1.1.2 空间向量的数量积运算(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖空间向量的夹角、数量积、投影向量及应用等核心知识点。课堂从“力做功”情境导入，通过类比平面向量，引导学生从已知到未知，搭建知识学习支架。 其亮点在于情境导入联系实际，微思考和即学即练强化理解，例题分层设计。通过数学抽象、数学运算培养核心素养，如用正四面体求向量夹角，用正方体证明垂直。小结系统梳理定义性质，帮助学生构建知识体系，教师可提升教学效率。

1.1.2　空间向量的数量积运算 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 情境导入 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所 作的功W＝F·S＝｜F｜｜S｜· cos θ，为了在数学中体 现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　空间向量的夹角 知识点二　空间向量的数量积 知识点三　投影向量 提能点　空间向量数量积的应用 小结与自测 教材挖掘　三垂线定理 课时作业 知识点一　空间向量的夹角 目录 5 问题　你能从两个平面向量夹角的定义推广到空间中吗？为什么？ 提示：能.因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的 向量. 数学·选择性必修第一册 目录 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a，b的夹角，记作 ⁠ 范围 ⁠ 向量垂直 如果＜a，b＞＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作 ⁠ ∠AOB　 ＜a，b＞　 [0，π] 　 a⊥b 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 ＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a，b＞与＜－ a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？ 提示：＜a，b＞＝＜b，a＞，＜－a，b＞＝＜a，－b＞，＜－a，b ＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当 a∥b时，有＜a，b＞＝0或＜a，b＞＝π，不能得到＜a，b＞＝0，充分 性不成立；＜a，b＞＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故 “a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于 ； 与 的夹 角等于 ⁠. 解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°；＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝ 60°. 120° 60° 数学·选择性必修第一册 目录 3. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量 分别与向量 ， ， ， ， 的夹角. 数学·选择性必修第一册 目录 解：连接BD（图略）， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝45°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝135°， ＜ ， ＞＝∠D'AC＝60°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°， ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 对两个空间向量夹角的理解 （1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错； （2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向 时，夹角为π. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　空间向量的数量积 目录 14 问题　类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的 定义吗？ 提示：能. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 定义：已知两个非零向量a，b，则 ⁠叫 做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ ⁠. 2. 性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b⇔ ⁠； （2）a·a＝ ＝ ＝a2； （3）a·e＝｜a｜ cos ＜a，e＞（其中e为单位向量）； （4）若a，b为非零向量，则 cos ＜a，b＞＝ ； （5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0. ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b ＞ a·b＝0　 ｜a｜｜a｜ cos ＜a，a＞　 ｜a｜2　 数学·选择性必修第一册 目录 3. 运算律：（1）（λa）·b＝ ，λ∈R； （2）交换律：a·b＝ ⁠； （3）分配律：（a＋b）·c＝ ⁠. λ（a·b）　 b·a　 a·c＋b·c　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？也就是说，向量 的数量积满足结合律吗？ 提示：不满足.（a·b）和（b·c）都是实数，而a和c方向也不一定相同. 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P7例2（1））如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边 和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： （1） · ； 解： · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 60°＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 （2） · ； 解： · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 0°＝ . （3） · ； 解： · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝ ×1×1× cos 120°＝－ . 数学·选择性必修第一册 目录 （4） · . 解： · ＝ （ ＋ ）· （ ＋ ） ＝ [·（－ ）＋ ·（－ ）＋ · ＋ · ]＝ [－ · － · ＋（ － ）· ＋ · ] ＝ ×（ － － ＋ － ＋ ）＝－ . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的 乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　（1）（2026·扬州月考）如图，在棱长为 的正方体ABCD- A1B1C1D1中， · ＝（　A　） A. 2 B. 1 C. 2 D. A 解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面 AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以 · ＝（ ＋ ）· ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝0＋ ×2× cos 45°＝2.故选A. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）若a，b，c为空间中两两夹角为 的单位向量， ＝2a－2b， ＝b－c，则 · ＝ ⁠. 解析：由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12× cos ＝ ，则 · ＝2 （a－b）·（b－c）＝2（a·b－a·c－b2＋b·c）＝2（ － －1 ＋ ）＝－1. －1 数学·选择性必修第一册 目录 知识点三　投影向量 目录 25 问题　在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，对于空间任 意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向量呢？ 提示：在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，可将向量a与向量b平 移到同一个平面内，进而利用平面上求投影向量的方法， 得到向量a在向 量b上的投影向量. 数学·选择性必修第一册 目录 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c c＝｜a｜· cos ＜a，b＞· 向量a在直线l上的投影向量 数学·选择性必修第一册 目录 作法 图形表示 符号表示 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点 B作平面β的垂线，垂足分别为 A'，B'，得到向量 数学·选择性必修第一册 目录 （2026·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a， b＞＝120°，则a在b上的投影向量为 ，b在a上的投影向量 为 ⁠. 解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为 ， ， 由｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a 在b上的投影向量为｜a｜ cos ＜a，b＞· ＝ ＝－ b，b在a 上的投影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞ ＝ ＝－ a. － b － a 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 投影向量中的两点注意 （1）在投影向量公式中， 是向量b的单位向量，不可以省去； （2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为 · . 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝ BC＝a，PA＝b. （1）确定 在平面ABC上的投影向量； 解：因为PA⊥平面ABC，所以 在平面ABC上的投影向量为 . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）确定 在 上的投影向量. 解：因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 可得PA⊥AB，所以 · ＝0. 因为CB⊥AB，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＋ · ＝0＋a2＋0＝a2， 又｜ ｜＝a，所以 在 上的投影向量为 ｜ ｜· cos ＜ ， ＞· ＝｜ ｜· · ＝ · ＝ · ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　空间向量数量积的应用 目录 33 角度1　利用数量积求夹角和模 （1）（链接教材P7例2（2））已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中， AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的 长为（　B　） A. 6 B. B C. 3 D. 解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且 ＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝ .由 ＝a＋b＋c，得｜ ｜2＝ ＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋ 2b·c＋2c·a＝6.所以｜ ｜＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜ ， ＞＝（　B　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° B 数学·选择性必修第一册 目录 解析：不妨设正方体的棱长为1，则 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ ＋ · ＋ · ＝0＋ ＋0＋0＝ ＝1，又∵｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴＜ ， ＞ ＝60°. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 1. 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 数学·选择性必修第一册 目录 2. 利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝ ，计算出｜a｜，即得所求距离. 数学·选择性必修第一册 目录 角度2　利用数量积证明垂直问题 （链接教材P8例3）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为 AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜， ∵ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝c＋ a＋ b， ＝ － ＝b－a， ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＝ a＋ b－ c， ∴ · ＝（c＋ a＋ b）·（b－a）＝c·b－c·a＋ a·b－ a2＋ b2－ b·a＝ （b2－a2）＝ （｜b｜2－｜a｜2）＝0. 于是 ⊥ ，即A1O⊥BD. 同理可证 ⊥ ，即A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面 GBD. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 利用数量积证明垂直问题的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　（1）已知空间向量a，b满足｜a｜＝ ，｜b｜＝1，a⊥（a ＋2b），则向量a，b的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析：　由｜a｜＝ ，｜b｜＝1，且a⊥（a＋2b），可得a·（a ＋2b）＝a2＋2a·b＝0，解得a·b＝－1，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ . √ 数学·选择性必修第一册 目录 （2）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M， N分别是AB，CD的中点. 证明：MN⊥AB. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：由题意可知，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝a，且向量 ， ， 两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ， 所以 · ＝ （ · ＋ · － ）＝ （a2 cos 60°＋a2 cos 60°－a2）＝0， 所以 ⊥ ，即MN⊥AB. 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 45 数学·选择性必修第一册 目录 1. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45° 的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析：　选项A中向量的夹角为45°，选项B、C、D 中的向量的夹角为135°. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知e1，e2是空间中两个互相垂直的单位向量，a＝2e1＋3e2，b＝ke1 －4e2，且a⊥b，则实数k＝（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 解析：　因为a⊥b，且e1，e2是空间中两个互相垂直的单位向量，所以 a·b＝（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝2k ＋（3k－8）e1·e2－12 ＝ 2k－12＝0，解得k＝6. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 在三棱锥P-ABC中，∠PAB＝∠ABC＝ ，＜ ， ＞＝ ，PA＝ 2，AB＝1，BC＝3，则｜ ｜＝（　　） A. B. 2 C. D. 1 解析：　由已知得 ＝ ＋ ＋ ，所以｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋ 2 · ＝22＋12＋32＋2×2×1×（ － ）＋2×2×3×（ － ）＋ 2×1×3×（ － ）＝3，所以｜ ｜＝ .故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 〔一题多解〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1， AB＝2，P是 C1D1的中点，则 与 所成角的大小为 ⁠； · ＝ ⁠. 60° 1 数学·选择性必修第一册 目录 解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是 与 所成的角， 连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝ ，即△PA1D为等边三 角形，从而∠PA1D＝60°，即 与 所成角的大小为60°，因此 · ＝ × × cos 60°＝1. 法二　根据向量的线性运算可得 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＝1.由题意可得PA1＝B1C＝ ，则 × × cos ＜ ， ＞＝1， cos ＜ ， ＞＝ ，从而＜ ， ＞＝60°. 数学·选择性必修第一册 目录 教材挖掘　三垂线定理 目录 52 　通过教材P10习题8题的证明，我们可得到三垂线定理：在平面内的一条 直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与 这条斜线垂直. 该定理用数学语言描述为：如图，已知点P是平面α外一点，PA是平面α的 斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在 平面α上的投影，对平面α上的任一直线l，若直线l⊥OA，则直线l⊥PA. 数学·选择性必修第一册 目录 【问题探究】 1. 保持上述定理的已知条件不变，若已知直线l⊥PA，能否得到直线 l⊥OA？ 提示：能.取直线l的方向向量a，同时取向量 ， ， .因为 l⊥PA，所以a ⊥ ，所以a· ＝0.又因为PO⊥平面α，所以 l⊥PO，所以a⊥ ，所以a· ＝0.所以a· ＝a·（ － ） ＝a· －a· ＝0，所以l⊥OA. 2. 保持上述定理的已知条件不变，你认为直线l⊥OA是直线l⊥PA的什么 条件？ 提示：充要条件. 数学·选择性必修第一册 目录 【迁移应用】 1. 已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面 ABC上的射影一定是△ABC的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 解析：　如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连 接OA，OB，OC. 所以PO⊥平面ABC. 因为PA＝PB＝ PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以 △PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO. 即点O到 三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P 到BC的距离是 ⁠. 解析：由PA⊥平面ABC，在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD（图 略），由三垂线定理知，PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离.在 △ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝ 4，所以PD＝ ＝4 . 4 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 57 1. 在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则 与 的 夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　由题意，可得 ＝ ，所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞ ＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则｜a＋b－ 2c｜＝（　　） A. B. C. 2 D. 解析：　（a＋b－2c）2＝a2＋b2＋4c2＋2a·b－4a·c－4b·c＝1 ＋1＋4＋2×1×1× －4×1×1× －4×1×1× ＝3，所以｜a＋b－ 2c｜＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 〔一题多解〕如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，则 · ＝（　　） A. 1 B. C. D. －1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　法一（定义法）　连接B'D'（图略），则在Rt△DB'D'中，DB'＝ ，DD'＝1，所以 cos ∠B'DD'＝ ，所以 · ＝ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠B'DD'＝1× × ＝1. 法二（运算法）　因为 ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝ － ＋ ，且 · ＝0， · ＝0，所以 · ＝ ·（ － ＋ ）＝ · － · ＋ ＝1. 法三（几何意义法）　连接B'D'（图略），则B'D'⊥DD'，所以 在 上的投影向量为 ，又 ＝ ，所以 · ＝｜ ｜2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. （2026·佛山调研）已知A，B，C，D是空间中不共面的四点，且 · ＝0， · ＝0，M为BC的中点，则△AMD是（　　） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 解析：因为M为BC的中点，所以 ＝ （ ＋ ），可得 · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝0，所以 ⊥ ，即AM⊥AD，所以△AMD是直角三角形.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 如图所示，在空间四边形OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝ ，则 cos ＜ ， ＞＝（　　） A. B. 0 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　∵在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝ ， ＝ － ，∴ · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝｜ ｜×｜ ｜× cos －｜ ｜×｜ ｜× cos ＝ ｜ ｜×（｜ ｜－｜ ｜）＝0，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ 0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则 在 上的投影向量为（　　） A. B. 解析：　在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝ 2BD，设AC＝2，BD＝1，且 · ＝ · ＝0， ＝ ＋ ＋ ，则 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝｜ ｜2， 在 上 的投影向量为 · ＝ · ＝ .故选B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析： 　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故 · ＝0；因 为AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以 AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，则 · ＝0；同理可得 · ＝0； 而PC与AD所成角为∠PCB，显然不垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 已知｜a｜＝3 ，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝ 135°，且m⊥n，则实数λ＝ ⁠. 解析：∵m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝｜a｜2＋λa·b＋a·b＋ λ｜b｜2＝18＋λ·3 ×4· cos 135°＋3 ×4· cos 135°＋λ·16＝18 －12λ－12＋16λ＝6＋4λ，又m⊥n，∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 〔一题多解〕已知点C在以AB为直径的球面上，若BC＝2，则 · ＝ ⁠. 解析：法一　由点C在以AB为直径的球面上，BC＝2，得AC⊥BC，所 以 · ＝0，所以 · ＝（ ＋ ）· ＝ · － ＝－4. －4 法二　由题意得 · ＝－ · ， 在 上的投影向量为 ， 所以－ · ＝－ · ＝－4，即 · ＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）已知不共面的三个单位向量 ， ， 两两之间的夹角 均为60°， ＝ ＋ ＋ ， ＝ ＋ . （1）求 · ； 解：因为 · ＝ · ＝ · ＝1×1× cos 60°＝ ， 所以 · ＝（ ＋ ＋ ）·（ － ）＝ ·（ － ）＋（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝1－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求 cos ＜ ， ＞. 解：因为 · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ）＝4，｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝6，｜ ｜2＝（ ＋ ）2＝3.所以｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ .所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，M为上底面圆O 内一点，则 · 的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 解析：　 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ） ＝ － ＝｜ ｜2－22≥42－22＝12，当且仅当M与O重合时，等号成立，故 · 的最小值为12.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有 （　　） A. （ ＋ ＋ ）2＝3 B. ·（ － ）＝0 C. 与 的夹角为60° D. 正方体的体积为｜ · · ｜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　如图，（ ＋ ＋ ）2＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＝3 ，故A正确； ·（ － ）＝ · ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝0， 故B正确； 与 的夹角是 与 夹角的补角，而△ACD1为正三角形，所以 与 的夹角为60°，故 与 的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜ ｜·｜ ｜·｜ ｜，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝ 6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝ ⁠. 解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性 质，可得AG＝ AD，根据向量的运算法则，可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ［（ － ）＋ （ － ）］＝ （ ＋ ＋ ），所以｜ ｜2＝ （ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ）＝ （9＋36＋81＋0＋0＋0）＝14，所以｜ ｜＝ ，即OG＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形， PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. （1）利用空间向量证明PA⊥BD； 解：证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ － ＝b－a， ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c， 所以 · ＝（b－a）·（a＋b＋c）＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4× cos 60°－3×4× cos 60°＝0，所以 ⊥ ，故PA⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求AP的长. 解：由（1）知 ＝a＋b＋c， 所以 ＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3× cos 60°＋2×3×4× cos 60°＋ 2×3×4× cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝｜ ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3， ∠DAF＝ ， ＝λ ， ＝λ ，0＜λ＜1，记 ＝a， ＝b， ＝c. （1）将 用a，b，c表示出来，并求｜ ｜的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解： ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝λ －（ ＋λ ）＝λ（a＋c）－[b＋λ（a－b）]＝（λ－1）b＋λc. 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝3 ， 故当λ＝ 时，｜ ｜有最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存在， 请说明理由. 解：假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故MN⊥AB，MN⊥AD. 因为 · ＝[（λ－1）b＋λc]·a＝0，所以MN⊥AB恒成立； 由 · ＝0，得[（λ－1）b＋λc]·b＝0， 即（λ－1）b2＋λb·c＝0， 所以9（λ－1）＋ λ＝0，解得λ＝ ，满足条件. 故存在λ＝ 使得MN⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $