第一章 空间向量与立体几何章末复习练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷为高二数学空间向量与立体几何章末复习基础题，覆盖向量运算、线面关系等核心知识，选用湖南、甘肃等地期中期末真题，适配单元复习巩固，落实空间观念、推理能力与模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|空间向量垂直（第1题）、线面关系判断（第3题）|湖南衡阳期中题，基础巩固| |多选题|3|方向向量与法向量应用（第10题）|甘肃张掖期中题，辨析能力提升| |填空题|3|正方体中距离与角（第13题）|上海徐汇期中题，空间观念考查| |解答题|5|折叠问题（第18题）、线面垂直证明（第19题）|综合应用，如第18题结合折叠情境，落实数学思维与语言表达|

第一章 空间向量与立体几何 章末复习 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南衡阳高二上期中）已知向量，，且，那么实数等于（  ） A.3 B.-3 C.9 D.-9 2.设，，，，且，，则（） A. B. C.3 D. 3.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. B. C. D. 4.若＝λ＋μ，直线l的方向向量是平面CDE的法向量，则直线AB与直线l的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 6.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为(　　) A.0 B. C. D. 8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，AB⊥BC，若棱C1C上存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，则等于(　　) A. B.1 C. D.2 二、多选题（共3小题） 9.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(　　) A.＋＋＋＝0 B.(－)·(－)＝0 C.－＋－＝0 D.·＝· 10.（2025-2026·甘肃张掖高二下期中）下列选项正确的是（ ） A.两条不重合直线的方向向量分别是，则 B.直线的方向向量，平面的法向量是，则 C.直线的方向向量，平面的法向量是，则 D.两个不同的平面的法向量分别是，则 11.（2025-2026·甘肃高二期末）已知空间向量，，下列结论错误的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·上海徐汇高二上期中）若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是                  . 13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O是平面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则当|OP|取最小值时，直线OP与对角面A1ACC1所成的角的正切值为                  ． 14.（2024-2025·河北高二月考）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是                  ． 四、解答题（共5小题） 15.已知空间三点A(2,1,0)，B(2,2,1)，C(0,1,2)． (1)求·的值； (2)若(＋k)⊥(＋)，求k的值． 16.如图，正方形ACC1A1与等腰直角三角形ACB所在平面互相垂直，∠ACB＝90°，E，F分别是AB，BC的中点，G是AA1上的点，⊥. (1)试确定点G的位置； (2)求cos〈，〉的值． 17.（2025-2026·湖南岳阳高二下期末）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． (1)求的值； (2)若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积． 18.如图①所示，已知在梯形BFEC中，BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图②所示的几何体． (1)求证：DE⊥平面ABCD； (2)若点H在线段BD上，且EH与平面BEF所成角的正弦值为，求线段DH的长度． 19.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 章末复习 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南衡阳高二上期中）已知向量，，且，那么实数等于（  ） A.3 B.-3 C.9 D.-9 【答案】D 【解析】因为，且， 所以存在实数，使，即. 则，由得. 所以，，. 答案：D. 2.设，，，，且，，则（） A. B. C.3 D. 【答案】D 【解析】由，得，解得， 则. 因，，故. . . 3.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.由面面平行判定定理可证，正确； B.，，则或，错误； C.由面面垂直判定定理可证，正确； D.由线面垂直性质可证，正确. 故答案选：B. 4.若＝λ＋μ，直线l的方向向量是平面CDE的法向量，则直线AB与直线l的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 【答案】A 【解析】∵＝λ＋μ，∴，，共面．则AB与平面 CDE的位置关系是平行或在平面内．又直线l的方向向量是平面CDE的法向量，∴l⊥平面CDE，∴l⊥AB. 5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)， 设DA＝2，易得＝(1，0，－1)， 设＝λ＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)， ＝－＝(2λ－2，－2λ，2λ)． 则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝＝(0≤λ≤1)． 当λ＝时，cos θ取到最大值， 当λ＝1时，cos θ取到最小值， 又θ∈， 所以θ的取值范围为. 6.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设BC的中点为O，连接AO，A1O，则由题意知A1O⊥平面ABC，AO⊥BC，故以O为原点，分别以AO，OC，OA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 设侧棱长为2a，则OA1＝＝＝a， 则A(－a，0，0)，B(0，－a，0)，A1(0，0，a)． 所以cos〈，〉＝cos〈，〉＝＝＝＝. 7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为(　　) A.0 B. C. D. 【答案】C 【解析】以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体棱长为2， 则D(0,0,0)，E(2,1,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，＝(－2,0，－2)， 设F(m,0,0)(0≤m≤2)，＝(m－2，－1,0)， 设异面直线B1C与EF的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝，异面直线B1C与EF所成角最小时，则cos θ最大，即m＝0时，cos θ＝＝＝.故选C. 8.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，AB⊥BC，若棱C1C上存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，则等于(　　) A. B.1 C. D.2 【答案】D 【解析】以点B为坐标原点，AB，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝1，BB1＝a(a>0)，则B(0,0,0)，A1(1,0，a)，P(0,1，λa)且0≤λ≤1，所以＝(1，－1，(1－λ)a)，＝(0,1，λa)，又存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，所以·＝λ(1－λ)a2－1＝0，则λ2－λ＋＝0，故Δ＝1－＝0，可得a＝2，此时λ＝，所以＝2. 二、多选题（共3小题） 9.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(　　) A.＋＋＋＝0 B.(－)·(－)＝0 C.－＋－＝0 D.·＝· 【答案】BCD 【解析】可以推出：(－)·(－)＝·＝0，所以B正确；－＋－＝＋＝0，所以C正确； 又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2， 所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此D正确. 10.（2025-2026·甘肃张掖高二下期中）下列选项正确的是（ ） A.两条不重合直线的方向向量分别是，则 B.直线的方向向量，平面的法向量是，则 C.直线的方向向量，平面的法向量是，则 D.两个不同的平面的法向量分别是，则 【答案】AD 【解析】对于A，不重合直线的方向向量分别为，，得，故，从而，故A正确. 对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，计算得，故，从而或，故B错误. 对于C，直线的方向向量，平面的法向量是，得，故，从而，故C错误. 对于D，不同平面的法向量分别为，，计算得，故，从而，故D正确. 答案为AD. 11.（2025-2026·甘肃高二期末）已知空间向量，，下列结论错误的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】，，故A错误； 设与的夹角为，因为，所以，，，则，故B正确；因为，所以，又，， 则，解得，故C错误； 在上的投影向量为，D正确.故选：AC. 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·上海徐汇高二上期中）若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是                  . 【答案】平行或异面 【解析】空间中直线位置关系分相交、平行、异面， 相交直线有且仅有一个公共点， 平行直线无公共点， 异面直线也无公共点， 直线和无公共点时， 符合平行或异面直线的特征， 故与位置关系是平行或异面. 13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O是平面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则当|OP|取最小值时，直线OP与对角面A1ACC1所成的角的正切值为                  ． 【答案】 【解析】以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(1,1,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)． 设P(x，2,2)(0≤x≤2)，则|OP|＝＝， 所以当x＝1，即P为C1D1的中点时，|OP|取得最小值，为，此时点P(1,2,2)，所以＝(0,1,2)， 又由BD⊥平面A1ACC1，且＝(－2,2,0)，即平面A1ACC1的一个法向量为＝(－2,2,0)． 设OP与平面A1ACC1所成的角为θ，由线面角的公式可得sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝＝， 因为θ∈， 所以cos θ＝＝， 所以tan θ＝. 14.（2024-2025·河北高二月考）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是                  ． 【答案】 【解析】依题意，如图所示，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，进而 ， ， 易得不可能是平角，所以为钝角等价于， 即，即， 解得. 故答案为：. 四、解答题（共5小题） 15.已知空间三点A(2,1,0)，B(2,2,1)，C(0,1,2)． (1)求·的值； (2)若(＋k)⊥(＋)，求k的值． 【答案】解　(1)因为A(2,1,0)，B(2,2,1)， 所以＝(0,1,1)． 又C(0,1,2)， 所以＝(－2,0,2)， 所以·＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2. (2)由(1)可知＝(0,1,1)，＝(－2,0,2)， 所以＋k＝(－2k,1,2k＋1)， ＋＝(－2,1,3)． 因为(＋k)⊥(＋)， 所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，解得k＝－. 16.如图，正方形ACC1A1与等腰直角三角形ACB所在平面互相垂直，∠ACB＝90°，E，F分别是AB，BC的中点，G是AA1上的点，⊥. (1)试确定点G的位置； (2)求cos〈，〉的值． 【答案】解(1)由正方形ACC1A1与等腰直角三角形ACB所在平面互相垂直， ∠ACB＝90°，得BC⊥平面ACC1A1， ∴BC⊥CC1， 以C为坐标原点，，，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz， 设AC＝CB＝a，AG＝x， 则A(0，a，0)，C1(0，0，a)，G(0，a，x)，E， ∴＝(0，－a，a)，＝， ∵⊥， ∴·＝0， ∴－＋ax＝0， ∴x＝， ∴G为AA1的中点． (2)∵G，F，∴＝， 又∵＝(0，－a，a)， ∴||＝a，||＝a，·＝a2－＝. ∴cos〈，〉＝＝＝. 17.（2025-2026·湖南岳阳高二下期末）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． (1)求的值； (2)若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积． 【答案】解：(1)由平面平面，平面平面，平面平面，得，同理可得. 四棱柱中，故，，得，结合得，故. (2)法1：因为四点共面，故平面即平面，二面角的大小为，即二面角的大小为. 作于，连接，由平面，平面，得，又，，故平面，得，即为二面角的平面角. 由得，故，又，计算得，，故，体积. 法2：由向作垂线，垂足为，过作交于，得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别为轴. 设，，由已知得，，故体积，写出各点坐标得，. 设平面的法向量为，平面的法向量为，由，取得. 设二面角平面角为，由，代入计算得，故. 18.如图①所示，已知在梯形BFEC中，BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图②所示的几何体． (1)求证：DE⊥平面ABCD； (2)若点H在线段BD上，且EH与平面BEF所成角的正弦值为，求线段DH的长度． 【答案】(1)证明　∵平面EDAF⊥平面ABCD，DE⊂平面EDAF，平面EDAF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD， ∴DE⊥平面ABCD. (2)解　由题意知AD，CD，DE两两垂直，以点D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E(0,0,2)，F(1,0,1)，B(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(0，－1,1)， 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，则z＝1，y＝1，∴n＝(1,1,1)， 设H(a，a,0)，0≤a≤1，则＝(a，a，－2)， |cos〈，n〉|＝＝， 解得a＝或a＝(舍去)， ∴H，∴||＝＝，即线段DH的长度为. 19.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 【答案】证明　如图，以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz， 则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)． (1)设BA＝a，则A(a，0,0)． 所以＝(a，0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)． 所以·＝0，·＝0＋4－4＝0. 所以B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD， 所以B1D⊥平面ABD. (2)由题意及(1)，知E(0,0,3)，G，F(0,1,4)． 所以＝，＝(0,1,1)． 所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0， 所以B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF， 所以B1D⊥平面EGF. 由(1)知B1D⊥平面ABD， 且点E∉平面ABD， 故平面EGF∥平面ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $