专题03 空间向量解决距离与夹角问题十类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量坐标运算为核心，构建“通法+题型+挑战”三级训练体系，系统覆盖距离与夹角问题全题型，突出方法迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|三大公式（坐标运算/夹角/距离）+两原则（坐标系验证/角范围匹配）|从基础公式到应用原则，构建解题底层逻辑| |题型归纳|10题型（每题型含典例+3变式）|题型特征+步骤化方法（如建系→求法向量→代公式）|按距离（点线面）→夹角（线线/线面/面面）→动态范围/逆向求解递进| |压轴挑战|18题（选择7/多选2/填空3/解答6）|综合应用与参数思想|融合复杂几何体与动态问题，提升空间观念与运算能力|

专题03 空间向量解决距离与夹角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点/线/面到平面的距离 题型六、求直线与平面的夹角 题型二、求点到直线的距离 题型七、已知线面角求其他量 题型三、求异面直线间的距离 题型八、求面面角/二面角 题型四、求距离有关的取值范围 题型九、已知面面角求其他量 题型五、异面直线的夹角问题 题型十、与夹角有关的范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间向量求解立体几何距离与夹角问题是新高考高频考点，所有题型均围绕空间向量坐标运算.向量夹角公式.空间距离向量公式三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是建立空间直角坐标系务必验证三线两两垂直，二是求解面面角.线面角时注意区分向量夹角与几何角范围，所有角度计算结果均需匹配立体几何定义范围. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点/线/面到平面的距离 典例1 （25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 题型模版 1.特征：已知几何体中点坐标与平面信息，求解平面外一点到平面垂线段长度 2.方法：建立空间直角坐标系→取平面内两个向量，求平面法向量→选取平面内一点构造向量→代入公式计算 变式1-1（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 变式1-2（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 变式1-3（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 类型二、求点到直线的距离 典例2 （25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 题型模版 1.特征：给定直线与直线外定点，求定点至直线垂线段长度 2.方法：搭建坐标系，写出各点坐标→确定直线方向向量与向量→代入公式计算距离 变式2-1（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 变式2-2（2026·山东枣庄·模拟预测）在空间直角坐标系中，若直线l经过点，且以为方向向量，是直线l上的任意一点，则；已知空间中一条直线l方程为，则点到直线l的距离为________． 变式2-3（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 题型三、求异面直线间的距离 典例3 （25-26高二上·北京·阶段检测）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ①________． ②线段MN长度的最小值是________． 题型模版 1.特征：两条不相交.不共面的异面直线，求解两条直线之间最短距离 2.方法：写出异面直线方向向量，两直线上点构成向量→求公垂法向量→代入公式求值 变式3-1（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 变式3-2（2024·河南·一模）三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为______. 变式3-3（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 题型四、求距离有关的取值范围 典例4 （25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 题型模版 1.特征：几何体存在动点，求解动点相关空间距离的取值区间 2.方法：设出动点坐标参数，写出距离表达式→依托几何体约束确定参数定义域→借助函数性质求解距离最值与范围 变式4-1（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 变式4-2（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点． (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围． 变式4-3（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 题型五、异面直线的夹角问题 典例5 （2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 题型模版 1.特征：给出两条异面直线，求解异面直线所成角 2.方法：求出两条直线方向向量→代入公式→异面直线夹角范围 变式5-1（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 变式5-2（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    变式5-3（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 题型六、求直线与平面的夹角 典例6 （25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型模版 1.特征：已知直线与平面，求解线面所成角 2.方法：求出直线方向向量与平面法向量→代入公式→线面角范围 变式6-1（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 变式6-2（25-26高二下·河南平顶山·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式6-3（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型七、已知线面角求其他量 典例7 （25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 题型模版 1.特征：题目直接给出线面角大小，反向求解几何体线段长度.参数值 2.方法：设待求参数，表示出向量→带入公式建立方程→求解参数后验证空间图形存在性 变式7-1（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 变式7-2（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式7-3（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明： 平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 题型八、求面面角/二面角 典例8 （2026高一上·广东江门）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 题型模版 1.特征：给定两个相交平面，求解二面角平面角 2.方法：分别求出两个平面的法向量→代入公式→观察直观图判断二面角为锐角或者钝角，确定符号，二面角范围 变式8-1（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 变式8-2（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 变式8-3（25-26高二下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 题型九、已知面面角求其他量 典例9 （25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 题型模版 1.特征：已知二面角大小，反向求解几何体参数.线段长度 2.方法：利用参数写出两个平面法向量→结合已知二面角列等式，分锐角,钝角分类讨论→舍去和直观图矛盾的参数解 变式9-1（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 变式9-2（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 变式9-3（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 题型十、与夹角有关的范围问题 典例10 （25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 题型模版 1.特征：几何体含有动点，求空间夹角的取值范围 2.方法：引入参数表示动点坐标，推导夹角三角函数关系式→结合几何体限制锁定参数范围→依据三角函数单调性求解夹角区间，严格遵守各类空间角自带取值边界 变式10-1（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 变式10-2（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 变式10-3（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．    (1)求证：平面； (2)求证：是直角三角形； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 9．（25-26高二下·河南濮阳·期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题 10．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 11．（25-26高二下·江苏·期中）已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 12．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 四、解答题 13．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 14．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 16．（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 17．（25-26高二下·福建龙岩·期末）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，， (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求四面体的体积； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量解决距离与夹角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点/线/面到平面的距离 题型六、求直线与平面的夹角 题型二、求点到直线的距离 题型七、已知线面角求其他量 题型三、求异面直线间的距离 题型八、求面面角/二面角 题型四、求距离有关的取值范围 题型九、已知面面角求其他量 题型五、异面直线的夹角问题 题型十、与夹角有关的范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间向量求解立体几何距离与夹角问题是新高考高频考点，所有题型均围绕空间向量坐标运算.向量夹角公式.空间距离向量公式三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是建立空间直角坐标系务必验证三线两两垂直，二是求解面面角.线面角时注意区分向量夹角与几何角范围，所有角度计算结果均需匹配立体几何定义范围. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点/线/面到平面的距离 典例1 （25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）直接根据面面平行的判定定理可得； （2）直接用向量方法计算面面间的距离可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 题型模版 1.特征：已知几何体中点坐标与平面信息，求解平面外一点到平面垂线段长度 2.方法：建立空间直角坐标系→取平面内两个向量，求平面法向量→选取平面内一点构造向量→代入公式计算 变式1-1（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 变式1-2（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴ ， ， ． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 变式1-3（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 类型二、求点到直线的距离 典例2 （25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 题型模版 1.特征：给定直线与直线外定点，求定点至直线垂线段长度 2.方法：搭建坐标系，写出各点坐标→确定直线方向向量与向量→代入公式计算距离 变式2-1（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 故答案为： 变式2-2（2026·山东枣庄·模拟预测）在空间直角坐标系中，若直线l经过点，且以为方向向量，是直线l上的任意一点，则；已知空间中一条直线l方程为，则点到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知条件先确定直线的方向向量，进而根据向量模的坐标公式和勾股定理求出结果即可. 【详解】由题意，直线l为，经过点， 且为一个方向向量，所以， 故点A到直线l的距离为． 故答案为：. 变式2-3（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】/ 【详解】由，，， 可得，， 则，，与同方向的单位向量为， 则点到直线的距离为. 题型三、求异面直线间的距离 典例3 （25-26高二上·北京·阶段检测）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ①________． ②线段MN长度的最小值是________． 【答案】 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，坐标运算求，由异面直线间的距离求线段MN长度的最小值. 【详解】正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，平面平面， 平面平面，，平面， 则有平面， 以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，线段MN长度的最小值是异面直线AC，BF间的距离， 设与都垂直的一个法向量为， 由，令，有， 得，又， 所以线段MN长度的最小值是 故答案为：； 题型模版 1.特征：两条不相交.不共面的异面直线，求解两条直线之间最短距离 2.方法：写出异面直线方向向量，两直线上点构成向量→求公垂法向量→代入公式求值 变式3-1（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 【答案】/ 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 变式3-2（2024·河南·一模）三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】观察三棱锥，将其补形成直三棱柱，再推得是正三角形，从而建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】依题意，将三棱锥补形成直三棱柱， 此时易知，，满足题意， 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，，，则， 在中，，则， 又，所以是正三角形， 要求的最小值，即求异面直线，的距离， 以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，通过分析三棱锥的图形，将其补形成直三棱柱，从而得解. 变式3-3（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 题型四、求距离有关的取值范围 典例4 （25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 题型模版 1.特征：几何体存在动点，求解动点相关空间距离的取值区间 2.方法：设出动点坐标参数，写出距离表达式→依托几何体约束确定参数定义域→借助函数性质求解距离最值与范围 变式4-1（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 变式4-2（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点． (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围． 【答案】(1) 因为平面,平面，且平面平面,所以， 取的中点，连接， 因为是棱的中点，可得，且， 又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2). 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）取的中点，分别证得平面和，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的距离公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，且平面，平面，所以平面， 因为，且，则，所以， 以为原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 所以， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设点到平面的距离为，可得， 当时，可得； 当时，， 因为，当，即时，取得最大值，即， 综上可得，，即点到平面的距离的取值范围为. 变式4-3（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【详解】（1）因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． （2）设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 题型五、异面直线的夹角问题 典例5 （2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 题型模版 1.特征：给出两条异面直线，求解异面直线所成角 2.方法：求出两条直线方向向量→代入公式→异面直线夹角范围 变式5-1（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 变式5-2（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则 ， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 变式5-3（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 【答案】(1) 连接，则为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接，则为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理即得证； （2）取线段的中点，连如图建系，设，其中，运用空间向量法求出的值，再结合模的公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设点，其中，易知、、, 则，，， 所以， 因为，解得， 此时的长为. 题型六、求直线与平面的夹角 典例6 （25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 题型模版 1.特征：已知直线与平面，求解线面所成角 2.方法：求出直线方向向量与平面法向量→代入公式→线面角范围 变式6-1（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为，分别是，的中点，所以， 又因面，面，所以面. (2) 【分析】（1）运用线面平行的判定定理即得； （2）建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量的坐标与平面的法向量从而进行求解. 【详解】（1）略 （2）过点作垂直直线于点，由题目可得为的中点，面， 则以为轴的正方向，以为轴的正方向， 过点作平行于且以为轴的正方向， 则由题可得， 故， 设面的法向量为，则， 即，令， 则解得， 设直线与平面所成角为， 则. 变式6-2（25-26高二下·河南平顶山·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，得平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直性质得到，进而证得. （2）建系求的法向量后算正弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，可得，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则有即 取，则， 记直线与平面所成的角为， 故. 变式6-3（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出对应向量坐标，根据向量相等构造方程组求解系数； （2）求出平面法向量，利用线面角的向量计算公式完成求解. 【详解】（1）不妨设正方体棱长为3. 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是、交点，故， 是靠近的三等分点，则， 向量，，，， 因为， 则， 即，解得. 则. （2），，，设平面法向量， 则， 令，得， 设线面角为，满足， 因为， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 题型七、已知线面角求其他量 典例7 （25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 题型模版 1.特征：题目直接给出线面角大小，反向求解几何体线段长度.参数值 2.方法：设待求参数，表示出向量→带入公式建立方程→求解参数后验证空间图形存在性 变式7-1（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 变式7-2（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 变式7-3（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明： 平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又 平面平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 解得，所以. 题型八、求面面角/二面角 典例8 （2026高一上·广东江门）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 题型模版 1.特征：给定两个相交平面，求解二面角平面角 2.方法：分别求出两个平面的法向量→代入公式→观察直观图判断二面角为锐角或者钝角，确定符号，二面角范围 变式8-1（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点,连接, 则,, 又因为,, 所以,, 所以四边形是平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面； (2). 【分析】（1）取中点,连接,由题意可得四边形是平行四边形，从而得,由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为， 即, 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为， 因为, 设平面的法向量为， 则， 则有， 取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 变式8-2（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)取的中点为，连接． 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且， 又因为分别为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取PA中点G，利用中位线和平行四边形证明，根据线面平行判定定理证明即可.      （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面的夹角． 【详解】（1）略 （2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为与底面所成角为，即，所以． 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以． 又因为平面，平面，所以. 又因为平面，， 所以平面，平面，所以． 因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。 又因为四边形是矩形，所以，所以，即． 设，则． 则， 设平面的法向量为， 则，即. 因为，即，则，令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，所以． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角为． 变式8-3（25-26高二下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)连接，在中， 由余弦定理得 ， . 又，. 由侧棱底面，底面， . 又平面，平面 平面，. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而证得； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）建立空间直角坐标系如图所示，则 ，，，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得平面的一个法向量为. 又底面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面， 所以平面. 所以平面的一个法向量为 平面与平面的夹角的余弦值为. 题型九、已知面面角求其他量 典例9 （25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【详解】（1）略 （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 题型模版 1.特征：已知二面角大小，反向求解几何体参数.线段长度 2.方法：利用参数写出两个平面法向量→结合已知二面角列等式，分锐角,钝角分类讨论→舍去和直观图矛盾的参数解 变式9-1（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 【答案】(1)证法1：证明：连接，由底面是正方形可得． 因为平面，平面，所以， 又因为,平面， 所以平面， 因为点E是上的点，所以平面，所以. 证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， ，． ， 即对任意的，都有. (2) 【分析】（1）证法1：连接，可证得平面，从而可证得；证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）解法1：过点D在平面内作于点F，连接，可得是二面角的平面角，然后在中求解即可；解法2：求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法1：平面，平面，． 又底面是正方形， 又，平面． 因为平面，所以， 过点D在平面内作于点F，连接， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故是二面角的平面角，即． 在中，，，， 于是，． 在中，， 即． 由，得解． 解法2：为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则，， ，即 取，得 由，解得. 变式9-2（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】(1)在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． (2) 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【详解】（1）略 （2）连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故．    变式9-3（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)由题意知为等边三角形，则，所以， 又四边形为梯形，，则， 在中，，， 由， 得，解得， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）先由梯形边长与角度判定为等边三角形，用余弦定理算出，借助勾股逆定理证，再结合面面垂直性质定理推出平面，最终得线线垂直； （2）取中点，利用等腰与面面垂直条件以为原点建空间直角坐标系，由棱锥体积求出高；设表示坐标，分别求出两平面法向量，结合二面角正弦值算出余弦绝对值，列方程解出，最后乘长度得到． 【详解】（1）略 （2）取的中点为， 因为，且为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 连接，则，且平面，故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 所以，，，， 由 ， 即，解得， 则， 设 ，所以 所以 ，，，， 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，则 . 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，，则， 所以， 因为，解得，故， 所以． 题型十、与夹角有关的范围问题 典例10 （25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． (1)求证：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． (2)（ⅰ）6（ⅱ） 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 题型模版 1.特征：几何体含有动点，求空间夹角的取值范围 2.方法：引入参数表示动点坐标，推导夹角三角函数关系式→结合几何体限制锁定参数范围→依据三角函数单调性求解夹角区间，严格遵守各类空间角自带取值边界 变式10-1（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）建立合适的空间直角坐标系，求相关平面的法向量即可得到答案； （ii）利用点到平面距离的空间向量法即可得到答案； （2）利用线面角的空间向量法得到表达式，再利用基本不等式和二次函数性质即可求出最值. 【详解】（1）（i）以为原点，为正交基底建立空间直角坐标系， 当为中点时，，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 由于平面的法向量为， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为． （ii）设，则， 因为,,,四点共面，所以设， 即，得，当时，， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，取，得， 所以点到平面的距离为． （2）由（1）得，易得平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为 ，当且仅当时取等号，此时， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 变式10-2（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【答案】(1)由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式确定点位置，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当时，；当时，， 当且仅当时取等号，此时最大， 平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 变式10-3（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．    (1)求证：平面； (2)求证：是直角三角形； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)在直三棱柱中，连接，由，得四边形为正方形， 则，而平面平面，平面平面， 平面，所以平面. (2)由（1）知，平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面，而平面， 所以，即是直角三角形. (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （3）以点为原点建立空间直角坐标系，令，求出相关点的坐标及平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在直三棱柱中，由（2）知直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则，令，， ，， 设平面的法向量，则， 取，得，平面，即平面，设其法向量为， 则，取，得，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则， ，即， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用向量的方法求点到线的距离可得. 【详解】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用折叠后正三棱柱的几何关系建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而得到直线方向向量与平面法向量，通过向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】如图1所示，沿着，两条折痕将正方形折叠成正三棱柱， 如图2所示，E，F是的两个三等分点，折叠后，分别为的三等分点，设，所以，，， 如图3所示，作，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 作轴，因为，，所以，所以，，， 所以，，， 设平面的法向量，所以，不妨取， 所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为 4．（2026·山东济南·模拟预测）在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特点建立空间直角坐标系，利用向量计算即可. 【详解】因为二面角为直二面角，为交线， 故平面平面，平面平面，又，平面， 所以底面， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，， 所以为等腰直角三角形， 则，，，, ，, 设与所成的角为， 则. 5．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 6．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 7．（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 二、多选题 8．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算判断线线垂直、计算异面直线所成角、线面角，逐一验证选项即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得各点坐标：，，，，，，，. 选项A：，，所以，故，A正确. 选项B：，，异面直线所成角的余弦值为，B正确. 选项C：向量，， 设平面的法向量为，则，取，则. 设线面角为，则， ，C错误. 选项D：平面的一个法向量为，设线面角为，则， 故，，D正确. 9．（25-26高二下·河南濮阳·期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D. 【详解】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 三、填空题 10．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以 ， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离 . 11．（25-26高二下·江苏·期中）已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】根据给定信息求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，然后利用线面角的向量法求解. 【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为， 设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线， 则，取，得，而平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 12．（2026·北京丰台·模拟预测）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 【答案】 【分析】建系并标出点坐标，设，，利用空间向量的坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则 ， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 四、解答题 13．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， （2）直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. （3）平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此​​​平面与平面的夹角的余弦值为. 14．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． (2)存在， 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量进行求解． 【详解】（1）略 （2）由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 15．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）首先根据体积公式求侧棱长，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 16．（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】(1)底面，且底面， 故， 又， 故， 平面，且， 则平面， 又平面， 故． (2) 【分析】（1）根据三棱锥的几何性质，利用线面垂直推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出坐标，及平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出线面角的正弦值，进而得出正切值，结合二次函数的性质求出正切值的取值范围． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在上，设， 故，则， 故， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线与平面所成角为，则 ， ， 令， ，故， 故，当时取最小值， 当时取最大值． 17．（25-26高二下·福建龙岩·期末）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，   又因为M为的中点，所以．   又因为平面，平面，所以   又因为，，平面， 所以平面．   又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 所以平面的一个法向量为，， 又，所以， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，， (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求四面体的体积； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过建系证明直线的方向向量与平面的法向量平行，得出线面垂直的结论，从而确定夹角正弦值。 （2）利用第一问线面垂直的结论，将线段DF直接作为四面体的高即可求解. （3）分别求出两个平面的法向量，利用法向量数量积公式即可求解. 【详解】（1）由题意得平面，且平面，则且， 因为，所以， 又因为，所以且，即两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，因为是的中点， 则，，，， 设平面的法向量为，则 ，令，则，即， 则，即与平面的法向量平行，即平面， 所以直线与平面所成的角为，其正弦值为. （2）由上知平面，且平面，所以是四面体的高， 则， 因为平面，且平面，所以， 则，， . （3）易得平面的法向量为， ，设平面的法向量为， 则，令，则，即， 平面与平面所成的角为， 则. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $