第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元验收测评卷，覆盖基础概念至综合应用，通过分层设计考查空间观念与推理能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|空间向量概念（如单位向量性质）、线面角（长方体中计算）、轨迹问题（直三棱柱表面动点）|基础题考查数学眼光的抽象能力，多选题融合向量运算与空间角判断| |填空题|3题/15分|空间直角坐标系对称、异面直线角与体积（四棱锥）、实际应用（Wi-Fi信号强度）|结合生活情境体现数学语言表达现实世界，如信号强度模型| |解答题|5题/77分|向量夹角计算、线面平行证明、面面角（四棱锥）、翻折问题（面面垂直与距离）|综合题分层设问，如翻折问题从证明到距离再到二面角探究，培养推理能力|

第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间四点共面，但任意三点不共线，若为空间中任意一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 10．如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 11．如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,为线段上的动点,则(    ) A． B．的最小值为 C．四面体的体积为定值 D．与平面所成角的正切值的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 13．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 14．在一个长8m，宽6m，高3m的房间内点处安装一个Wi-Fi路由器．假设在点处，信号强度，其中是路由器天线的主方向向量（垂直向下）．只有当（即信号向下传播）时才有信号．则该房间内地面上信号强度的最大值是__________．（说明：） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．    (1)证明：平面平面； (2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 19．在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 4．已知空间四点共面，但任意三点不共线，若为空间中任意一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量共面定理建立方程求得结果即可. 【详解】因为， 所以， 空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得. 故选：B. 5．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 6．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可． 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 7．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 8．在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 【答案】C 【分析】对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； A：当点M是线段BC的中点时，此时点的坐标为，显然满足， 因此本选项结论正确； B：连接，， 所以， 所以，且两直线在平面内，所以面， 则三角形的三边就是的轨迹， 由于，， ，所以三角形的周长为，因此本选项说法正确； C：假设存在点M，使得点B到平面的距离为， ， 设平面的法向量为， ，取， 因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，， 所以点B到平面的距离为， 当时， 点B到平面的距离为， 解得：，显然假设不存在，所以不存在点M，使得点B到平面的距离为，因此本选项说法错误； D：任意点平面，此时，所以， ， 因为，平面， 所以都有平面，因此本选项说法正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的数量积，共线向量、单位向量的坐标表示，投影向量公式，垂直向量的坐标性质求解即可. 【详解】对于A，，所以，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，，， 所以与向量同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量的长度为，故C正确； 对于D，， 若，则，，故D正确． 故选：BCD. 10．如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D. 【详解】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 11．如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,为线段上的动点,则(    ) A． B．的最小值为 C．四面体的体积为定值 D．与平面所成角的正切值的最大值为1 【答案】ACD 【分析】选项A证明平面；选项B将展在同一个面上求最值；选项C首先证明平面，底面积和高均为定值；选项D建系，求线面角，转化为函数求最值. 【详解】 连接， ， 因为平面，平面， ，，且平面， 所以平面，平面， 所以，选项A正确； 将展在同一个面上，如上图， ， ， 的最小值为，选项B错误； 连接，是的中点，是的中点， 所以，平面，且在平面外， 平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，为定值， 三角形的面积为定值，所以四面体的体积为定值， 选项C正确； 建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，， 设，， ， 面的法向量为， 设与平面所成角为，， ， 令，， 当，，时，取得最大值为. 选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】因为点和点关于轴对称，所以. 13．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 【答案】 【分析】建系并标出点坐标，设，，利用空间向量的坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 14．在一个长8m，宽6m，高3m的房间内点处安装一个Wi-Fi路由器．假设在点处，信号强度，其中是路由器天线的主方向向量（垂直向下）．只有当（即信号向下传播）时才有信号．则该房间内地面上信号强度的最大值是__________．（说明：） 【答案】16 【分析】根据给定信息，利用空间向量数量积的坐标表示求出，再利用空间向量模的坐标表示求出的最小值，进而求出地面上信号强度的最大值. 【详解】依题意，，而，则， 当点在地面上时，，，， 而，当且仅当时取等号， 因此， 所以该房间内地面上信号强度的最大值是16. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 16．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行判定定理和面面平行的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点，连接， 则，. 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； (2). 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形是平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为，即. 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为. 因为， 设平面的法向量为， 则，则有，取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 18．如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．    (1)证明：平面平面； (2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明：因为， 所以，，所以 又，且平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. (2)； (3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量，    则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 19．在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii） (2)存在，正弦值最大值为 【分析】（1）（i）由平面平面，得 平面，推出； （ii）方法1（坐标法）：建系写出所有点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式算出距离；方法2（等体积法）：，分别求出底面面积、高，解方程得到点到平面距离； （2）求出锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 【详解】（1）（i）略； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以， 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 学科网（北京）股份有限公司 $