专题13 弧长和扇形面积 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题13 弧长和扇形面积 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.弧长计算：结合圆心角占比，推导弧长公式，掌握圆中曲线长度的求解方法。 2.扇形面积计算：掌握双套扇形面积公式，适配不同已知条件的面积计算场景。 3.基础图形辨析：区分弧、扇形、弓形易混概念，夯实解题基础。 ✅本节依托圆心角占周角的比例思想，推导弧长与扇形面积两大核心公式，结合基础图形辨析，完成圆中曲线长度与曲面面积的基础计算，是中考几何高频计算考点。 ✺学习目标 1.掌握弧、扇形、弓形的核心概念，厘清易混图形区别。 2.理解弧长公式推导逻辑，熟练运用公式计算弧长、逆向求参。 3.熟记扇形面积两个公式，能根据已知条件灵活选用计算。 4.掌握本节比例核心思想，能解决教材基础计算与简单几何题型。 ✺题型归纳 题型1.求弧长 题型2.求扇形半径 题型3.求圆心角 题型4.求某点的弧形运动路径长度 题型5.求扇形面积 题型6.求图形旋转后扫过的面积 题型7.求弓形面积 题型8.求其他不规则图形的面积 题型9.求圆锥侧面积 题型10.求圆锥底面半径 题型11.求圆锥的高 题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型13.圆锥的实际问题 题型14.圆锥侧面上最短路径问题 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、相关基础概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧属于曲线，仅有长度，无面积。 2.扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧共同围成的封闭图形，叫做扇形。扇形既有周长也有面积。 3.弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，为教材基础认知图形。 核心认知：弧长与扇形面积的大小，仅由圆的半径和圆心角度数两个量决定。 知识点二、弧长公式 推导原理：圆的周角为360°，周长为 C=2πr。圆心角为n°的弧长，对应圆周长的，由此推导得出弧长公式。 弧长公式：l= 公式说明：n为圆心角度数（无需带单位），r为圆的半径，l为所求弧长。 重点辨析：能够完全重合的弧叫做等弧。弧的度数相等，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧。只有在同圆或等圆中，度数相等的弧、弧长相等的弧才是等弧。 逆向应用：可根据弧长、半径求圆心角，或根据弧长、圆心角求半径。 知识点三、扇形面积公式 1.公式一（角度式） 推导原理：圆心角为n°的扇形面积，对应整圆面积的，由此推导得出角度式面积公式。 = 适用场景：题干中已知圆心角、半径，优先使用。 2.公式二（弧长式） 由弧长公式代入推导可得： 3.适用场景：题干已知弧长、半径，无需角度，计算更快捷。 知识点四、弓形面积 计算方法： 优弧弓形面积 = 扇形面积 + 三角形面积 劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积 知识点五、图形变化规律 1.半径固定时，圆心角越大，弧长越长，扇形面积越大。 2.圆心角固定时，半径越大，弧长越长，扇形面积越大。 ✺题型精讲 题型1.求弧长 1．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 2．已知圆周角为，所对的弧长为，则这个圆的半径长为 _____． 【答案】9 【详解】解：设圆的半径长为r， ∵圆周角为，所对的弧长为， ∴弧所对的圆心角为， ∴，解得， 即这个圆的半径长为9． 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)绕原点旋转得到，画出； (2)求点A旋转到点所经过的路径长． 【答案】(1) 如下图所示： (2) 【分析】本题主要考查了作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理，掌握旋转变换的性质，弧长公式是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点即可求解； （2）先计算出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理得：， 方法一：点A旋转到点所经过的路径长为； 方法二：点A旋转到点所经过的路径长为． 题型2.求扇形半径 1．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 2．已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【分析】设此弧所在圆的半径为，根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 根据弧长公式， 将，代入得， 解得， 则此弧所在圆的半径是． 3．一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 【答案】 【分析】设出该弧所在圆的半径，根据题意给出的等量关系，结合弧长公式列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为． 由题意得， 整理得 ． 两边约去，解得 ． 题型3.求圆心角 1．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 2．已知弧长等于，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是___． 【答案】/120度 【分析】设该弧的度数为，根据弧长列方程求解即可． 【详解】解：设该弧的度数为， 根据题意得，， 解得， ∴该弧的度数为． 3．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 【答案】 【分析】根据弧长为 ，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设滑轮上某一点P旋转了， 根据题意，得 ， 解得 ． 题型4.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，旋转的性质；根据旋转的性质可得点旋转经过的路线为为半径圆心角为的弧，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ∴点旋转经过的路线长是， 故选：C． 2．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 3．如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是、．求： (1)绕点逆时针旋转后得到，并写出的坐标； (2)在旋转过程中，点经过的路径为弧，求弧的长． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2) 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理求出，再根据弧长公式解答即可； 本题考查了旋转作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理得，， ∴弧的长． 题型5.求扇形面积 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知扇形的半径和圆心角，可直接利用扇形面积公式计算结果，再选出正确选项.用到的扇形面积公式为，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：由题意得，该扇形的半径，圆心角， 代入扇形面积公式得． 2．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 3．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 题型6.求图形旋转后扫过的面积 1．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 2．如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积．求出分针的旋转度数，再根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：分针旋转了：， 所以该分针扫过的面积是． 故答案为：． 3．如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． (1)画出． (2)求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点B、C的对应点的位置，再与点A顺次连接即可； （2）利用网格求出的长度，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， 边扫过的图形面积=． 题型7.求弓形面积 1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 3．如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，含角的直角三角形性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． （1）利用垂径定理得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）利用含角的直角三角形性质得出角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 由垂径定理得，， 由勾股定理得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：, ∴弓形的面积为． 题型8.求其他不规则图形的面积 1．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（　　） A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式计算即可． 【详解】设正方形的边长为， 甲图阴影部分的面积， 乙图阴影部分的面积， 甲乙阴影部分的面积一样大． 2．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，则，结合图形可得阴影部分的面积等于扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ， ， ． ，， ． 3．计算阴影部分的面积 【答案】 【分析】阴影部分的面积为半径为的半圆面积加圆心角为，半径为的扇形面积（即的圆形面积）减去等腰直角三角形的面积． 【详解】解： ． 题型9.求圆锥侧面积 1．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：底面半径， 圆锥侧面积． 2．如图，，则绕旋转一周得到的立体图形的表面积为______． 【答案】 【分析】根据题意得到旋转后底面圆的半径为，由此得到底面圆的周长，分别算出以为半径的扇形的面积，以为半径的扇形的面积，根据立体图形的表面积等于以为半径的扇形的面积与以为半径的扇形的面积和即可求解了． 【详解】解：∵绕旋转一周得到的立体图形为两个圆锥的组合体， ∴底面圆的半径为，则周长为， ∴以为半径的扇形的面积为， 以为半径的扇形的面积为， ∴旋转后立体图形的表面积为 ． 3．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则该圆锥的侧面积为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积等于． 先由勾股定理求解母线长，再由圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由题意得，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 答：圆锥的侧面积为． 题型10.求圆锥底面半径 1．将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积求出扇形的半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由题意，得， 解得（舍去负根）； ∵， 解得； 故该圆锥的底面圆的半径为1. 2．妈妈生日前夕，小松用一张半径为的半圆形卡片制作了一个圆锥形生日帽，这个圆锥的底面半径为____． 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面半径是r， ∵半圆的半径是， ∴半圆形卡片弧长为 ， ∴圆锥底面周长 ， 解得 cm． 3．如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）连接，，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，利用勾股定理计算即可． （2）设圆锥底面圆的半径为，根据题意，得，计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为， 根据题意，得， 解得． 故圆锥底面圆的半径为． 题型11.求圆锥的高 1．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 2．如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据圆的周长公式计算出剪去圆周的一个扇形的周长，这个扇形的周长就是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式计算出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：半径为的圆，剪去圆周的一个扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线， 则有， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ， 解得 ， ∴圆心角为． 2．圆锥的高与母线的夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________． 【答案】180度/ 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，难度中等． 首先在直角三角形中所对直角边是斜边的一半，得出，从而表示出底面周长，根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长求出圆心角的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意可知 ，因此底面周长（即侧面展开图的弧长）为， 又展开图的扇形半径为l， 设其圆心角为n度， ∴ 得 故答案为． 3．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2) 【分析】（1）利用圆锥的母线、高与底面半径构成直角三角形，通过勾股定理求底面半径;再依据圆锥侧面积公式计算侧面积； （2）圆锥侧面展开图为扇形，结合扇形弧长公式建立等式求解圆心角． 【详解】（1）解：①圆锥的母线长，高，根据圆锥的底面半径、高和母线满足勾股定理： ． ②圆锥的侧面积公式为，将，代入可得： ． 故底面半径为，侧面积为． （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为 由题意，得，解得． 故所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题关键是掌握圆锥的母线、高、底面半径的勾股关系，圆锥侧面积公式以及圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系． 题型13.圆锥的实际问题 1．用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于扇形半径，利用该关系列方程求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，即扇形半径为. 根据扇形弧长等于圆锥底面周长， 可得方程. 解得. ∴圆锥的母线长为. 2．一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺_______． 【答案】 【分析】本题考查了学生运用圆锥体积公式解决实际问题的能力． 先根据底面周长求出底面半径，再计算圆锥体积，最后利用长方体的体积公式进一步计算即可求解． 【详解】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是， 底面半径 ， 圆锥体积 ． 铺路厚度， 设能铺长， 长方体体积， 即， ． 故答案为：． 3．工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【答案】 【分析】根据圆锥的体积为，求解即可； 【详解】解：根据题意，得圆锥底面圆的半径为：，高为， 根据题意，得； 答：这堆沙子的体积大约是； 题型14.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 3．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． ✺巩固测试 一、单选题 1．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角的度数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 2．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 3．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 4．中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据弧长公式求解即可； 【详解】解：∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 5．某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点，由圆周角定理推出是等边三角形，再根据垂径定理和三线合一的性质，易证，得到，进而得出工件的面积，即可得解． 【详解】解：如图，作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， 点到点的距离等于， ， ，， ，即， ，， ， ， ， 工件的面积． 二、填空题 6．在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____． 【答案】/15厘米 【分析】圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，根据弧长公式列等式求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，由题意得： ， 解得． 7．已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【答案】8 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，圆锥侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，可得圆锥母线长，圆锥底面半径． 设圆锥的高为h，根据勾股定理得：． 8．若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：设此扇形的半径为，由题意得，圆心角，弧长， 根据弧长公式得，解得． 根据扇形面积公式． 9．摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 10．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 三、解答题 11．一个圆锥形沙堆的占地面积是15平方米，高4米，把这堆沙子铺在宽8米的路上，平均铺5厘米厚，能铺路多少米？ 【答案】50米 【分析】本题是等积变形问题，“沙”由原来的圆锥形变成后来的长方体只是形状变了，体积没变，等量关系式：圆锥的体积长方体的体积，圆锥的体积，长方体的体积长宽高，设能铺米长，根据等量关系式再列式计算即可求出结果． 【详解】解：（米， 答：能铺路50米． 12．已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积； (2)围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 【答案】(1) (2)围成的圆锥的全面积是；思考1：扇形的面积；思考2：半径，周长 【分析】本题考查了圆锥的有关计算； （1）根据扇形的面积公式进行计算； （2）分别利用弧长公式，圆的周长和面积公式计算即可． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是：； （2）思考1：求圆锥的侧面积就是求扇形的面积． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的半径，而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，所以可以先求出扇形的弧长． 扇形的弧长是：， 则底面圆的周长是，底面圆的半径是2， 所以底面圆的面积是：， 则围成的圆锥的全面积是． 13．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 【答案】 【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， ∵， ∴的长， ∴，即：， 在中，， 根据勾股定理得，. 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键. 14．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 15．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1) (2)216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 16．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2) 解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 弧长和扇形面积 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.弧长计算：结合圆心角占比，推导弧长公式，掌握圆中曲线长度的求解方法。 2.扇形面积计算：掌握双套扇形面积公式，适配不同已知条件的面积计算场景。 3.基础图形辨析：区分弧、扇形、弓形易混概念，夯实解题基础。 ✅本节依托圆心角占周角的比例思想，推导弧长与扇形面积两大核心公式，结合基础图形辨析，完成圆中曲线长度与曲面面积的基础计算，是中考几何高频计算考点。 ✺学习目标 1.掌握弧、扇形、弓形的核心概念，厘清易混图形区别。 2.理解弧长公式推导逻辑，熟练运用公式计算弧长、逆向求参。 3.熟记扇形面积两个公式，能根据已知条件灵活选用计算。 4.掌握本节比例核心思想，能解决教材基础计算与简单几何题型。 ✺题型归纳 题型1.求弧长 题型2.求扇形半径 题型3.求圆心角 题型4.求某点的弧形运动路径长度 题型5.求扇形面积 题型6.求图形旋转后扫过的面积 题型7.求弓形面积 题型8.求其他不规则图形的面积 题型9.求圆锥侧面积 题型10.求圆锥底面半径 题型11.求圆锥的高 题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型13.圆锥的实际问题 题型14.圆锥侧面上最短路径问题 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、相关基础概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧属于曲线，仅有长度，无面积。 2.扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧共同围成的封闭图形，叫做扇形。扇形既有周长也有面积。 3.弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，为教材基础认知图形。 核心认知：弧长与扇形面积的大小，仅由圆的半径和圆心角度数两个量决定。 知识点二、弧长公式 推导原理：圆的周角为360°，周长为 C=2πr。圆心角为n°的弧长，对应圆周长的，由此推导得出弧长公式。 弧长公式：l= 公式说明：n为圆心角度数（无需带单位），r为圆的半径，l为所求弧长。 重点辨析：能够完全重合的弧叫做等弧。弧的度数相等，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧。只有在同圆或等圆中，度数相等的弧、弧长相等的弧才是等弧。 逆向应用：可根据弧长、半径求圆心角，或根据弧长、圆心角求半径。 知识点三、扇形面积公式 1.公式一（角度式） 推导原理：圆心角为n°的扇形面积，对应整圆面积的，由此推导得出角度式面积公式。 = 适用场景：题干中已知圆心角、半径，优先使用。 2.公式二（弧长式） 由弧长公式代入推导可得： 3.适用场景：题干已知弧长、半径，无需角度，计算更快捷。 知识点四、弓形面积 计算方法： 优弧弓形面积 = 扇形面积 + 三角形面积 劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积 知识点五、图形变化规律 1.半径固定时，圆心角越大，弧长越长，扇形面积越大。 2.圆心角固定时，半径越大，弧长越长，扇形面积越大。 ✺题型精讲 题型1.求弧长 1．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．已知圆周角为，所对的弧长为，则这个圆的半径长为 _____． 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)绕原点旋转得到，画出； (2)求点A旋转到点所经过的路径长． 题型2.求扇形半径 1．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 2．已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 3．一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 题型3.求圆心角 1．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知弧长等于，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是___． 3．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 题型4.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 3．如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是、．求： (1)绕点逆时针旋转后得到，并写出的坐标； (2)在旋转过程中，点经过的路径为弧，求弧的长． 题型5.求扇形面积 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 3．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 题型6.求图形旋转后扫过的面积 1．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 3．如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． (1)画出． (2)求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 题型7.求弓形面积 1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 3．如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 题型8.求其他不规则图形的面积 1．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（　　） A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 D．无法确定 2．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 3．计算阴影部分的面积 题型9.求圆锥侧面积 1．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，则绕旋转一周得到的立体图形的表面积为______． 3．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则该圆锥的侧面积为多少？ 题型10.求圆锥底面半径 1．将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 2．妈妈生日前夕，小松用一张半径为的半圆形卡片制作了一个圆锥形生日帽，这个圆锥的底面半径为____． 3．如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 题型11.求圆锥的高 1．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 2．如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 3．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 题型12.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 2．圆锥的高与母线的夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________． 3．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 题型13.圆锥的实际问题 1．用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 2．一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺_______． 3．工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 题型14.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 3．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） ✺巩固测试 一、单选题 1．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 3．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 4．中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 5．某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____． 7．已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 8．若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 9．摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 10．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为___________．（结果保留） 三、解答题 11．一个圆锥形沙堆的占地面积是15平方米，高4米，把这堆沙子铺在宽8米的路上，平均铺5厘米厚，能铺路多少米？ 12．已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积； (2)围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 13．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 14．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 15．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 16．在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $