专题05 点击四大网红不等式：柯西不等式、基本不等式链、糖水不等式、权方和不等式（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦四大不等式，构建“基础应用-综合变形-易错辨析”三阶训练体系，以题载法培养数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式链|2题型（含几何解释、易错辨析）|基础最值判定+综合放缩与易错分析|从二元均值链到几何直观，构建“概念-证明-应用”逻辑链| |糖水不等式|2题型（含生活实例、变形比较）|分式比较基础应用+构造变形综合|由生活现象抽象为不等式，通过变式训练强化模型意识| |权方和不等式|2题型（含标准形式、多元最值）|标准分式最值求解+式子配凑变形|从二元到多元形式拓展，培养代数变形与迁移能力| |柯西不等式|2题型（含二维基础、多维综合）|二维最值求解+多维证明与含参综合|从二维到多维推广，结合向量法提升逻辑推理素养|

专题05点击四大网红不等式：柯西不等式、基本不等式链、糖水不等式、权方和不等式 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式链 ◆题型1均值链基础最值与大小判定 1．ABD 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为，可得，即 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 2．【详解】不妨设，，，如图，以点O为圆心的圆半径，作交圆O于点E，则，由知． 显然，． 因为，过点C作于点H，则，知． 因为，所以当时，． 综上，，其中a，b都是正数，当且仅当时等号成立（即点C与点O重合时）． 注：称为正数a，b的调和平均数，称为正数a，b的平方平均数．    3.【详解】(1)证明如下： 要证即证， ， ，即当且仅当时等号成立. 三元形式：. （2）， 由（1）， 当且仅当取“”，又，， 所以三角形周长的取值范围. ◆题型2 均值不等式综合放缩与易错辨析 4．B 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 5．ACD 【详解】对于A，已知正实数，满足，则， 根据基本不等式有， 由解得，，但是正实数，不满足， 所以等号取不到，也即没有最大值，故A错误； 对于B，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，结合，解得，时等号成立， 所以可以取到最小值5，故B正确； 对于C，因为，所以，则， ， 根据基本不等式有， 当且仅当，解得时等号成立， 所以，即的最大值为，没有最小值，故C错误； 对于D，令（），则，那么， 根据基本不等式有，当且仅当，解得时等号成立， 但，所以等号取不到，也即最小值不为2，故D错误． 故选：ACD． 6．BD 【详解】A选项，若，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以不是的最大值，故A错误； B选项，， 因为，所以，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； C选项，正数、满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立，C错误； D选项，、为正实数，且，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，正确. 故选：BD 7．【详解】（1）因为正实数，满足，则. ， 当且仅当即时取等号. 由恒成立，得，即，解得. （2）①甲的错误：两次使用均值不等式时，等号成立条件不同， 第一次需，第二次需，无法同时满足. 正确解法：由，， 当且仅当时取等号，故最小值为. ②乙的错误：误用均值不等式（应针对和使用，而非和）. 正确解法：由，， 当且仅当即，时取等号，故最大值为. 考点二 糖水不等式 ◆题型3 分式、对数大小比较基础应用 8．A 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 9．C 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 10．A 【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 11．（答案不唯一） 【详解】由，得，即，解得或， 则当或时，不等式成立， 所以不成立的的值可以是（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） ◆题型4 糖水不等式变形构造综合问题 12．BD 【详解】A，由糖水不等式得：，时，，故A错误. B，，故B正确. C，，故C错误. D，，故D正确. 故选：BD 13．ABC 【详解】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有； 故选：ABC 14．ACD 【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A正确； 对于B，，因为，， 所以，故，即，故B错误； 对于C，若，则， 根据“糖水不等式”， ，即，故C正确； 对于D，若，则， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：ACD 15．【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 考点三 权方和不等式 ◆题型5 标准形式分式最值求解 16．B 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 17．C 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 18．52 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 19．【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 ◆题型6 式子配凑变形与多元综合最值 20．D 【详解】解法一：因为， 所以，且， 又因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为． 故选：D． 21．【详解】（1）证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 22．【详解】（1），分析法证明如下， 要证明，即，即证明， 又，则，即证明， 即，也即，即证明，显然成立. （2）因为为正数， 则， 当且仅当，即且同号时取等号， 又为正数，则，当且仅当且同号时取等号. （3）先证明充分性，因为，则，所以， 即， 必要性，因为，则，又， 所以，即，故成立的充要条件是. 考点四 柯西不等式 ◆题型7 二维柯西基础求最值 23．C 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 24．D 【详解】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立, 即, 故选:D. 25．B 【详解】[解法一]:因为，且，所以为圆上的点，令，即，依题意可知圆与直线有公共点，所以圆心到直线的距离，即，解得，即； [解法二]：由柯西不等式得， 当且仅当时取等号. 则 故选：B. ◆题型8 多维柯西、不等式证明与含参综合 26．A 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 27．3 【详解】因为正实数x，y，z满足，正实数a，b，c满足， 所以， ∴，当且仅当，，时取“＝”， ∴的最大值为3. 故答案为：3. 28．C 【详解】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等, 所以 所以，当且仅当时取等, 所以的最小值为：2 故选：C 29．【详解】（1）由， 当且仅当，即时等号成立， . （2）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得， 化简得，当且仅当取最大值9. （3）因为， 所以，则， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以的取值范围是. 30．【详解】（1）由柯西不等式可得：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）的定义域为， 因为 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 当且仅当，即(符合定义域)时取等号， 所以的最大值为. （3）因为，，所以，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 所以； 由柯西不等式可得：， 因为，所以，令， 所以， 所以， 当且仅当，即，即时取等号(满足条件)， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．B 2．C 3．B 4．BCD 5．ACD 6．AB 二、填空题 7． 8． 9．10 三、解答题 10．【详解】（1）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 由，得，易得满足条件． 所以的最大值为． （2）证明:设，， 由得， 即； （3）由题意得， 即， 由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即时等号成立，     由余弦定理得，即， 所以，即，     则， 此时有最小值，当且仅当成立时取等号． 11．【详解】注意到， 若，由柯西不等式， 可得 等号成立时； 若，同理可得， 等号成立时（如）； 若，不妨设，则 ， 等号成立时；若一正二负或一负二正时， 不妨设，且， 此时． 综上，的最小值为6400． 12.【详解】（1）证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05点击四大网红不等式：柯西不等式、基本不等式链、糖水不等式、权方和不等式 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式链 题型1 均值链基础最值与大小判定（高频） 题型2 均值不等式综合放缩与易错辨析（重难点） 考点二 糖水不等式 题型3 分式、对数大小比较基础应用（高频） 题型4 糖水不等式变形构造综合问题（重难点） 考点三 权方和不等式 题型5 标准形式分式最值求解（高频） 题型6式子配凑变形与多元综合最值（重难点） 考点四 柯西不等式 题型7 二维柯西基础求最值（高频） 题型8 多维柯西、不等式证明与含参综合（重难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式链 ◆题型1均值链基础最值与大小判定 1．（多选）（25-26新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可. 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为，可得，即 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 2．如图，以AB为直径作半圆，圆心为O．过直径AB上一点C作CD垂直于AB，交半圆于点D，连接AD，BD．你能利用这个图形得出不等式链的几何解释吗？    【答案】 不妨设，，，如图，以点O为圆心的圆半径，作交圆O于点E，则，由知． 显然，． 因为，过点C作于点H，则，知． 因为，所以当时，． 综上，，其中a，b都是正数，当且仅当时等号成立（即点C与点O重合时）． 注：称为正数a，b的调和平均数，称为正数a，b的平方平均数．    【分析】设，，，作交圆O于点E，过点C作于点H，由直角三角形的性质求得后根据线段的长短得出均值不等式． 【详解】略 3．（25-26高一上·福建·期中）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：． (1)证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算术平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数（无需证明） (2)若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 【答案】(1)证明如下： 要证即证， ， ，即当且仅当时等号成立. 三元形式：. (2) 【分析】（1）利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式. （2）根据基本不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围. 【详解】（1）略 （2）， 由（1）， 当且仅当取“”，又，， 所以三角形周长的取值范围. ◆题型2 均值不等式综合放缩与易错辨析 4．（25-26高二上·山西长治·阶段检测）已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 5．（多选）（25-26高三上·吉林延边·阶段检测）下列命题错误的是（    ） A．设正实数，满足，则有最大值为 B．设正实数，满足，则有最小值为5 C．当时，的最小值是5 D．若，则的最小值为2 【答案】ACD 【分析】本题可根据基本不等式的使用条件（一正、二定、三相等），对每个选项逐一进行分析． 【详解】对于A，已知正实数，满足，则， 根据基本不等式有， 由解得，，但是正实数，不满足， 所以等号取不到，也即没有最大值，故A错误； 对于B，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，结合，解得，时等号成立， 所以可以取到最小值5，故B正确； 对于C，因为，所以，则， ， 根据基本不等式有， 当且仅当，解得时等号成立， 所以，即的最大值为，没有最小值，故C错误； 对于D，令（），则，那么， 根据基本不等式有，当且仅当，解得时等号成立， 但，所以等号取不到，也即最小值不为2，故D错误． 故选：ACD． 6．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则函数的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、满足，则的最小值为9 D．设、为正实数，且，则的最小值为6 【答案】BD 【分析】利用基本不等式求出最小值即可判断A；分离常数后，利用基本不等式可判断B；利用常数代换法可判断C；代入消元后，利用基本不等式可判断D. 【详解】A选项，若，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以不是的最大值，故A错误； B选项，， 因为，所以，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； C选项，正数、满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立，C错误； D选项，、为正实数，且，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，正确. 故选：BD 7．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 【答案】（1）；（2）①甲两次均值不等式等号条件不一致，正确最小值为；②乙误用均值不等式，正确最大值为. 【分析】（1）通过构造“1”的代换结合均值不等式求最值，再解不等式得参数范围； （2）分析均值不等式等号条件的一致性，给出正确求解过程. 【详解】（1）因为正实数，满足，则. ， 当且仅当即时取等号. 由恒成立，得，即，解得. （2）①甲的错误：两次使用均值不等式时，等号成立条件不同， 第一次需，第二次需，无法同时满足. 正确解法：由，， 当且仅当时取等号，故最小值为. ②乙的错误：误用均值不等式（应针对和使用，而非和）. 正确解法：由，， 当且仅当即，时取等号，故最大值为. 考点二 糖水不等式 ◆题型3 分式、对数大小比较基础应用 8．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 9．（25-26高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 10．（25-26高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【详解】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是______.（只需填满足题意的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】解不等式得出不等式成立的取值范围即可. 【详解】由，得，即，解得或， 则当或时，不等式成立， 所以不成立的的值可以是（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） ◆题型4 糖水不等式变形构造综合问题 12．（多选）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则 B． C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BD 【分析】根据糖水不等式逐项判断即可. 【详解】A，由糖水不等式得：，时，，故A错误. B，，故B正确. C，，故C错误. D，，故D正确. 故选：BD 13．（多选）（高一上·山东青岛·阶段检测）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【分析】应用作差法、不等式性质判断各项不等式关系的正误即可. 【详解】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有； 故选：ABC 14．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；作差比较即可判断B；若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D. 【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A正确； 对于B，，因为，， 所以，故，即，故B错误； 对于C，若，则， 根据“糖水不等式”， ，即，故C正确； 对于D，若，则， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：ACD 15．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【答案】（1）的范围为，的范围为； （2） (i)，证明见解析；(ii） 【分析】结合不等式的性质即可求解； 利用作差法即可判断；结合的结论即可求解． 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 考点三 权方和不等式 ◆题型5 标准形式分式最值求解 16．（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【答案】B 【分析】根据权方和不等式凑配，并利用其求解最值即可. 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 17．（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 18．（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【分析】先将转化为，然后根据权方和不等式计算. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 19．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 27 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值. 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 ◆题型6 式子配凑变形与多元综合最值 20．（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，然后利用通分、分离常数化简变形，最后利用基本不等式即可求得最小值，注意等号取得的条件．解法二：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，再使用柯西不等式求解即可. 【详解】解法一：因为， 所以，且， 又因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为． 故选：D． 21．（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. (2)36 (3) 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）略 （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 22．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（1）已知，，，试比较与大小，并用分析法证明． （2）已知正数，求证权方和不等式：，并说明取等条件． （3）已知，求证：成立的充要条件是． 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析，且同号；（3）证明见解析 【分析】（1）直接利用分析法证明的方法，即可求解； （2）利用基本不等式，可得，即可求解； （3）利用充要条件的证明方法，即可求解. 【详解】（1），分析法证明如下， 要证明，即，即证明， 又，则，即证明， 即，也即，即证明，显然成立. （2）因为为正数， 则， 当且仅当，即且同号时取等号， 又为正数，则，当且仅当且同号时取等号. （3）先证明充分性，因为，则，所以， 即， 必要性，因为，则，又， 所以，即，故成立的充要条件是. 考点四 柯西不等式 ◆题型7 二维柯西基础求最值 23．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 24．（高一下·江苏盐城·期末）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据,令代入公式,结合已知条件,,即可得到结果. 【详解】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立, 即, 故选:D. 25．（高二下·吉林长春·阶段检测）已知，，，求的取值范围为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】[解法一]:依题意可得为圆上的点，令，则圆与直线有公共点，利用点到直线的距离公式得到不等式，求出的取值范围即可； [解法二]:首先分析题目已知，求的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出的最大值，开平方根即可得到答案． 【详解】[解法一]:因为，且，所以为圆上的点，令，即，依题意可知圆与直线有公共点，所以圆心到直线的距离，即，解得，即； [解法二]：由柯西不等式得， 当且仅当时取等号. 则 故选：B. ◆题型8 多维柯西、不等式证明与含参综合 26．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 27．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x，y，z满足，正实数a，b，c满足，则的最大值为__. 【答案】3 【分析】由柯西不等式计算可得. 【详解】因为正实数x，y，z满足，正实数a，b，c满足， 所以， ∴，当且仅当，，时取“＝”， ∴的最大值为3. 故答案为：3. 28．（25-26高二下·陕西西安·期中）已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由,根据三维柯西不等式可得的最小值. 【详解】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等, 所以 所以，当且仅当时取等, 所以的最小值为：2 故选：C 29．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，，且，，当且仅当时，等号成立.利用柯西不等式也可以求最值，例如：若，求的最小值. 证明：根据柯西不等式有， ， ，，即，当且仅当时等号成立，结合解得，，，的最小值为3. 请根据以上材料解答下列问题： (1)证明二阶柯西不等式：； (2)求的最大值及此时的取值； (3)若，，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)取最大值9 (3) 【分析】（1）根据题设，作差即可求证； （2）利用柯西不等式求解即可； （3）转化问题为，进而求解即可. 【详解】（1）由， 当且仅当，即时等号成立， . （2）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得， 化简得，当且仅当取最大值9. （3）因为， 所以，则， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以的取值范围是. 30．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，构造柯西不等式完成计算； （2）直接构造柯西不等式完成计算； （3）将问题转化为“”，利用柯西不等式求解出，则的取值范围可求. 【详解】（1）由柯西不等式可得：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）的定义域为， 因为 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 当且仅当，即(符合定义域)时取等号， 所以的最大值为. （3）因为，，所以，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 所以； 由柯西不等式可得：， 因为，所以，令， 所以， 所以， 当且仅当，即，即时取等号(满足条件)， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】B 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 2．（多选）（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】C 【分析】对于AB，利用基本不等式即可判断；对于C，利用常数代换法结合基本不等式即可判断；对于D，平方后利用基本不等式求最值，然后开方即可判断． 【详解】对于A，由基本不等式得， 所以，即，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以无最大值，最小值为，故B错误； 对于C，， 而，当且仅当即时成立， 此时，故最小值为9，故C正确； 对于D，设，，则，其中， 由不等式，也即， 当且仅当，即时成立，此时， 故的最大值为，而非最小值，故D错误． 故选：AC． 3．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）设正实数x，y满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为5 D．有最大值为 【答案】B 【分析】根据基本不等式及其变形形式逐项计算即可. 【详解】对于A，由基本不等式，， ， ， ， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， ， ， ， ，即， 的最小值为2， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， ， 当且仅当， 解得：，时取等号，故C正确； 对于D，， ， 又， 则当且仅当，即，时取等号， ， 即有最大值为， 故D正确. 4．（多选）（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为10 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D. 【详解】∵且，∴，可得. 对于A，利用基本不等式得，化简， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，， 利用二次函数的性质知，当时，取最小值10，故D正确， 故选：BCD. 5．（多选）（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知，则下列结论成立的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为2 C．的最小值为3 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由基本不等式判断ABC，利用二次函数知识判断D. 【详解】对A，，当且仅当时取等号，A正确； 对B，结合A，有，时取等号，B错； 对C，，当且仅当即时取等号，C正确； 对D，因为，所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 6．（多选）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决. 【详解】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 二、填空题 7．（河南·模拟预测）如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为_______. 【答案】 【分析】将六边形的面积表示出来，然后使用柯西不等式即可. 【详解】设六边形的面积为， 再设 那么……① 对①式使用柯西不等式有(对①式使5维基本不等式有)： 取等条件：……② 由题知：……③ 联立②③解得：. 故答案为：. 【点睛】本题是填空最后一个题，难度中档，属于跨章节综合题.在高中阶段计算最值的常用方法：①不等式(包括基本不等式，柯西不等式)②辅助角公式③导数求极值. 8．（2026高三下·江苏·竞赛）设实数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】将目标代数式转化为向量夹角余弦平方的形式，结合变量范围确定向量夹角的最大取值，即可求得目标式的最小值. 【详解】记向量，的方向角分别为，， 由向量数量积运算公式得， 则． 因，有，． 两方向的最大夹角为，且，． 当，（或两组互换）时取等号，故最小值为． 【点睛】方法归纳：本题采用向量转化法求解多元分式最值，将代数表达式与向量夹角公式结合，结合三角函数性质求解，是处理此类对称分式最值问题的常用技巧. 9．（25-26·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 【答案】10 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值. 【详解】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10 三、解答题 10．（25-26高三上·河北邯郸·期中）奥古斯丁・路易斯・柯西，法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：，，，，，，，，且，，当且仅当时，等号成立． (1)根据柯西不等式求函数的最大值． (2)用向量证明二维柯西不等式：； (3)已知三维分式型柯西不等式： ，，均大于，，当且仅当时等号成立． 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明:设，， 由得， 即； (3) 【分析】（1）根据所给公式，代入数据，分析计算，即可得答案. （2）设，，，根据向量的坐标运算法则，代入计算，即可得答案. （3）由题意得，根据条件，结合三维分式型柯西不等式，可得，结合余弦定理，计算求解，即可得答案. 【详解】（1）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 由，得，易得满足条件． 所以的最大值为． （2）略 （3）由题意得， 即， 由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即时等号成立，     由余弦定理得，即， 所以，即，     则， 此时有最小值，当且仅当成立时取等号． 11．（专题19不等式（2）三元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）实数满足，求的最小值． 【答案】6400 【分析】，根据的符号及柯西不等式进行求解． 【详解】注意到， 若，由柯西不等式， 可得 等号成立时； 若，同理可得， 等号成立时（如）； 若，不妨设，则 ， 等号成立时；若一正二负或一负二正时， 不妨设，且， 此时． 综上，的最小值为6400． 12．（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. (2)36 (3) 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）略 （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05点击四大网红不等式：柯西不等式、基本不等式链、糖水不等式、权方和不等式 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式链 题型1 均值链基础最值与大小判定（高频） 题型2 均值不等式综合放缩与易错辨析（重难点） 考点二 糖水不等式 题型3 分式、对数大小比较基础应用（高频） 题型4 糖水不等式变形构造综合问题（重难点） 考点三 权方和不等式 题型5 标准形式分式最值求解（高频） 题型6式子配凑变形与多元综合最值（重难点） 考点四 柯西不等式 题型7 二维柯西基础求最值（高频） 题型8 多维柯西、不等式证明与含参综合（重难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式链 ◆题型1均值链基础最值与大小判定 1．（新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 2．如图，以AB为直径作半圆，圆心为O．过直径AB上一点C作CD垂直于AB，交半圆于点D，连接AD，BD．你能利用这个图形得出不等式链的几何解释吗？    3．（高一上·福建·期中）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：． (1)证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算术平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数（无需证明） (2)若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围． ◆题型2 均值不等式综合放缩与易错辨析 4．（25-26高二上·山西长治·阶段检测）已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 5．(多选）（25-26高三上·吉林延边·阶段检测）下列命题错误的是（    ） A．设正实数，满足，则有最大值为 B．设正实数，满足，则有最小值为5 C．当时，的最小值是5 D．若，则的最小值为2 6．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则函数的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、满足，则的最小值为9 D．设、为正实数，且，则的最小值为6 7．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围； （2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”： ①题目：已知正实数，满足，求的最小值. 甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8. ②题目：已知正实数，满足，求的最大值. 乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时， 则，所以的最大值为. 请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法. 考点二 糖水不等式 ◆题型3 分式、对数大小比较基础应用 8．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是______.（只需填满足题意的一个值即可） ◆题型4 糖水不等式变形构造综合问题 12．（多选）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则 B． C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 13．（多选）（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 14．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 15．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 考点三 权方和不等式 ◆题型5 标准形式分式最值求解 16．（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 17．（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 18．（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 19．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． ◆题型6 式子配凑变形与多元综合最值 20．（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 22．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（1）已知，，，试比较与大小，并用分析法证明． （2）已知正数，求证权方和不等式：，并说明取等条件． （3）已知，求证：成立的充要条件是． 考点四 柯西不等式 ◆题型7 二维柯西基础求最值 23．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 24．（高一下·江苏盐城·期末）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．（高二下·吉林长春·阶段检测）已知，，，求的取值范围为（    ） A． B． C． D．不确定 ◆题型8 多维柯西、不等式证明与含参综合 26．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 27．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x，y，z满足，正实数a，b，c满足，则的最大值为__. 28．（25-26高二下·陕西西安·期中）已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 29．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，，且，，当且仅当时，等号成立.利用柯西不等式也可以求最值，例如：若，求的最小值. 证明：根据柯西不等式有， ， ，，即，当且仅当时等号成立，结合解得，，，的最小值为3. 请根据以上材料解答下列问题： (1)证明二阶柯西不等式：； (2)求的最大值及此时的取值； (3)若，，不等式恒成立，求的取值范围. 30．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 3．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）设正实数x，y满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为5 D．有最大值为 4．（多选）（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为10 5．（多选（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）已知，则下列结论成立的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为2 C．的最小值为3 D．的取值范围为 6．（多选）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 二、填空题 7．（河南·模拟预测）如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为_______. 8．（2026高三下·江苏·竞赛）设实数，则的最小值为________． 9．（25-26·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 三、解答题 10．（25-26高三上·河北邯郸·期中）奥古斯丁・路易斯・柯西，法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：，，，，，，，，且，，当且仅当时，等号成立． (1)根据柯西不等式求函数的最大值． (2)用向量证明二维柯西不等式：； (3)已知三维分式型柯西不等式： ，，均大于，，当且仅当时等号成立． 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，求的最小值． 11．（高中数学全国通用）实数满足，求的最小值． 12．（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $