， 记作tanA，即 tanA= = . 合作探究 锐 角 三 角 函 数 ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是∠A的函数. 同样地 ，cos A，tan A也是∠A的函数. 典例分析 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． sinA= B． cosB= C． tanA= D． tanB= C 典例分析 例2 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　 ） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 A 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC===8. 因此 sinA= = = ， cosA= = = ， tanA= = = . 典例分析 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6. 求sin A，cos A，tan A 的值. 典例分析 例4 如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB=3，OC=2，求tanA的值. 解：∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB， ∵OC⊥OB， ∴OC∥AB， ∴△ODC∽△BDA， ∴OD:BD=OC:AB， ∵OB=OC=2， ∴(2−BD):BD=2:3， ∴BD= ． ∴tanA= = ． 巩固练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若将三边AB，AC，BC的长都缩小为原来的，则锐角A的三角函数值（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有tanA发生变化 D．都不变 D 巩固练习 2.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC===5. 因此 sinA= = ，sinB= = ， cosA= = ，cosB= = ， tanA= = ，tanB= = . 巩固练习 2.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB===. 因此 sinA= = = ， sinB= = ， cosA= = = ，cosB= = ， tanA= = ， tanB= = . 巩固练习 2.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 巩固练习 3.在Rt△ABC中，∠C=90° . 如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦值、余弦值和正切值有变化吗?请说明理由. 解：∠A的正弦值、余弦值和正切值都没有变化.理由如下： 如图，sinA= ，sinA'= = ， cosA= ，cosA'= = ， tanA= ，tanA'= = . 解：∵折叠，∴∠DBC=∠DBF， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=8， ∴∠ADB=∠DBC，∴∠DBF=∠ADB，∴BF=DF， ∴AF=AD−DF=8−BF， 在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2， ∴62+(8−BF)2=BF2，解得BF= ， ∴cos∠ABF= = . 巩固练习 4.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，求cos∠ABF的值． 归纳总结 余弦、正切 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的 与 的比叫作∠A的余弦 ( cosine)， 记作cosA，即 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的 与 的比叫作∠A的正切 ( tangent)， 记作tanA，即 cosA= = . 邻边 斜边 对边 邻边 tanA= = . 归纳总结 锐角三角函数 ∠A的 都是∠A的锐角三角函数. 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以 是 的函数. 同样地 ， 也是 的函数. 正弦、余弦、正切 sin A ∠A cos A，tan A ∠A 感受中考 1.（2026年山东德州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则cosB的值为（ ） A． B． C． D． B 感受中考 2.（2026年福建）如图，AB是⊙O 的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D．若AD=CD，则tanA的值是（     ） A． B．1 C． D．2 B 感受中考 3.（2026陕西）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点E在BC的延长线上．若CE=2BC，则tan∠AFC的值为（ ） A．2 B． C． D． B 感受中考 4.（2026广东）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在 墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，∠1=∠2，若tan∠AOD= ，OB=8， 则BC=_____． 感受中考 解：由题意可知，法线垂直于平面镜AB， ∴∠1+∠AOD=90°，∠2+∠BOC=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠AOD=∠BOC， ∵tan∠AOD= ， ∴tan∠BOC= ， 在Rt△OBC中，∠OBC=90°，OB=8， ∴tan∠BOC=BC:OB=BC:8=3:4. ∴BC=6． 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 布置作业 必做题：习题32.1 第1，8题. 1 探究性作业：习题32.1 第12题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $null