2.3平均值不等式证明（第1课时）（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高一数学精品教学课件（沪教版2020必修第一册）

2.3平均值不等式证明（第1课时）（作业） （夯实基础+能力提升） 【夯实基础】 一、单选题 1．（2021·上海·高一专题练习）若0<a<b，则下列不等式一定成立的是（       ） A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 【答案】C 【分析】利用不等式的性质结合基本不等式进行判断 【详解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>. 故b>>>. 故选：C 2．（2020·上海·高一课时练习）已知，则取得最大值时的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 由，当且仅当时，即时等号成立． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 3．（2021·上海市崇明中学高一期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值 【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故 因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为 故选：D 二、填空题 4．（2020·上海·高一专题练习）设，，，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号) ①；②；③． 【答案】①③ 【分析】利用不等式性质可判断①；将平方展开再结合已知条件和①可判断②；将 两边平方再展开结合①可判断③，进而可得正确答案. 【详解】对于①：，所以，当且仅当时等号成立，故①正确； 对于②：，所以，当且仅当时等号成立，故②不正确； 对于③：，所以，当且仅当时等号成立，故③正确； 故答案为：①③. 5．（2016·上海市控江中学高一期末）设，则的值域为_________ 【答案】 【分析】先将原式化为，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果. 【详解】因为，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的值域为：； 故答案为 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 6．（2016·上海市控江中学高一期末）设，则的最大值为______ 【答案】 【分析】先由题意求出，再由基本不等式，得到，即可得出结果. 【详解】由得；又，所以 再由， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 7．（2021·上海浦东新·高一期中）已知，则的最小值为_________. 【答案】1 【分析】利用基本不等式求对勾函数的最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴函数最小值为1. 故答案为：1 8．（2020·上海·高一单元测试）当时，的最小值为______． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 9．（2020·上海市第三女子中学高一期中）已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【分析】将展开，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：. 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：9. 10．（2020·上海·古美高中高一期中）已知，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】将代数式变形为，然后利用基本不等式可求出的最大值. 【详解】 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此的最大值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求积的最大值，解题的关键就是对代数式进行配凑，利用“积定和小，和定积大”的思想进行求解，考查计算能力，属于中等题. 11．（2021·上海·高一专题练习）设，且，则的最小值是__________. 【答案】3 【分析】将适当分拆后利用三元均值不等式求得最小值. 【详解】，当且仅当时等号成立. 所以的最小值3， 故答案为：3. 12．（2021·上海·华师大二附中高一阶段练习）若，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】先求解出的取值范围，然后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】因为，所以， 又， 取等号时，即， 所以的最大值为， 故答案为：. 13．（2020·上海·高一专题练习）若，则函数的最小值为___________. 【答案】3 【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 故答案为：3. 14．（2021·上海市南洋模范中学