第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，前承空间向量基本概念，通过梳理向量夹角（含异面直线所成角联系）、数量积定义（几何意义、投影向量）、性质及运算律，构建从概念到应用的学习支架，为后续解决空间距离、夹角及垂直问题奠定基础。 资料以思维导图统领知识体系，知识梳理突出“共起点找夹角”等关键口诀，题型精讲结合正三棱柱、正四面体等实例，培养数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）。课中助力教师分层教学，课后通过夯实基础与能力提升题，帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练1】（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 【典例1】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可. 【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则. （2）. （3）. 【变式1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为，再结合空间向量数量积的运算法则，得解； （2）由，代入运算，即可得解； 【详解】（1） （2）； 题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 【典例1】（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 【典例2】已知长方体同一顶点处的一组棱长分别为是其中心，过点的直线交长方体的表面于两点，另有一点是表面上的动点，求的取值范围. 【答案】 【分析】插入分点，则有，分析可知，，即可求解. 【详解】 如图所示，插入分点，则有， 由长方体同一顶点处的一组棱长分别为，是其中心， 所以，，得， 所以. 【变式1】（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 【变式2】（24-25高一下·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积运算律及定义计算求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 当为直径时，，所以的最大值为. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 题型03利用数量积求夹角 【典例1】（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 【典例2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】求出，，，利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】由题意得， 所以， ， ， 所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【分析】由题意，再两边平方求解即可. 【详解】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 题型04空间向量中的模（距离，长度） 【典例1】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 【典例2】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【分析】利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 【变式1】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 【变式2】（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【答案】1 【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 【变式3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量满足，若，则__________. 【答案】 【分析】根据空间向量的模的公式进行计算求解即可. 【详解】因为向量，. 所以故答案为：. 题型05利用数量积证明垂直问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1． 【答案】证明见解析. 【分析】证明即可得出. 【详解】∵           ∴ ， ∴，即AO⊥CD1. 【典例2】（24-25高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）通过空间向量的加减和数乘运算，结合图形即可得到答案； （2）通过空间向量数量积的运算即可证明. 【详解】（1）根据题意， . （2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1） ， 所以. 【变式1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）用表示，然后证明. 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 【变式2】在空间四面体中，，．求证：． 【答案】 证明：因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 【分析】利用空间向量的运算以及垂直的向量表示进行证明. 【详解】略 题型06重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值） 【典例1】（24-25高二下·河南周口·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 【典例2】（24-25高二上·山东·期中）已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得． 【详解】为的中点，即为正四棱柱的中心，由对称性，为的中点， 则， ，，，所以， 所以， 故答案为：．    【变式1】（24-25高三下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用极化恒等式：，根据长方体的几何性质，可得答案. 【详解】取中点为，由极化恒等式，. 又是长方体表面上任意三点， 所以当位于体对角线的两个端点时，最大，最大值为； 此时为长方体的中心，则当位于长方形中心时，的值最小，最小值为1， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为________. 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式计算模长． 【详解】由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 4．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 6．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的定义和运算律求值. 【详解】由题意知，，两两互相垂直，故， 又，所以. 故选：B 7．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由，结合向量数量积运算率求解即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以. 故选：D 二、多选题 8．（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 三、填空题 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 10．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． B能力提升 1．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    2．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 4．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______. 【答案】18 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】设正方体内切球的球心为，正方体内的体对角线长为， 则， , 因为是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以． 又点在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为18． 故答案为：18    5．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.      【答案】8 【分析】设的中点为，由题设可得，进而得到点落在以为球心，以1为半径的球上，再根据空间向量的数量积运算可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上， 在正八面体中，， 则 ， 而，则， 所以的最大值为8. 故答案为：8.    学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练1】（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 【典例1】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【变式1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) 题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 【典例1】（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知长方体同一顶点处的一组棱长分别为是其中心，过点的直线交长方体的表面于两点，另有一点是表面上的动点，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 题型03利用数量积求夹角 【典例1】（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【变式1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【变式2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 题型04空间向量中的模（距离，长度） 【典例1】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【变式1】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【变式2】（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【变式3】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量满足，若，则__________. 题型05利用数量积证明垂直问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1． 【典例2】（24-25高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 【变式1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【变式2】在空间四面体中，，．求证：． 题型06重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值） 【典例1】（24-25高二下·河南周口·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（24-25高二上·山东·期中）已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是__________. 【变式1】（24-25高三下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为________. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 4．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 10．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． B能力提升 1．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D．    2．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______. 5．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.         学科网（北京）股份有限公司 $