专题15 三角形的内切圆、正多边形与圆 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题15 三角形的内切圆、正多边形与圆 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.三角形内切圆体系板块：掌握内切圆、内心的核心定义与性质，区分内心与外心，学会内切圆基本作图与基础计算。 2.正多边形与圆板块：理解圆内接正多边形的生成原理，掌握正多边形四大核心概念、基础性质与几何特征，夯实圆综合题型基础。 ✅本节核心本质是圆与多边形的内嵌位置关系，分为三角形内切圆、正多边形与圆两大模块，重点区分内切与外接图形特征，熟记几何定义、性质与基础计算公式，是圆章节几何计算与综合题型的核心基础考点。 ✺学习目标 1.理解三角形内切圆、内心的定义，熟练掌握内心的核心性质，区分内心与外心的差异。 2.掌握三角形内切圆的作图方法，能进行简单的内切圆相关基础计算。 3.掌握正多边形与圆的内在关联，熟记正多边形中心、半径、中心角、边心距四大核心概念。 4.理解正多边形的对称性与基础几何规律，能辨析正多边形的基本几何特征。 5.厘清圆的内接三角形、外切三角形、内接正多边形的概念区别，规避高频易错点，掌握基础计算模型。 ✺题型归纳 题型1.三角形内心有关应用 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 题型4.求正多边形的中心角 题型5.已知正多边形的中心角求边数 题型6.正多边形和圆的综合 题型7.尺规作图——正多边形 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、三角形的内切圆与内心 1.定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做该圆的外切三角形。内切圆的圆心叫做三角形的内心。 2.三角形内心的本质与性质 （1）三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点； （2）内心到三角形三条边的距离相等，该距离即为内切圆的半径； （3）任意三角形有且只有一个内切圆，内心始终在三角形内部。 3. 内切圆作图方法 （1）任意作出三角形两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为内心； （2）过内心作三角形任意一边的垂线段，垂线段的长度为内切圆半径； （3）以内心为圆心、垂线段长为半径画圆，即可得到三角形的内切圆。 4.三角形内心与外心对比 内心：内角平分线交点，到三边距离相等，对应内切圆； 外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，对应三角形外接圆。 5.直角三角形内切圆半径常用结论 直角三角形内切圆半径公式：r=（其中a、b为直角边长，c为斜边长），可直接用于基础计算与快速解题。 6.任意三角形面积公式（内切圆推导公式） 任意三角形面积公式：=Cr（其中C为三角形周长，r为三角形内切圆半径），适用于所有三角形内切圆相关计算。 知识点二、正多边形与圆的基础关系 1.正多边形定义:各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。 2.正多边形与圆的关联：把一个圆的圆周进行n等分，依次连接各等分点，可得到这个圆的内接正n边形，对应的圆为该正多边形的外接圆。 ▲任意一个正多边形，都有且仅有一个外接圆和一个内切圆，且两圆为同心圆（圆心重合）。 知识点三、正多边形的概念与计算 1.正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心。 2.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径（中心到任意顶点的距离）。 3.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。 4.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离，也是正多边形内切圆的半径。 5. 与正n边形有关的计算公式 正n边形外接圆的半径为R，边长为a,边心距为r 知识点四、正多边形的性质 1.对称性：所有正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；偶数边正多边形同时为中心对称图形。（奇数边正多边形不是中心对称图形） 2.几何特征：正多边形的各边相等、各中心角相等、各内角相等。 3.图形关系：任意正多边形既有外接圆，也有内切圆，且两圆同心，公共圆心为正多边形的中心。 4.内外角规律 任意多边形的外角和均为360°，正n边形每个外角度数为，与正n边形中心角度数相等；可结合多边形内角和公式推导单个内角度数。 知识点五、易错提醒 1.三角形内心恒在三角形内部，无例外；三角形外心位置随三角形形状变化：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在外部。 2.边相等或角相等的多边形不一定是正多边形，必须边、角同时全部相等才是正多边形。 3.核心计算模型：正多边形的半径、边心距、边长的一半可构成直角三角形，所有正多边形边长、边心距、半径的计算均依托该直角三角形求解，是本节核心解题依据。 ✺题型精讲 题型1.三角形内心有关应用 1．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 3．如图，为的直径，平分交于点，，． (1)作的内心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 3．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 1．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 3．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 题型4.求正多边形的中心角 1．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 3．如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 题型5.已知正多边形的中心角求边数 1．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______． 3．如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 题型6.正多边形和圆的综合 1．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 3．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 题型7.尺规作图——正多边形 1．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 2．如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 5．如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 6．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 三、解答题 7．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 8．如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 9．（1）计算：． （2）如图，点O为正六边形的中心．若长为6，求正六边F的面积． 10．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 三角形的内切圆、正多边形与圆 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.三角形内切圆体系板块：掌握内切圆、内心的核心定义与性质，区分内心与外心，学会内切圆基本作图与基础计算。 2.正多边形与圆板块：理解圆内接正多边形的生成原理，掌握正多边形四大核心概念、基础性质与几何特征，夯实圆综合题型基础。 ✅本节核心本质是圆与多边形的内嵌位置关系，分为三角形内切圆、正多边形与圆两大模块，重点区分内切与外接图形特征，熟记几何定义、性质与基础计算公式，是圆章节几何计算与综合题型的核心基础考点。 ✺学习目标 1.理解三角形内切圆、内心的定义，熟练掌握内心的核心性质，区分内心与外心的差异。 2.掌握三角形内切圆的作图方法，能进行简单的内切圆相关基础计算。 3.掌握正多边形与圆的内在关联，熟记正多边形中心、半径、中心角、边心距四大核心概念。 4.理解正多边形的对称性与基础几何规律，能辨析正多边形的基本几何特征。 5.厘清圆的内接三角形、外切三角形、内接正多边形的概念区别，规避高频易错点，掌握基础计算模型。 ✺题型归纳 题型1.三角形内心有关应用 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 题型4.求正多边形的中心角 题型5.已知正多边形的中心角求边数 题型6.正多边形和圆的综合 题型7.尺规作图——正多边形 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、三角形的内切圆与内心 1.定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做该圆的外切三角形。内切圆的圆心叫做三角形的内心。 2.三角形内心的本质与性质 （1）三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点； （2）内心到三角形三条边的距离相等，该距离即为内切圆的半径； （3）任意三角形有且只有一个内切圆，内心始终在三角形内部。 3. 内切圆作图方法 （1）任意作出三角形两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为内心； （2）过内心作三角形任意一边的垂线段，垂线段的长度为内切圆半径； （3）以内心为圆心、垂线段长为半径画圆，即可得到三角形的内切圆。 4.三角形内心与外心对比 内心：内角平分线交点，到三边距离相等，对应内切圆； 外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，对应三角形外接圆。 5.直角三角形内切圆半径常用结论 直角三角形内切圆半径公式：r=（其中a、b为直角边长，c为斜边长），可直接用于基础计算与快速解题。 6.任意三角形面积公式（内切圆推导公式） 任意三角形面积公式：=Cr（其中C为三角形周长，r为三角形内切圆半径），适用于所有三角形内切圆相关计算。 知识点二、正多边形与圆的基础关系 1.正多边形定义:各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。 2.正多边形与圆的关联:把一个圆的圆周进行n等分，依次连接各等分点，可得到这个圆的内接正n边形，对应的圆为该正多边形的外接圆。 ▲任意一个正多边形，都有且仅有一个外接圆和一个内切圆，且两圆为同心圆（圆心重合）。 知识点三、正多边形的概念与计算 1.正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心。 2.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径（中心到任意顶点的距离）。 3.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。 4.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离，也是正多边形内切圆的半径。 5. 与正n边形有关的计算公式 正n边形外接圆的半径为R，边长为a,边心距为r 知识点四、正多边形的性质 1.对称性：所有正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；偶数边正多边形同时为中心对称图形。（奇数边正多边形不是中心对称图形） 2.几何特征：正多边形的各边相等、各中心角相等、各内角相等。 3.图形关系：任意正多边形既有外接圆，也有内切圆，且两圆同心，公共圆心为正多边形的中心。 4.内外角规律 任意多边形的外角和均为360°，正n边形每个外角度数为，与正n边形中心角度数相等；可结合多边形内角和公式推导单个内角度数。 知识点五、易错提醒 1.三角形内心恒在三角形内部，无例外；三角形外心位置随三角形形状变化：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在外部。 2.边相等或角相等的多边形不一定是正多边形，必须边、角同时全部相等才是正多边形。 3.核心计算模型：正多边形的半径、边心距、边长的一半可构成直角三角形，所有正多边形边长、边心距、半径的计算均依托该直角三角形求解，是本节核心解题依据。 ✺题型精讲 题型1.三角形内心有关应用 1．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 3．如图，为的直径，平分交于点，，． (1)作的内心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求作的点． (2) 【分析】（1）利用三角形内心是角平分线交点的性质，通过尺规作图作的角平分线交得到内心． （2）先根据圆周角定理及直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求出的长度；再由角平分线性质推出弧与弧相等，得到，从而确定为等腰直角三角形；最后通过角的等量代换证明，进而求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：连接 是直径， ， 在中：， 平分， ， ， ，， 又在中：， ， 平分， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及等腰三角形的判定是解题的关键． 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 2．已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． 3．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 1．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 2．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）设，则，由可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，点D是的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 题型4.求正多边形的中心角 1．如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 2．如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：作正八边形的外接圆，连接，如图： ∴，F、O、B共线， 由圆周角定理得： ． 3．如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 【答案】等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 【分析】设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，再解直角三角形即可. 【详解】解：如图， 设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，． ． ． 设 ，则 ． 在 中，， 即 ． 解得 （负值已舍去）． ，． 等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角、半径和边心距，锐角三角函数的应用，熟记概念是解本题的关键. 题型5.已知正多边形的中心角求边数 1．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 【详解】解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 2．如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 3．如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【答案】(1) (2)①； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 【分析】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可； （2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数． 【详解】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正多边形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、推理证明是解题的关键． 题型6.正多边形和圆的综合 1．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为， ∴， ∴外接圆的面积． 2．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 3．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】(1)扇叶最外端P与地面的距离为 (2)点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 题型7.尺规作图——正多边形 1．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 【详解】略 3．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1) 证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； (2) 如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）略 （2）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 2．如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 二、填空题 4．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 5．如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】连接、，设与相交于O，先根据正方形的性质得到，， ，再根据90度的圆周角所对的弦是直径得到，是的直径，点O为圆心，进而利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、，设与相交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵正方形是的内接四边形， ∴，是的直径，点O为圆心， ∵的半径为3， ∴弧的长为． 6．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 三、解答题 7．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】 如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 8．如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 【答案】(1)解：所作的内心如图所示： (2) 【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，作出任意两个角的平分线即可得到的内心； （2）连接，过点作于点，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，以及勾股定理求出，再结合弧、弦、圆心角的关系，以及解直角三角形的相关计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作于点， 的内心为， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 9．（1）计算：． （2）如图，点O为正六边形的中心．若长为6，求正六边F的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解； （）利用正六边形的性质求出，再根据即可求解； 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，正多边形的面积，熟记特殊角的三角函数值及掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）过点作于， ∵为正六边形，点为中心， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1) 证明：过点作于点，如图： ， ， ， ， ∵圆的半径为2， ∴点在圆上， ， ∴与相切； (2) 解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下： ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图： 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 作的内切圆，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰直角三角形， ， 设圆的半径为， ， ， 解得：， ， ∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明； （2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $