精品解析：广东潮州市2025-2026学年第二学期高二期末教学质量监测数学试卷

2025—2026学年度第二学期高二级期末教学质量监测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题） （一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 某项测试的成绩近似服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意得：，所以. 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】曲线，则，所以在处的切线斜率为. 3. 已知是等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. 66 D. 33 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以. 4. 展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】C 【解析】 【详解】展开式中所有项的二项式系数之和是， 令，所以所有项的系数之和是. 5. 将，，，，，共6本书平均分给甲、乙、丙三个学生，且书本分给学生甲，则不同的分书方法共有（ ）种 A. 15 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】先从剩下5本书中选择1本给甲，再从剩下4本书中选择2本给乙，剩下2本自然归丙，共有种分法. 6. 若函数的单调递减区间为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为， 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 7. 双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为函数图象有两个不同的交点，通过导函数研究即可. 【详解】因为有两个不同的极值点， 所以有两个变号零点， 显然不符合题意，则函数图象有两个不同的交点， 因为，所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，有唯一零点，所以其图象如图： 则，则，故实数的取值范围是. （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 C. 变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为1 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越大 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，随机变量，满足，则，A正确； 对于B，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，B正确； 对于C，变量关于变量的经验回归方程为，当时，，则样本点的残差为0，C错误； 对于D，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越大，D错误. 10. 如图，在直三棱柱中，，，则（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. 向量在向量上的投影向量为 C. D. 与的夹角为锐角 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 11. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为4 B. 若点的坐标为，则周长的最小值为9 C. 当时， D. 当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为，已知，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，将题中所给条件用表示，然后建立方程求出的值，最后再利用等比数列前项和公式求出即可. 【详解】，解得.所以. 13. 有一批产品共10件，其中7件是正品，3件是次品．质检员对这批产品进行抽检，从中随机抽取3件，若至少有2件是次品，则这批产品不合格，那么质检员检测到这批产品不合格的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】随机抽取3件的样本数为，设A事件为“这批产品不合格”， 则. 14. 已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 三、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 根据等差数列通项公式及前项和公式求解； (2) 写出的通项公式后用裂项相消法求的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，即； 又因为，即，即； 解得，， 故的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以 ． 16. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 17. 有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队．每队派1名代表进行比赛，小明来自强队．在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛．若强队与弱队进行比赛，则强队获胜的概率为；若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均为． （1）已知小明参赛，求在一轮比赛中，小明获胜的概率； （2）现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0分．若小明分别与每个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 ． 【解析】 【详解】（1）设=“对手为强队代表”，=“对手为弱队代表”，=“小明获胜”1分 由题意可知，，，， 故． （2）由题意可知的取值为，，，，， 得到，， ，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2）当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）代入后求导，由导函数符号得单调区间，确定极小值点与极小值，无极大值； （2）求导后分子为，讨论与两种情况，分别得单调区间； （3）分离参数得，构造函数求最大值，由恒成立条件得参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以，在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 由题意可得，， 当时，在恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 因为对任意的，都有恒成立，所以，即， 令，，则， 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，所以， 故当时，对任意的，恒成立，即恒成立． 19. 已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； （3）若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二级期末教学质量监测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题） （一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 某项测试的成绩近似服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线斜率为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 3. 已知是等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. 66 D. 33 4. 展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 5. 将，，，，，共6本书平均分给甲、乙、丙三个学生，且书本分给学生甲，则不同的分书方法共有（ ）种 A. 15 B. 20 C. 30 D. 60 6. 若函数的单调递减区间为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，则 B. 在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 C. 变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为1 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越大 10. 如图，在直三棱柱中，，，则（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. 向量在向量上的投影向量为 C. D. 与的夹角为锐角 11. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为4 B. 若点的坐标为，则周长的最小值为9 C. 当时， D. 当变化时，的最小值为8 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为，已知，，则________． 13. 有一批产品共10件，其中7件是正品，3件是次品．质检员对这批产品进行抽检，从中随机抽取3件，若至少有2件是次品，则这批产品不合格，那么质检员检测到这批产品不合格的概率为________． 14. 已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 三、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队．每队派1名代表进行比赛，小明来自强队．在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛．若强队与弱队进行比赛，则强队获胜的概率为；若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均为． （1）已知小明参赛，求在一轮比赛中，小明获胜的概率； （2）现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0分．若小明分别与每个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为，求的分布列与期望． 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； （3）若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $